Gọi I,N,J,M là trung điểm lần lợt của AB,AC,CD và BD, S là diện tích tứ giác INJM.. a,Tứ giác INJM là hình gì?.
Trang 1Trờng THCS Vinh Xuõn
Đề và đáp án thi chọn dội tuyển toan 8
Năm học 2010 – 2011 (thời gian 150ph)
Câu 1:
a Cho: 3y-x=6 Tính giá trị biểu thức: A=
6 x
y 3 x 2 2 y
x
−
− +
b Cho (a+b+c)2=a2+b2+c2 và a,b,c≠0 Chứng minh :
abc
3 c
1 b
1 a
1
3 3
Câu 2:
a Tìm x,y,x biết :
5
z y x 4
z 3
y 2
x2 + 2 + 2 = 2 + 2 + 2
b.Giải phơng trình : 2x(8x-1)2(4x-1)=9
Câu 3:
a Chứng minh : a5 - a chia hết cho 30 với a∈Z
b Chứng minh rằng : x5 – x + 2 không là số chính phơng với mọi x∈Z+
Câu 4: Cho a,b,c>0 Chứng minh bất đẳng thức :
8
bc
a c ba
c b ac
b
+
+
+
Câu5: Cho tứ giác ABCD có ∠ADC+∠DCB=900 AD=BC, CD=a, AB=b Gọi
I,N,J,M là trung điểm lần lợt của AB,AC,CD và BD, S là diện tích tứ giác INJM
a,Tứ giác INJM là hình gì?
b, Chứng minh :S ≥
++
++
++
2
2
2
2
b
a a
b c
b b
c a
c c
a abc
1 abc Dấu bằng sảy ra khi nào?
Câu 6: Chứng minh rằng nếu a,b,c là các số hữu tỷ và ab+bc+ac=1 thì
(1+a2)(1+b2)(1+c2) bằng bình phơng của số hữu tỉ
……… Hết………
Đáp án
Câu 1:
a : 3y-x=6 ⇒ x=3y-6 Thay vào ta cú A=4
Trang 2b Vì: (a+b+c)2=a2+b2+c2 và a,b,c≠0 ⇒ab+ac+bc=0⇒ 0
abc
bc ac ab
= + +
0 c
1 b
1
a
c
1
; y b
1
; x a
1= = = áp dụng bài toán cơ bản ta có
Nếu x+y+z=0 thì: x3+y3+z3=3xyz ⇒đpcm
Câu 2:
a :
5
z y x 4
z 3
y 2
x2 + 2 + 2 = 2 + 2 + 2
5
z 4
z 5
y 3
y 5
x 2
− +
− +
−
20
z 15
y 2 10
x
=
=
⇔
= + +
⇔
b phơng trình : 2x(8x-1)2(4x-1)=9⇔(64x2 −16x+1)(8x2 −2x)=9
⇔(64x2 −16x+1)(64x2 −16x)=72 đặt :64x2-16x+0,5=k
Ta có pt : (k+0,5)(k-0,5)=72⇔k2 =72,25⇔k ±8,5
Với k=8,5 Ta có x=
2
1 x
; 4
Với k=-8,5 phơng trình vô nghiệm
Vậy phơng trình có 2nghiệm x=-1/4và x=1/2
Câu 3:
a, có: a5-a=a(a4-1)=a(a2-1)(a2+1)=a(a-1)(a+1)(a2-4+5)
= a(a-1)(a+1)(a+2)(a-2)+5a(a-1)(a+1) vì a nguyên nên a(a-1)(a+1)(a+2)(a-2)
là tích 5 số nguyên liên tiếp nên 30 ; 5a(a-1)(a+1)là tích của 3số nguyên liên tiếp với
5 nên chia hết cho 30⇒đpcm
b,Từ bài toán trên ta có: x5-x 5 ⇒ x5-x+2 chia 5 d 2⇒ x5-x+2 có tận cùng là 2 hoạc 7 (không có số chính phơng nào có tận cùng là 2hoặc 7)Vậy
x5-x+2 không thế là số chính phơng với mọi x∈Z+
Câu 4
Trang 3§Æt A=
+
+
+
bc
a c ba
c b ac
b
+
bc
a c a
1 ac
b b
c ab
2 2
2
=
abc
1 a
c c
b a
b b
a b
c
c
a
2 2
2 2
+ + + + + +
+
+
+
2
2 2
2 2
2
b
a a
b c
b b
c a
c c
a abc
1
Víi x>0⇒A≥8
C©u5: a ,ta cã IM=NJ=IN=MJ
( cïng b»ng 1/2AD mµ AD=BC) , CB⊥CB(gt)
0
90 MIN=
∠
B, dt tø gi¸c MINJ=1/2MN.IJ=1/2MN2 Gäi P lµ trung ®iÓm cña AD ta cã:
8
b a 2
b a 2
1 S 2
b a PM PN
2 2
−
=
−
≥
⇒
−
=
−
MN=PN−PM Hay P,M,N th¼ng hµng
T¬ng tù 1+b2 =(a+b)(b+c)
1+c2=(b+c)(a+c
( )( )( )
2 2
a
1
C
D
I
++
++
++
+ 2
abc
abc