PHẦN 1: PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 1.. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Nếu u,v cùng cĩ tính liên tục trên k thì: Khi đĩ ta áp dụng cá dạng sau:... Chúng ta xét các trường hợp sau của mẫ
Trang 1PHẦN 1: PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
1 PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN
ĐỔI BIẾN LOẠI 1: ĐẶT tu x
Nếu tích phân cĩ dạng: g u x u x dx ( ) '( ) thì ta đặt tu x( ) dt u x dx'( )
1
ax b x dx t ax nb 2tdtan x dx. n1
sin cos
cos sin
f x xdx tac x b os dt a inxdx s
1
x x
1
n
x
x
x x
f e e dx ta e xb dta e dx x
ln
f x dx
x
tan
os
os
c x
t
sin
sin
x
ĐỔI BIẾN LOẠI 2: ĐẶT x t
a x x asin ,t 2 t 2
hoặc x acos ,t 0 t
a x
1
x a
tan ,
x a t t
2 PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
Nếu u,v cùng cĩ tính liên tục trên k thì:
Khi đĩ ta áp dụng cá dạng sau:
( ) x
P x e dx
P x( ).cosxdx P x( ).sinxdx P x( ).lnxdx
Trang 2PHẦN 2: BÀI TẬP
Dạng 1: TÍCH PHÂN HÀM SỐ ĐA THỨC
Bài tập 1 : Tính các tích phân sau
1
100 0
2x1 x1 dx
0 1
x x dx
0
2x1 x1 dx
1
x x dx
Dạng 2: TÍCH PHÂN HÀM SỐ PHÂN THỨC
Công thức cần lưu ý : '( )
ln ( ) ( )
u x
dx u x
u x
Dạng cơ bản: 2 ( )
ax
P x
dx
bx c
Nếu bậc tử lớn hơn bậc mẫu thì các em lấy tử chia cho mẫu, ta sẽ dẫn đến tích phân có bậc tử nhỏ hơn bậc mẫu
Chúng ta xét các trường hợp sau của mẫu số
1 Tam thức : f x( )ax2 bx c có hai nghiệm phân biệt
Ta có hai cách
Cách 1: ( Hệ số bất định )
Cách 2: ( Nhẩy tầng lầu )
Ví dụ 1 : Tính tích phân : I=
1 2 0
4 11
x
dx
Giải
Cách 1: ( Hệ số bất định )
2
Thay x=-2 vào hai tử số : 3=A và thay x=-3 vào hai tử số : -1= -B suy ra B=1
Do đó : f(x)= 3 1
x x
2
1
3ln 2 ln 3 2ln 3 ln 2
0
x
Cách 2: ( Nhẩy tầng lầu )
Ta có : f(x)=
Do đó : I=
2 2
1
0
2 Tam thức : f x( )ax2 bx c có hai nghiệm kép
Thông thừơng ta đặt (x b / 2 )a t
Trang 3Giải
Cách 1:
Ta có :
2 2
Đặt : t=x+1 suy ra : dx=dt ; x=t-1 và : khi x=0 thì t=1 ; khi x=3 thì t=4
Do đó :
3
2
4
1
1
t x
x
Cách 2:
3 Tam thức : f x( )ax2 bx c vô nghiệm :
Ta viết : f(x)=
2
;
2
b
u x
a u k
Đặt u k tant ( dùng phương pháp đổi biến dạng 2)
VD 3: Tính tích phân sau : I=
2 0
4
dx x
Giải
Ta có :
2
x
Do đó :
2
2
0
Tính tích phân J=
2 2 0
1
4dx
x
Đặt : x = 2tant suy ra : dx = 2
2
4
Khi đó :
4
0
Thay vào (1) : 6
8
I
Nếu tích phân hữu tỉ có bậc mẫu lớn hơn hoặc bằng 3 thì ta thường phân tích mẫu thành nhân tử rồi dung kỷ thuật hệ số bấc định, kỷ thuật nhảy tầng lầu hoặc dung phương pháp đổi biến để tính
Bài tập 2 : Tính các tích phân sau:
3
1
2
0
4 11
2 0
2
1 2 0
4
x dx
x x
2 1
1
x
dx
x x
Trang 47
2
2
x
dx
x x
2 0
4
dx x
1
3
x dx
x
3
3 2
1
x x
11
2
x
dx
x x
3 2 2
1
1 dx
x x
4 2 3
1 4
x
dx
x x
2
x
dx
x x
15
1 3
3 2
2
1
5 6
x
dx
x x x
đồng nhất thức)
16
0 2
2 1
3 3 3
dx
1 2 4 0
1 1
x dx x
2 3
dx
x x
19
1
0
3 1
2 1
x
dx
x x
1
3 0
3 1 1
x dx x
1 2
4 2 0
1 1
x
dx
x x
2 3
2
1 1
x dx
x
23
2 2
6
1
1
1
x
dx
x
3 3 0
dx
x x
2 2
3 2 1
10
2 5
x
dx
x x
2
5 3 1
dx
x x
27
2 2
1
3
3 2
x
dx
x x
1
3
0 2 1
x dx
x
3
dx
x x x
10 1
12 0
3 5 2
x dx x
31
2
9 5
1 3
dx
x x
3
dx
x x
4 1
1 1
x dx
x x
7 3
2
x
dx
1 x 2x
Dạng 3: TÍCH PHÂN HÀM SỐ VÔ TỈ
Tích phân dạng m n p
x ax b dx
trong đó m, n, p là các số hữu tỉ thì Hướng giải quyết đầu tiên là đặt n
tax b hoặc n p
t ax b ( khoảng 80 % trong đề thi ĐH là giải được theo cách này, còn lại thì: nói chung là khó đó !!)
Hướng giải quyết thứ hai là đặt n n
n
(thường là tích phân có
dạng
n
m n
dx
Nếu tích phân chứa nhiều căn bậc khác nhau nhưng biểu thức trong dấu căn giống nhau thì ta đặt
n
t f x với n là bội chung nhỏ nhất của các căn bậc đó
Nếu tích phân chứa căn dưới mẫu số thí ta có thể nhân lượng liên hợp
2
1
ln
dx x x a
x a
2
1
ln
du u u a
u a
Ví dụ 4: Tính tích phân sau
2
x dx x
Giải
- Đặt :
2
2
- Vậy :
2
x
t x
Trang 5Vậy : Đặt
2
1
f x dx t t tdt t t dt
1
x x xdx t t dt t t
1
0
1
0
x dx x
- Do đó : 4 1 1
15 5 15
I
VD 5: Tính tích phân sau :
1 2
dx I
Giải
-Ta có :
1
2
1
1
Vậy
2 2 1
I
VD 6: Tính tích phân sau
3 3
3 3
1 2
dx I
x x
Chia cả tử và mẫu cho 3 3
,
x x x ta được
x x
Đặt
2
3
3
2
2
3 3
1
2 3
2
2
1
t dt t
dx
tdt t
t
Bài tập 3: Tính các tích phân sau:
1
7 3
3 2
x dx
x
4
2
7 9
dx
x x
4
1 1
dx
1
0 1
x x dx
5
3
3 2
3
2
1
dx
x
2
1 1
dx
x x
1 4 5
x dx
x
3 3 2
x dx
x
9
1
3
0
1
x xdx
2
3
1 1
dx
x x
2
2 1
dx
x x
2 0
dx
13
5
12 1 3 1
x
dx
x x
2
3 8 1
2
2
3
dx x
x
Trang 6Dạng 4: TÍCH PHÂN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
1 Thuộc các nguyên hàm :
sin ax+b dx cos ax+b
a
sin ax+b
ln os ax+b
os ax+b dx c
c
os ax+b sin ax+b
a
os ax+b
ln sin ax+b sin ax+b
c
dx
2 Đối với : I f x dx( )
a/ Nếu f(x)= n
sinm ; os
R x c x thì ta chú ý :
- Nếu m lẻ , n chẵn : đặt cosx=t ( Gọi tắt là lẻ sin )
- Nếu n lẻ , m chẵn : đặt sinx=t ( Gọi tắt là lẻ cos )
- Nếu m,n đều lẻ thì : đặt cosx=t hoặc sinx =t đều được ( gọi tắt lẻ sin hoặc lẻ cos )
- Nếu m,n đều chẵn : đặt tanx=t ( gọi tắt là chẵn sinx , cosx )
b/ Phải thuộc các công thức lượng giác và các công thức biến đổi lượng giác , các hằng đẳng thức lượng giác , công thức hạ bậc , nhân đôi , nhân ba , tính theo tang góc chia đôi
3 Nói chung để tính được một tích phân chứa các hàm số lượng giác , học sinh đòi hỏi phải có một số yếu tố sau :
- Biến đổi lượng giác thuần thục
- Có kỹ năng khéo léo nhận dạng được cách biến đỏi đưa về dạng đã biết trong nguyên hàm
Bài tập 4: Tính tích phân
0
sin
xdx
2
4
0
sin xcos xdx
2 4 4
1 sin x dx
3 3 0
1
s dx
5
4
2
0
os cos2
0
os 1 cos
2 4
0
1 2sin
1 sin2
x dx x
3 3
4
tan xdx
9
6
2
4
4
os
sin
c x
dx
x
2
0
sin2 cos
1 s
dx
co x
4 6
0
tan s2
x dx
2 3 3
1 sin x dx
13
3 2
2
0
sin cos
1 s
dx
4
3
3 tan
3 tan
x dx x
3 2
4
tan xdx
3 6
4
tan xdx
17
2
0
sin2 s
1 8 s
dx
co x
6
0
1
s os
4
dx
co x c x
4
0
sin
1 sin2
x dx x
2
3
1 sin2x 2sinx dx
21
2
3
0
sin2
3sin 4 s
x
dx
x co x
2
3 0
s2 sin s 3
co x
dx
x co x
6
4 0
s3
1 2sin
co x
dx x
2
3 0
tan sin sin s
x x
dx
x co x
Trang 74 4
29
3
2
0
sin
1 cos
dx x
0
sin cos
x x dx x
0 tan
0
2 sin cos
xdx x
x
Dạng 5: TÍCH PHÂN HÀM SỐ MŨ – LÔGARIT
Ta thường đổi biến hoặc dùng phương pháp tích phân từng phần
Chú ý công thức vi phân: 1
, ln
x x
d e e dx d x dx
x
Bài tập 5: Tính tích phân:
1
2
3
1
ln
x dx
x 0
x e 2x e
dx
1 2e
1
ln (2 ln )
e
x dx
x x
1
3
x
5
e
3 2
1
x ln xdx
1
x 1
lnx dx x
ln2 2x x 0
e dx
e 2
2 1
ln 1 x
dx x
9
3
1
ln
1
e
x
dx
x
e
1
3 2lnx
dx
x 1 2lnx
ln3
x x
xe dx
e
ln2
0
1
x
e dx
13
ln5
ln3 x 2 x 3
dx
e e
3
2 1
3 ln (1 )
dx
3 2 1
ln (1 ln )
e x
dx
16
ln5
ln2 10. x 1 x 1
dx
TÍCH PHÂN TỔNG HỢP
Bài tập 6: Tính tích phân:
1/
8 3
2
3
ln
1
x x
x
2
2 1
1 ln 1
x x
1
ln
e
x
1
1 ln
x x
x
x
I 2
1 3
2
ln 1
x x
3
6
cot sin sin
4
1
2 ln 1 ln
1 ln
x x
e
x
1
3 2ln
1 2ln
x
2 0
sin
1 cos
10/
2 2 2
ln 2
2 0
1
11/
2
0
5 7 cos 2
2 2 os
c x
4
2 0
sin cos 1
1 cos
x
x
Trang 82
6
1 sin 2 cos 2
sin cos
3
2 0
1 sin cos
x
15/
e
x
2 1
ln
3 ln
1 ln
16/
2 1
ln
1 3ln
3
3 2
1
2
x
19/
3
2 0
4 4 sin cos sin 2
1 cos
x
20/
2
2 0
1 cos sin
1 cos
4
0
2 cos 2 sin cos sin
22/
x x
1
2 ln
2 1
2 0
1 1
x
I x
8 3
ln 1
x
x