Chuyên đề ôn thi thể tích

Tính thể tích hình chóp tam giác đều S.ABC biết : a Cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a... Tính thể tích hình chóp tứ giác đều S.ABCD biết : a Cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a.. Cho hình

Trang 1

CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

1 Phương pháp tính trực tiếp

2 Phương pháp tính gián tiếp

3 Phương pháp phân chia lắp ghép khối

II THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN KHÁC

Trang 2

BÀI 1 : THỂ TÍCH KHỐI CHÓP

I Lý thuyết cần nhớ

1 Công thức thể tích khối chóp : 1 .

3

V  B h (1) Trong đó B là diện tích đáy, h là độ dài đường cao tương ứng

2 Một số tính chất cần nhớ

a) Cách xác định góc :

- Góc giữa đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) bằng góc giữa (d) và (d’), với (d’) là hình chiếu của (d) trên mp (P)

- Góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai đường thẳng nằm trong 2 mặt đó, vuông góc với giao tuyến tại một điểm

b) Một số tính chất về khoảng cách :

- Cho  / /( ) à ,P v A B thì : d(A; (P)) = d (B; (P))

- Cho ( ) à ; ó: ( ;( ))

( ;( ))

c) Cho hình chóp SABC trên SA, SB, SC lấy A’, B’, C’ ta có

' ' '

SABC

SA B C

II Bài Tập

1 Phương pháp tính trực tiếp

Cơ sở : sử dụng công thức 1 .

3

V  B h, vậy ta phải tính diện tích đáy, và tính độ dài đường cao

1 Tính thể tích hình chóp tam giác đều S.ABC biết :

a) Cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a

b) Cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với mặt đáy góc 600

c) Cạnh đáy bằng a, mặt bên hợp với mặt đáy góc 600

d) Cạnh đáy bằng a, và góc ASB bằng 1200

Trang 3

2 Tính thể tích hình chóp tứ giác đều S.ABCD biết :

a) Cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a

b) Cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với mặt đáy góc 600

c) Cạnh đáy bằng a, mặt bên hợp với mặt đáy góc 600

d) Cạnh đáy bằng a, và góc ASB bằng 1200, góc ACS bằng 1200

3 Cho tứ điện SABC cạnh a, dựng đường cao SH

a) CMR : SA vuông góc BC

b) Tính thể tích SABC Gọi O là trung điểm SH CMR : OA, OB, OC đôi một vuông góc

4 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, (SAB)  (ABCD), SABđều, H

là trung điểm AB, M là trung điểm BC Tính thể tích S.ABCD và khoảng cách từ S tới MD

Gợi ý : Kẻ SK MDthì H, K, C thẳng hàng Ta có : ( ; ) 30

5

a

5 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB=a, SA (ABCD), cạnh SC hợp với đáy góc 300, hợp với (SAB) góc 450 Tính SC và thể tích S.ABCD

K quả : SC = 2a,

3

2 3

a

Bài 6 (Tốt nghiệp THPT 2011)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A, D, AD=CD=a, AB=3a,

SA ABCD , SC tạo với đáy góc 450 Tính thể tích S.ABCD (

3

2 2 3

a

Bài 7 (CĐ 2011)

Cho hình chóp S.ABC có đáy là t.giác ABC vuông cân tại B AB = a, SA (ABC) Góc (SBC) và (ABC) bằng 300, M là trung điểm SC Tính thể tích S.ABM ( 3

12 3

a

Gợi ý : bài toán có thể giải theo 3 phương pháp

1 Tính trực tiếp : Coi M là đỉnh

2 Gián tiếp : Coi B là đỉnh, so sánh với thể tích S.ABC

Trang 4

3 Phân chia khối đa diện : V V SABC( ) V MABC( )

Bài 8 (A – 2011 )

Cho hình chóp S.ABC có đáy là t giác ABC vuông cân tại B, BA=BC=2a, 2 mp (SAB)

và (SAC) cùng vuông góc với (ABC) M là trung điểm AB, mp qua SM, và song song vơi

BC cắt AC tại N biết góc (SBC) và (ABC) bằng 600 Tính thể tích S.BCNM và d(AB; SN)

Kết quả : 3

3

V a Kẻ NE//AB, từ A kẻ AKNE AH; SK tac AHó  (SKE)

Ta có ( ; ) ( ;( )) 2 39

13

a

Bài 9 (A – 2010 )

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, M, N là trung điểm của AB,

AD, CN cắt MD tại H Biết SH (ABCD)và SH a 3 Tính V S CDNM. v d MD SCà ( ; )

Kết quả :

3

5 3 24

a

19

a

CNMDn nke HKê SC thì HK là đường vuông góc chung

Bài 10(A – 2009 )

Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang vuông tại A, D AB=AD=2a, CD = a góc (SBC) và (ABCD) bằng 600 Gọi I là trung điểm AD, biết 2mp (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với (ABCD) Tính thể tích S.ABCD (

3

3 15 5

a

Gợi ý : Kẻ IKCBthì góc SKI bằng 600

Tính IK dựa vào S(IBC) = S(ABCD) – S(DIC) – S(AIB)

Bài 11 (D – 2011 )

Cho hình chóp SABC có đáy là t giác ABC vuông tại B, BA=3a, BC=4a

(SBC)  (ABC)SB 2a 3; góc SBC bằng 300 Tính V(SABC) và d(B;(SAC))

Gợi ý : Kẻ SHBCSH (ABC), 3

2 3

V  a d(B;(SAC))=4.d(H(SAC))=6 7

7

a

Bài 12 (Thử ĐT 2011 lần 1 )

Trang 5

Cho hình chóp S.ABC có (SBC)  (ABC) SB=SC=1 Các góc đỉnh S bằng 600

Tính V(SABC)

Gợi ý : Gọi H là trung điểm BC : 1 . 2

Bài 13(Thử ĐT 2010 lần 1)

1 Cho tứ diện SABC có SA=x, các cạnh còn lại bằng 1 Tính V(SABC), tìm x để V Max?

2 Cho hình chóp S.ABCD có SA=x, các cạnh còn lại bằg 1.Tính V(SABCD),tìm x để V Max?

Gợi ý 2) + Tam giác SAC vuông tại S

+ Kẻ 1 2

6

Bài 14 (Thử ĐT 2011 lần 2)

Cho tứ diện OABC có OA=2, OB=3, OC=4, các góc ở đỉnh O bằng 600 Tính V(OABC)?

Cách 1 : 1 2 2

Cách 2 : Áp dụng

' ' '

SABC

SA B C

Bài 15 (Thử TM 2011)

Cho hình chóp S.ABC có ABC là t giác vuông tại C SA (ABC)CA=CB=a, góc (SBC) và (ABC) bằng  Gọi G là trọng tâm ABC Tính V(SABC) và d(G;(SBC))

Kết quả : 1 3 1

Bài 16 (Thi thử ĐH)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là HCN, AB=AS=a, ADa 2, SA (ABCD) M,N

là trung điểm AD, SC, I là giao của BM và AC CMR : (SAC)  (SMB), tính V(ANIB) ?

 Sử dụng tích vô hướng => MBACMB (SAC)  (SMB)  (SAC)

 AMBvuông tại A có AI là đường cao, tính AI, BI =>

2

2 6

a

Trang 6

 V(ANIB)= V(N.AIB)=

3

2 36

a

Bài 17 (Một số bài toán về tỉ số thể tích)

1 Cho khối chóp tam giác SABC có ABC vuông cân tại B, ACa 2,SA(ABC), góc giữa SB và mp(ABC) bằng 60 H là hình chiếu của A trên SB, mp(P) chứa AH và song song với BC, cắt SC tại K

a) Hãy nêu cách dựng mp(P)?

b) Tính tỉ số thể tích của 2 khôi đa diện SAHK và ABCHK?

2 Cho khối chóp tam giác SABC có ABC là tam giác vuông cân tại B, ACa 2,

SA ABC , góc giữa SC và mp(ABC) bằng 60 H là hình chiếu của A trên SC, mp(P) chứa AH và song song với BC, cắt SB tại K

V SABC  a V SAHK  a V ABCHK  a => Tỉ số 97

Bài 18 Cho khối chóp SABCD có SA(ABC SA a);  2 Đáy ABCD là hình vuông cạnh a, C’

là hình chiếu của A trên SC Mặt phẳng (P) chứa AC’ và song song với BD, cắt SB, SD tại B’, D’ a) Hãy nêu cách dựng mp(P) ?

b) Tính tỉ số thể tích 2 khôi đa diện SAB’C’D’ và ABCDD’C’B’

V SABCD  a V SAB C D  a V ABC C B  a

 Một số bài tập luyện tập

1 (CĐ 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC vuông cân tại B AB = a, SA (ABC) Góc (SBC) và (ABC) bằng 30, M là trung điểm SC Tính V(S.ABM) (

3

12 3

a

2 (CĐ2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a (SAB)  (ABCD), ,SA=SB, góc SC và đáy bằng 450 Tính V(S.ABCD) (

3

5 6

a

3 (CĐ 2009) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB =a, SAa 2 Gọi M,N,P là trung

Trang 7

điểm SA, SB, CD CMR : MN vuông góc SP và tính V(AMNP) ?

4 (CĐ 2008) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang Góc BAD, ABC cùng

bằng 90 BA=BC=a, AD=2a, SA vuông góc với đáy và SA=2a Gọi M, N là trung điểm SA,

SD CMR : BCNM là HCN và tính V(S.BCNM) ?

5 (TN 2011) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A, D, AD=CD=a,

AB=3a, SA (ABCD), SC tạo với đáy góc 450 Tính thể tích S.ABCD (

3

2 2 3

a

6 (TN 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Cạnh bên SA

vuông góc với đáy, góc giữa (SBD) và đáy bằng 600 Tính V(S.ABCD)

7 (TN 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là HCN tâm O; SA=SB=SC=SD Biết AB=3a,

BC=4a và góc OAS bằng 450 Tính V(S.ABCD)

8 (TN 2009) Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy Biết góc BAC bằng 120 Tính V(S.ABCD) ?

9 (TN 2008) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy a, cạnh bên 2a Gọi I là trung điểm

BC CMR : SA vuông góc BC, và tính V(S.ABI) ?

10 (TN 2007) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với đáy Biết SA=AB=BC=a Tính V(S.ABC) ?

11 (TN 2006) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông

góc với đáy, cạnh SBa 3

a) Tính V(S.ABCD)?

b) CMR : trung điểm SC là tâm mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD

12 (B – 2008) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a, SA=a, SBa 3 và mp (SAB) vuông góc với mặt đáy Gọi M, N là trung điểm Ab, BC Tính V(S.BMDN) và cosin

của góc giữa 2 đường thẳng SM, DN

13 (A – 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là t.giác đều

và nằm trong mp vuông góc với đáy Gọi M, N, P là trung điểm của SB, BC, CD CMR :

AM vuông góc với BP, và tính V(CMNP)

14 (B – 2007) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a Gọi E là điểm

đối xứng với D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC

CMR : MN vuông góc BD và tính d(MN; AC)

15 (D – 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, góc ABC, BAD bằng 90

Trang 8

BA=BC=a, AD=2a Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SAa 2 Gọi H là hình chiếu của

A trên SB CMR : t.giác SCD vuông và tính khoảng cách từ H tới (SCD)

16 (B – 2006) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là HCN với AB=a, ADa 2, Sa=a và

SA vuông góc với mặt đáy Gọi M, N là trung điểm AD, SC; I là giao điểm của BM và AC

CMR : mp(SAC) vuông góc mp(SMB) và tính V(ANIB)

17 (B – 2004) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và

mặt đáy bằng  Tính tan của góc giữa 2 mp (SAB) và (ABCD), V(S.ABCD)?

18 (A – 2002 ) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S có độ dài cạnh đáy bằng a Gọi M,

N là trung điểm SB, SC Tính S(AMN), biết rằng mp(AMN) vuông góc với mp(SBC)

19 (D – 2002) Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với (ABC), AC=AD=4, AB=3, BC=5 Tính khoảng cách từ A tới mp(BCD) ?

Trang 9

2 Phương pháp gián tiếp

a) Cơ sở : Để tính V(H) ta có thể tính thể tích V’ của một khối chóp khác đơn giản hơn Dựa

vào mối quan hệ giữa V và V’ => V

b) Một số tính chất

+ Cùng chiều cao :

+ Sử dụng :

' ' '

SABC

SA B C

Bài 1(CĐ 2011)

12 3

a

Gợi ý : Bài toán có thể giải theo 3 phương pháp

Bài 2 (CĐ 2009)

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy AB=a, SAa 2 Gọi M, N, P là trung điểm SA, SB, CD CMR : MNSP, và tính V(AMNP) ?

Gợi ý :

3

a

Bài 3 (D – 2010 )

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA=a Hình chiếu vuông góc của S trên (ABCD) là H thuộc AC sao cho AC=4.AH Gọi CM là đường cao của SAC CMR : M là trung điểm SA và tính V(SMBC) ?

Gợi ý :

3

a

Trang 10

Bài 4 (Thử ĐT 2010 lần 2)

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy bằng a, M,N là trung điểm SA, BC Biết góc

MN và (ABCD) bằng 600 Tính V(SMNC)?

Gợi ý : ( ) ( ) ( ) 1 . 30

a

Bài 5 (Thử ĐT 2011)

Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành, AB=5, BC=6, AC=9,

27 4

SASB C Tính V(S.ABCD) ?

Gợi ý : V(S.ABCD)=2.V(S.ABC)

Theo herong : S ABC( ) 10 2 

Do SA=SB=SC nên kẻ đường cao SH thì H là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC

SA=R

4

abc S

 , tính được SA => tính được SH => V(S.ABCD)=45

Bài 6 (Thử ĐT lần 2 – 2011 )

Cho tứ diện OABC có OA=2, OB=3, OC=4, các góc ở đỉnh S bằng 600 Tính V(O.ABC) ?

Gợi ý : Áp dụng

' ' '

SABC

SA B C

Trên OB, OC lấy OB’=OC’=2 ta tính được V(OAB’C’)

Bài 7 (B – 2009 )

Cho lăng trụ ABC.A’BC’ có BB’=a, góc giữa BB’ và (ABC) bằng 600

Hình chiếu vuông góc của B’ lên (ABC) trùng với trọng tâm ABC Tính V(A’ABC)

KQ : V(A’ABC)=V(B’.ABC) =

3

9 208

a

 G là trọng tâm ABC=> góc B’BG bằng 600

BG BD (D trung điểm AC)

 Đặt AB=x, biểu diễn BC, CD theo x, dựa vào BCD=> x

Bài 8

Trang 11

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là HV cạnh a, cạnh bên SA=2a và vuông góc với đáy Gọi B’, C’, D’ là hình chiếu của A trên SB, SC, SD

a) CMR : A, B’, C’ D’ đồng phẳng (cùng nằm trên mp vuông góc với SC)

b) Tính V(S.AB’C’D’)

Gợi ý : Áp dụng

' ' '

SABC

SA B C

tam giác

Bài 9 (Một số bài toán về tỉ số thể tích)

1 Cho khối chóp tam giác SABC có ABC vuông cân tại B, ACa 2,SA(ABC), góc giữa SB và mp(ABC) bằng 60 H là hình chiếu của A trên SB, mp(P) chứa AH và song song với BC, cắt SC tại K

2 Cho khối chóp tam giác SABC có ABC là tam giác vuông cân tại B, ACa 2,

SA ABC , góc giữa SC và mp(ABC) bằng 60 H là hình chiếu của A trên SC, mp(P) chứa AH và song song với BC, cắt SB tại K

V SABC  a V SAHK  a V ABCHK  a => Tỉ số 97

Bài 10 Cho khối chóp SABCD có SA(ABC SA a);  2 Đáy ABCD là hình vuông cạnh a, C’

là hình chiếu của A trên SC Mặt phẳng (P) chứa AC’ và song song với BD, cắt SB, SD tại B’, D’ a) Hãy nêu cách dựng mp(P) ?

b) Tính tỉ số thể tích 2 khôi đa diện SAB’C’D’ và ABCDD’C’B’

V SABCD  a V SAB C D  a V ABC C B  a

Trang 12

3) Phương pháp phân chia lắp ghép khối đa diện

Bài 1 (CĐ 2011)

12 3

a

Gợi ý : Bài toán có thể giải theo 3 phương pháp

Bài 2

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Tính thể tích khối chóp BDC’A’

HD : Thể tích lập phương bằng a3

 V(BDC’A’) bằng V(L.phương) trừ đi thể tích 4 hình chóp vuông đỉnh là B’, D’, A, C

 Mỗi chóp vuông này có V 1 3

6a

 => V(BDC’A’) 1 3

3a

Trang 13

.

Trang 14

BÀI 2 : THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN KHÁC

I Một số công thức thể tích

1 Lăng trụ : V B h. Trong đó B là diện tích đáy, h là độ dài đường cao

2 Khối trụ tròn xoay : V B h. Trong đó B là diện tích đáy, h là độ dài đường cao

3 Khối chóp nón : 1 .

3

V  B h Trong đó B là diện tích đáy, h là độ dài đường cao

4 Hình hộp chữ nhật : V = a.b.c Với a, b, c là độ dài 3 cạnh

5 Hình lập phương : V = a3 Với a là độ dài cạnh hình lập phương

II Bài tập

Bài 1 (Bài tâp cơ bản)

a) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, góc giữa A’B và (ABC) bằng 60 Tính thể tích khối lăng trụ

b) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, góc giữa (A’BC) và (ABC bằng 60 Tính thể tích lăng trụ

Bài 1

a) (B – 2009) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có BB’=a, góc giữa BB’ và (ABC) bằng 600 Tam giác ABC vuông tại C, góc BAC bằng 60 Hình chiếu vuông góc của B’ lên (ABC) trùng với trọng tâm ABC Tính V(A’ABC)

HD : V(A’ABC)=V(B’.ABC) =9 3

208

a

 G là trọng tâm ABC=> góc B’BG bằng 600

BG BD (D trung điểm AC)

 Đặt AB=x, biểu diễn BC, CD theo x, dựa vào BCD=> x

b) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có BB’=a, góc giữa BB’ và (ABC) bằng 600 Tam giác ABC vuông tại A, góc BCA bằng 60 Hình chiếu vuông góc của B’ lên (ABC) trùng với trọng tâm ABC Tính V(A’ABC)

c) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có BB’=a, góc giữa BB’ và (ABC) bằng 600 Tam giác ABC

Định dạng
Số trang	16
Dung lượng	711,33 KB