Cong thuc Toan 11 can nho

Tam giác cân: + Đường cao AH cũng là đường trung tuyến + Tính đường cao và diện tích :AH =BH.tanµB, 1.. Hình vuơng + Diện tích hình vuơng :S ABCD =AB2 Diện tích bằng cạnh bình phương

 HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN

A Các Tính Chất :

1 Tam giác thường:

- Diện tích của tam giác :

2

ABC

S∆ = AB AC A ; 1

2

ABC

S∆ = BC AH

2 Các tam giác đặc biệt :

a Tam giác vuơng :

+ Định lý pitago:BC2 = AB2+AC2

+ Tỷ số lượng giác trong tam giác vuơng

sinµ = Đối =

Huyền

b B

a ; µ = =

Kề cos

Huyền

c B

a ; µ = =

Đối tan

Kề

b B

c

+ Diện tích tam giác vuơng: 1

2

ABC

S∆ = AB AC

b Tam giác cân:

+ Đường cao AH cũng là đường trung tuyến

+ Tính đường cao và diện tích :AH =BH.tanµB, 1

2

ABC

S∆ = BC AH

c Tam giác đều:

+ Đường cao của tam giác đều : = = 3

2

h AM AB ( đường cao h = cạnh x 3

2 )

( )

4

ABC

S∆ = AB

2 Tứ giác

a Hình vuơng

+ Diện tích hình vuơng :S ABCD =(AB)2( Diện tích bằng cạnh bình phương)

+ Đường chéo hình vuơng AC BD AB= = 2

+ OA = OB = OC = OD ( đường chéo hình vuơng bằng cạnh x 2 )

h

H

A

c

a

b

C B

A

A

B

A

G

C M

O

B

D

A

Thông thường bài toán về hình chóp được phân thành 2 dạng như sau:

Cho hình chóp

Hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy Hình chóp đều

B

S

A

C

B

S

O

- Đa giác đáy : Hình chóp tam giác đều

− Tam giác vuông Hình chóp tứ giác đều

− Tam giác cân

− Tam giác đều

− Hình vuông, chữ nhật

 Các khối chĩp đặc biệt :

a) Khối tứ diện đều:

+ Tất cả các cạnh đều bằng nhau

+ Tất cả các mặt đều là các tam giác đều

+ O là trọng tâm của tam giác đáy và AO ⊥ (BCD)

b) Khối chĩp tứ giác đều

+ Tất cả các cạnh bên bằng nhau

+ Đa giác đáy là hình vuơng tâm O

+ SO ⊥ (ABCD)

O

C D

B A

S

A

C

D M O

 LIÊN QUAN ĐẾN GÓC

Góc

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Góc giữa hai mặt phẳng

A

C

B

S

M O

Nhắc lại cách xác định gĩc :

1 Gĩc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P):

a Tìm hình chiếu d / của d lên mặt phẳng (P)

b Khi đĩ gĩc giữa d và (P) là gĩc giữa d và d /

Bài 5 : Cho hình chĩp S.ABCD cĩ ABCD là hình vuơng, SA vuơng gĩc với (ABCD) và gĩc giữa SC với

(ABCD) bằng 45 0 Hãy xác định gĩc đĩ.

Giải

Ta cĩ : AC hc= (ABCD)SC ⇒ ·( ,(SC ABCD)) ( ,=·SC AC)=SCA· =45o

2 Gĩc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) :

c Xác định giao tuyến d của (P) và (Q)

d Tìm trong (P) đường thẳng a ⊥ (d) , trong mặt phẳng (Q) đường thẳng b ⊥ (d)

e Khi đĩ gĩc giữa (P) và (Q) là gĩc giữa hai đường thẳng a và b

Bài 6 : Cho hình chĩp tứ giác đều S.ABCD cĩ ABCD là hình vuơng, và gĩc giữa mặt bên với mặt đáy bằng 60 0 Hãy xác định gĩc đĩ.

Giải

Gọi M là trung điểm BC

Ta cĩ : (SBC) ∩ (ABCD) = BC

(ABCD)⊃AM ⊥ BC

(SBC) ⊃SM ⊥ BC ( vì AM =hc SM)

45 O S

C D

B A

S

60

S

B

C A

60

M O

S

C

Bài Toán 2 3:

Cho hình chĩp S.ABC cĩ tam giác ABC vuơng tại B, AB = a 3 , BC = a, cạnh bên SA vuơng gĩc với mặt phẳng đáy ; mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy (ABC) một gĩc bằng 60 0 Tính thể tích khối chĩp S.ABC

Giải

 Sai lầm của học sinh:

− Gọi M là trung điểm BC

− Ta cĩ AM ⊥ BC

SM ⊥ BC

⇒ ·(( ),( )) (· , ) · 60o

SBC ABC = SM AM =SMA=

(Hình vẽ sai)

 Lời giải đúng:

* Ta cĩ : AB = a 3 ,

(SBC) ∩ (ABC) = BC

AB ⊥ BC ( vì ∆ ABC vuơng tại B)

SB ⊥ BC ( vì AB hc= (ABC SB)

⇒ ·((SBC),(ABC)) (=·SB AB, )=SBA· =60o

Nhận xét:

- Nếu đáy là tam giác vuơng tại B (hoặc C), hình vuơng và SA vuơng gĩc với đáy thì gĩc giữa mặt bên

và mặt đáy sẽ là gĩc được xác định tại một trong hai vị trí đầu mút của cạnh giao tuyến

- Nếu đáy là một tam giác cân (đều) và SA vuơng gĩc với đáy hoặc là hình chĩp đều thì gĩc giữa mặt bên và mặt đáy là gĩc ở tại vị trí trung điểm của cạnh giao tuyến

GIẢI TÍCH 11

A ĐẠO HÀM :

1/ Đạo hàm của một số hàm số thường gặp:

2/ Các qui tắc tính đạo hàm:

1/ QT1: ( )/ /

k u =k u 2/ QT2: ( )/ / /

u v± = ±u v

u v =u v u v+ 4/ QT4:

2

u u v u v

−

  =

 ÷

 

1/ ( )/

0

C = 2/ ( )/

1

x =

3/ ( )2 /

2

x = x 4/ ( )n / n 1

x =nx −

5/

/

2

  = −

 ÷

 

6/ ( )/ 1

2

x

x

=

( )/ 1 /

u =nu − u

/ / 2

  = −

 ÷

 

( )/ /

2

u u

u

=

60 M S

B

C A

60 S

B

C A

a/ Các hệ quả:

+ HQ1:

/ / 2

  = −

 ÷

  + HQ2:

2

  = −

 ÷

 

b/ Nhận xét:

/

2

+

/

2 2

ax bx c adx ae x be cd

3/ Đạo hàm của các hàm số lượng giác:

1/ ( sinx )/ = cosx

2/ ( cosx )/ = -sinx

3/ ( )/

2

1 tan

cos

x

x

=

4/ ( )/

2

1 cot

sin

x

x

= −

5/ ( sin2 x )/ = sin2x

6/ ( cos2 x )/ = -sin2x

nn sinn cos

si x =n − x x

osn cosn sinx

c x = −n − x

2

1

os

c x

−

=

2

1

sin

x

−

= −

1/ ( sinu )/ = u/.cosu 2/ ( cosu )/ = - u/.sinu

2 tan

cos

u u

u

=

2 cot

sin

u u

u

= −

5/ ( sin2 u )/ = u/ sin2u 6/ ( cos2 u )/ = - u/ sin2u

nn sinn sinu

si u =n − u

osn cosn cosu

c u =n − u

tann u =n.tann− u t anu

co u =n co − x co u

Vấn đề 1:

PP1: Áp dụng định nghĩa:

( ) ( )

a'//a

a,b = a';b' b'//b

⇒





PP2: Sử dụng tích vô hướng:

( ) ( ) a.b

cos a;b = cos a;b =

a b

r r

r r

r r

1) Chứng minh hai đường thẳng vuông góc:

PP1: a⊥ ⇔b a.b=0r r

PP2: a//b a c

⇒ ⊥



⊥ 

A Dạng toán cơ bản:

1) Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:

PP1:









d a ,d b

a,b caét nhau

b (P)

⇒ ⊥



2) Chứng minh đường thẳng vuông góc với đường thẳng :

PP1 a (P) a b

b (P)



PP2: Sử dụng định lý ba đường vuông

góc

3) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng :

Định nghĩa: Góc giữa đường

thẳng d và mặt phẳng(P) là góc giữa

đường thẳng d và hình chiếu d’ của nó

trên (P)

PP: d’ là hình chiếu của d trên (P) ⇒

(d;(P))=(d;d’)

b' b

a' a

Vấn đề 2:

Đường thẳng vuông góc với mặt

ph ng ẳ

ph ng ẳ

d

a b P

(P)

a'

a

b P

a

4) ĐL: Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng cho trước

A Dạng toán cơ bản:

1) Góc giữa hai mặt phẳng : Góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến

PP1:

( ) ( )

( ),

∩ = ∆ 





PP2: Sử dụng định lý về diện tích hình chiếu

'

S

2) Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc:

PP1: (P)⊥(Q)⇔((P);(Q))=900

PP2: ( ) ( ) ( )

( )



3) Chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng :

PP:

(P) (R)

(Q) (R)Δ (R)

(P) (Q)=Δ





4) Cho đường thẳng d không vuông góc với mặt phẳng (P) Có duy nhất một mặt phẳng chứa a và

vuông góc với (P)

A Dạng toán cơ bản:

1) Khoảng cách từ một điểm M đến một đường thẳng ∆ :

Hạ MH vuông góc với ∆ tại H ⇒ d(M;∆)=MH

2) Khoảng cách từ một điểm M đến một mặt phẳng (P):

Vấn đề 3:

Hai mặt phẳng vuông góc

ph ng ẳ

ph ng ẳ

b a

Q

P a

a

R

Q P

Vấn đề 4:

Khoảng cách

c b

a

M

B A

 Nếu a⊥b thì ta dựng mặt phẳng(P) chứa b và vuông góc với a tại M, kẻ MN⊥b tại N

Khi đó MN là đoạn vuông góc chung của a và b

 Nếu a không vuông góc với b thì:

- Dựng mặt phẳng(Q) chứa b và song song với a

- Dựng hình chiếu a’ của a trên (Q), a’ cắt b tại J

- Dựng đường thẳng qua J và vuông góc với (Q) cắt a tại I

Khi đó: IJ là đoạn vuôn góc chung của a và b.

b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: d(a;b)=MN

1 Hệ thức lượng trong tam giác vuông :

Cho ∆ ABCvuông ở A ta có :

a) Định lý Pitago : BC2 = AB2+AC2

b) BA =BH.BC; CA =CH.CB2 2

c) AB AC = BC AH=2SABC

d) 12 = 12 + 12

e) BC = 2AM

f) sinB= , cosB= , tanB= , cotB=b c b c

g) b = a sinB = a.cosC, c = a sinC = a.cosB,

a =

B = C, b = c tanB = c.cot C

2.Hệ thức lượng trong tam giác thường:

* Định lý hàm số Côsin: a2=b2+c2-2bc.cosA

2 2 2

b +c -a cosA=

2bc

⇒

* Định lý hàm số Sin: a = b = c =2R

sinA sinB sinC

* Độ dài đường trung tuyến: ( 2 2) 2

a

2 b +c -a

m =

4

3 Các công thức tính diện tích.

a/ Công thức tính diện tích tam giác:

S = a.h = a.bsinC = = p.r = p.(p-a)(p-b)(p-c)

a+b+c p=

2

Đặc biệt : *∆ ABC vuông ở A : S= AB.AC1

* ∆ ABC đều cạnh a: diện tích S=a2 3

4 ; đường cao:

a 3 h=

2

b/ Diện tích hình vuông : S = cạnh x cạnh

c/ Diện tích hình chữ nhật : S = dài x rộng

d/ Diên tích hình thoi : S = 1

2(chéo dài x chéo ngắn)

d/ Diện tích hình thang : 1

2

S = [(đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao]

e/ Diện tích hình bình hành : S = đáy x chiều cao

a

b P

M

N