SKKN_KỸ THUẬT DẠY PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

Để giúp các em hiểu sâu, giải và ứng dụng của phương trình bậc hai vào việc vận dụng nó, giải các loại toán khác; tôi mạnh dạn nêu lên đề tài: " Kỹ thuật dạy phương trình bậc hai một ẩn

A/ LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:

Toán học luôn luôn là một môn học có vai trò cực kỳ quan trọng trong trường THCS Qua toán học giúp cho người học nâng cao được khả năng tư duy , khả năng suy luận và việc vận dụng các kiến thức đó vào các môn học khác, góp phần giúp người học phát triển và hoàn thiện nhân cách của mình Chính vì lẽ đó việc lĩnh hội và tiếp thu môn toán là một vấn đề mà không người giáo viên dạy toán nào không trăn trở từng phút, từng giờ Với đặc thù riêng của bộ môn, trong hoạt động dạy và học môn toán đòi hỏi giáo viên cũng như học sinh phải không ngừng tìm tòi sáng tạo, tích lũy kinh nghiệm nhằm đưa ra những phương pháp giảng dạy, những cách lĩnh hội phù hợp nhất Việc vận dụng kiến thức đòi hỏi học sinh phải nắm vững những kiến thức cơ bản và khả năng kết hợp linh hoạt các công cụ toán học có tính hệ thống, các kĩ năng, kĩ sảo trong khi giải toán

Trong chương trình toán 9 cấp THCS phương trình bậc hai đóng vai trò

khá quan trọng, nên việc hiểu và nắm vững được là một việc làm vô cùng cần thiết, nó làm tiền đề về sau, khi các em tiếp tục học lên những bậc cao hơn

Chính vì lẽ đó trong quá trình giảng dạy cho các em học và ôn thi vào cấp học tiếp theo, tôi nhận thấy đây là điều cần quan tâm Để giúp các em

hiểu sâu, giải và ứng dụng của phương trình bậc hai vào việc vận dụng nó,

giải các loại toán khác; tôi mạnh dạn nêu lên đề tài: " Kỹ thuật dạy phương trình bậc hai một ẩn có hiệu quả "

Với đề tài này, tôi hy vọng sẽ giúp các em nắm vững hơn kiến thức cơ bản của môn học và có đủ tự tin khi thực hành giải toán Từ đó phát huy được khả năng vận dụng kiến thức linh hoạt, khả năng sáng tạo cũng như tư duy độc lập đặc biệt giúp các em có một hành trang tốt cho việc tự học sau này, cũng như chuẩn bị thi vào bậc THPT

B CƠ SỞ CHỌN ĐỀ TÀI :

I/ CƠ SỞ LÝ LUẬN

Đổi mới phương pháp dạy học nhằm mục đích cho học sinh phương pháp suy nghĩ, chiếm lĩnh các tri thức khoa học và phương pháp nghiên cứu kiến thức một cách khoa học, nhằm vận dụng kiến thức khoa học một cách tối ưu nhất Muốn đạt được diều kiện trên thì trong quá trình dạy học cho học sinh, ta cũng phải đổi mới phương pháp giảng dạy và thiết kế bài dạy , lên kế hoạch bộ môn rõ ràng , tức là ta phải xác định:

- Công việc của thầy giữ vai trò chủ động, sáng tạo, tổ chức cho học sinh chiếm lĩnh kiến thức

- Đối với học sinh phải chủ động, sáng tạo, phải được suy nghĩ nhiều, trả lời nhiều câu hỏi, được thực hành nhiều dưới sự tổ chức hướng dẫn của giáo viên

II/ CƠ SỞ THỰC TIỄN

Thực trạng dạy và học toán hiện nay, mặc dù học sinh đã dược học đầy đủ các kiến thức cơ bản, có phần mở rộng, nâng cao nhiều Song khi gặp một bài toán, học sinh vẫn còn lúng túng trong việc định hướng phương pháp giải, chưa biết vận dụng hoặc vận dụng chưa linh hoạt, sáng tạo các kiến thức cơ bản đã học Nhiều học sinh chỉ biết vận dụng từng bước giải, từng phần của quy tắc, công thức mà thầy đã hướng dẫn Vì thế không phát huy được tính độc lập, sáng tạo của học sinh

- Đối với thầy công việc chuẩn bị kiến thức, đặt vấn đề, đặt câu hỏi sao cho học sinh được suy nghĩ nhiều? Được làm việc nhiều? Đối với học sinh đại trà hay chỉ là học sinh khá, giỏi trong lớp trả lời Vì vậy người thầy phải chủ động tích cực hoá các hoạt động của tất cả các đối tượng trong lớp

- Trong thực tiễn vấn đề học không đi đôi với hành đã làm cho học sinh không có cơ sở thực hiện các thao tác tư duy để tiếp nhận, củng cố tri thức cũ, làm nền tảng lĩnh hội tri thức mới Do đó, học sinh ít được làm việc độc lập, năng lực cá nhân không được phát huy thoả đáng

- Trong nhiều năm giảng dạy toán của bậc THCS tôi thấy việc dạy phương trình bậc hai một ẩn số và giải một số bài toán có liên quan đến giải phương trình bậc hai một ẩn, thường thì học sinh hay lúng túng, bởi vì các kiến thức liên quan đến việc giải phương trình đã học ở lớp dưới học sinh có thể quên

- Do sự phát triển cơ thể không cân đối (thể trọng cơ thể phát triển nhanh hoạt động của não và hệ tuần hoàn phát triển chưa kịp) thường làm cho học sinh hay buồn ngũ và học kiến thức hay quên

Dựa trên cơ sở lý luận và cơ sở thực tiễn trên tôi thấy cần có một số giải pháp đổi mới phương pháp giảng dạy cho phù hợp với thực tiễn này

III CÁC GIẢI PHÁP

Để đáp ứng mục tiêu giáo dục và khắc phục những tồn tại trên, để học sinh có thể làm được các bài tập liên quan đến phương trình bậc hai một ẩn

và các dạng toán áp dụng việc giải phương trình bậc hai một ẩn , một cách chủ động hơn, giáo viên cần phải:

- Chuẩn bị tốt tiến trình bài soạn và tổ chức dạy học

- Chuẩn bị tốt các tình huống có vấn đề để có thể giúp học sinh tư duy suy nghĩ, định hình cách làm

- Cung cấp học sinh một số dạng toán thường gặp về giải phương trình bậc hai một ẩn, áp dụng vào giải các bài toán có vận dụng giải phương trình bậc hai một ẩn

- Qua các bài toán học sinh biết áp dụng những kiến thức đã học vào làm bài tập một cách linh hoạt,có sáng tạo

- Thông qua nội dung lý thuyết cần lưu ý vào các bài tập có tính hệ thống, nâng cao phát triển cho học sinh tư duy toán: lôgic, sáng tạo, phát triển khả năng khái quát hóa,tổng quát hoá

SƠ ĐỒ QUAN HỆ GIỮA CÁC KIẾN THỨC

IV/ MỤC ĐÍCH:

Giúp học sinh học tốt nhất phương trình bậc hai và giải các dạng toán

có liên quan đến việc giải phương trình bậc hai một ẩn

V/ NHIỆM VỤ:

- Đưa ra các kiến thức cơ bản, phương pháp giải, phân tích bài toán và

ví dụ minh hoạ

- Rút kinh nghiệm

VI/ ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU:

- Đối tượng: học sinh lớp 9

- Phạm vi nghiên cứu: các tài liệu về phương trình bậc hai và giải toán, kết hợp các dạng bài toán cụ thể trong chương trình toán cấp THCS

Dạng phương trình bậc 2 một ẩn :

ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)

Giải

phương

trình

bậc hai

một ẩn

Điều kiện tồn tại nghiệm

Chứng minh phương trình luôn có nghiệm

Hệ thức Viet thuận và đảo

ứng dụng giải phương trình vào thực

tế

VII/ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:

- Nghiên cứu tài liệu

- Thực hiện giảng dạy trên lớp

- Thực hiện ôn luyện cho học sinh thi vào THPT

- Trao đổi kinh nghiệm

- Tổng kết rút kinh nghiệm

VIII / THỜI GIAN NGHIÊN CỨU :

Qua những năm dạy và ôn luyện cho học sinh thi vào trường THPT môn toán các cấp và bồi dưỡng học sinh khá, giỏi tại trường THCS Mỹ Hòa

C/ GIẢI QUYẾT ĐỀ TÀI

Trước hết ta nói về việc hình thành dạng tổng quát của phương trình bậc hai một ẩn Ta có thể xây dựng phương trình bậc hai theo cách xây dựng của sách giáo khoa và rút ra định nghĩa về dạng tổng quát của nó Hoặc ta

có thể xây dựng phương trình bậc hai theo phương pháp đồ thị , từ đồ thị của hàm số y = ax2 (a ≠ 0) và y = bx + c ( hoặc đồ thị của hàm hằng y = m) Cụ thể :

Bước 1 : Cho học sinh vẽ đồ thị cả hai hàm số y = ax2 và y = bx + c lên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy , cho biết vị trí tương đối của hai đồ thị

Bước 2 :Trong trường hợp cắt nhau , tọa độ giao điểm thỏa mãn cả hai hàm

số , khi đó giá trị x của tọa độ giao điểm của hai hàm số chính là nghiệm của phương trình ax2 = bx + c hay là nghiệm của phương trình ax2 – bx – c = 0

Bước 3 :Trong trừơng hợp không cắt nhau , rõ ràng không có giá trị nào của

x để cho giá trị của y bằng nhau , phương trình ax2 = bx + c hay là của phương trình ax2 – bx – c = 0 vô nghiệm

Từ đó ta rút ra định nghĩa về dạng tổng quát của phương trình bậc hai một ẩn

Phương trình bậc hai một ẩn dạng : ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)

Cho ví dụ về phương trình bậc hai đủ các dạng :

+Phương trình bậc hai đủ và xác định đúng các hệ số của nó

+Phương trình bậc hai khuyết c và xác định đúng các hệ số của nó +Phương trình bậc hai khuyết b và xác định đúng các hệ số của nó

PHẦN THỨ NHẤT : GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

Ta có sơ đồ các cách giải phương trình bậc hai một ẩn như sau:

1/Giải phương trình bằng phương pháp đại số :

Ta cho HS giải các bài toán đơn giản rồi nâng dần lên các bài toán khó hơn, bằng cách dùng phương trình tích để giải, kiến thức vận dụng ở đây là phân tích vế trái của phương trình thành nhân tử Cho nên khi dạy phần này

đã học ở lớp 8, chú ý các hằng đẵng thức (a + b)2 ; (a - b)2 ; a2 - b2

a/Giải phương trình dạng ax2 + bx = 0(khuyết c)

ax2 + bx = 0

x(ax + b) = 0

x = 0 hoặc ax + b = 0

x = 0 hoặc x = b/a

b/Giải phương trình dạng ax2 + c = 0(khuyết b)

ax2 + c = 0

Nếu c > 0 thì ax2 + c = vô nghiệm (vì ax2 + c ≥ c)

Nếu c < 0 thì ax2 = - c

x2 = - c/a

x = ± -c/a

c/Giải phương trình dạng ax2 + bx + c = 0

+Đưa về phương trình tích dạng A(x)B(x) = 0

+Đưa về phương trình tích dạng mA(x)B(x) = 0

2/Giải phương trình bằng phương pháp đồ thị :

ax2 + bx + c = 0

ax2 = – bx – c

Đăt y1 = ax2 ; y2 = – bx – c

Vẽ đồ thị hai hàm số trên lên cùng một mặt phẳng tọa độ:

Giải phương trình bậc hai một ẩn

Công thức nghiệm

Công thức nghiệm thu gọn

Tính nhẩm nghiệm

Phương pháp đồ thị

Phương

pháp đại

số

Đồ thị của hàm số : y1 = ax2 là đường cong (P) đi qua gốc tọa độ, nhận trục Oy làm trục đối xứng và nằm phía trên trục Ox nếu a > 0 ; nằm phía dưới trục Ox nếu a < 0

Đồ thị của hàm số : y2 = – bx – c là đường thẳng đi qua hai điểm A , B

có tọa độ lần lượt là A(0 ; – c ) ; B(– c/b ; 0)

Sau khi cho học sinh vẽ xong đồ thị của hai hàm số lên cùng mặt phẳng tọa độ Nêu nhận xét về vị trí tương đối của hai đồ thị (P) và (D) , như hình vẽ bên dưới mô tả các trường hợp có thể xãy ra của (P) và (D)

(a > 0 ; b < 0) (a < 0 ; b > 0)

Tại giao điểm của (P) và (D), ta có giá trị của x làm cho giá trị y của hai hàm số bằng nhau , theo khái niệm nghiệm của phương trình thì hoành

độ giao điểm của (P) và (D) chính là nghiệm của phương trình :

ax2 + bx + c = 0

Ở đây ta chỉ nêu cơ sở khoa học của việc giải phương trình bằng phương pháp đồ thị , nhưng khi dạy cho học sinh hiểu được ta cần đưa ra phương trình có nghiệm là các số nguyên dễ nhận thấy , từ đó ta mở rộng ra cho các trường hợp còn lại : có nghiệm kép , vô nghiệm bằng cách đẩy (D)

xa dần với (P) , (thay đổi tung độ gốc của (D))

3/Giải phương trình bằng công thức nghiệm :

Giải bằng công thức nghiệm thu gọn , ta cần chú ý đến việc xác định các hệ số của phương trình phải chính xác , tính đúng được biệt thức ∆ , thuộc chính xác công thức nghiệm

(P1)

(P2)

(D1)

(D2)

x O

y

x1

x2

y1

y2

y2

y1

y

x O

Với cách giải này cách khó nhất là làm cách nào cho học sinh nhận biết được cách hình thành công thức để nhớ được công thức

Với tôi , thì cho học sinh giải phương trình ax2 + bx + c = 0 với các hệ

số a ≠0 ; b ≠ 0 ; c ≠ 0 , bằng phương pháp đại số Trong quá trình giải học sinh sẽ gặp một số trục trặc về suy luận , chẳng hạn :

+∆ = (b2 – 4ac) có thể xãy ra một trong ba trường hợp : <0 ; >0 ; =0 ; +Tính giá trị x1 ; x2 thường bị sai ở phần qui đồng mẫu

Cụ thể ta xây dựng công thức nghiệm như sau :

ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) (1)

x2 + (b/a)x + c/a = 0

x2 + (b/a)x = -c/a

x2 + 2(b/2a)x + b2/4a2 = b2/4a2 – c/a

(x + b/2a)2 = (b2 – 4ac)/4a2

Đặt ∆ = b2 – 4ac thì dấu của biểu thức (b2 – 4ac)/4a2 phụ thuộc vào ∆ (vì 4a2 > 0 với mọi a ≠ 0)

+Nếu ∆ < 0 thì phương trình (1) vô nghiệm

+Nếu ∆ = 0 thì phương trình (1) có nghiệm kép : x1 = x2 = - b/2a

+Nếu ∆ > 0 thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt :

x1 = (- b + sqrt∆)/2a ; x2 = (- b - sqrt∆)/2a

Sau khi thành lập công thức nghiệm xong ta có thể tóm tắc qui trình giải cho học sinh :

Dạng ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) (1)

Bước 1 : Tính biệt thức ∆ = b2 – 4ac

Bước 2 : Kiểm tra dấu của ∆ = b2 – 4ac

Bước 3 : Trả lời kết quả

+Nếu ∆ < 0 thì phương trình (1) vô nghiệm

+Nếu ∆ = 0 thì phương trình (1) có nghiệm kép : x1 = x2 = - b/2a

+Nếu ∆ > 0 thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt :

x1 = (- b + sqrt∆)/2a ; x2 = (- b - sqrt∆)/2a

4/Giải phương trình bằng công thức nghiệm thu gọn :

Cho học sinh giải phương trình : ax2 + 2b/x + c = 0 (a ≠ 0) (2) bằng công thức nghiệm , sau khi học sinh giải xong ta có thể bổ sung và hoàn thiện kiến thức , xây dựng công thức giải bằng công thức nghiệm thu gọn Dạng ax2 + 2b/x + c = 0 (a ≠ 0) (2)

Bước 1 : Tính biệt thức ∆/ = b/ 2 – ac

Bước 2 : Kiểm tra dấu của ∆/ = b/ 2 – ac

Bước 3 : Trả lời kết quả

+Nếu ∆/ < 0 thì phương trình (2) vô nghiệm

+Nếu ∆/ = 0 thì phương trình (2) có nghiệm kép : x1 = x2 = - b/ /a

+Nếu ∆/ > 0 thì phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt :

x1 = (- b/ + sqrt∆/)/a ; x2 = (- b/ - sqrt∆/)/a

5/Giải phương trình bằng tính nhẩm nghiệm :

Trong phần tính nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn , ta cần chú ý nhất là định lý Viets thuận và đảo :

Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) (1) có nghiệm

thì : tổng hai nghiệm : x1 + x2 = -b/a

tích hai nghiệm : x1.x2 = c/a

Từ định lý Viets ta có thể rút ra các tính chất sau :

+ Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) (1) có nghiệm x1 = 1 thì a + b + c = 0 và x2 = c/a

+ Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) (1) có nghiệm x1 = -1 thì a - b + c = 0 và x2 = -c/a

Từ tính chất được rút ra ta chứng minh được công thức tính nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn :

Cho phương trình dạng ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) (1)

+Nếu a + b + c = 0 thì x1 = 1 ; x2 = c/a

+Nếu a - b + c = 0 thì x1 = -1 ; x2 = -c/a

PHẦN THỨ HAI : ĐIỀU KIỆN TỒN TẠI NGHIỆM

Đối với các phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (I) có chứa tham

số , tìm điều kiện của tham số m để phương trình có nghiệm hoặc vô nghiệm hoặc có hai nghiệm phân biệt hoặc có nghiệm kép hoặc có vô số nghiệm +Phương trình (I) có nghiệm khi và chỉ khi

*Hệ số a, c trái dấu

*Hệ số a khác 0 và biệt thức denta lớn hơn hay bằng 0

*Đường thẳng y = -bx – c cắt hoặc tiếp xúc với Parabol y = ax2

*Hệ số a = 0 , hệ số b ≠ 0

+Phương trình (I) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi :

*Hệ số a, c trái dấu

*Hệ số a khác 0 và biệt thức denta lớn hơn 0

*Đường thẳng y = -bx – c cắt Parabol y = ax2

+Phương trình (I) có một nghiệm kép khi và chỉ khi :

*Hệ số a khác 0 và biệt thức denta bằng 0

*Đường thẳng y = -bx – c tiếp xúc với Parabol y = ax2

+Phương trình (I) vô nghiệm khi và chỉ khi :

*Hệ số a khác 0 và biệt thức denta nhỏ hơn 0

*Đường thẳng y = -bx – c không giao với Parabol y = ax2

*Hệ số a = 0 ; b = 0 ; c ≠ 0

+Phương trình (I) có vô số nghiệm khi và chỉ khi :

*Hệ số a = 0 ; b = 0 ; c = 0

PHẦN THỨ BA : CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH LUÔN CÓ NGHIỆM Đối với các phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (I) có chứa tham

số m , chứng minh phương trình luôn luôn có nghiệm hoặc vô nghiệm hoặc

có hai nghiệm phân biệt hoặc có nghiệm kép với mọi tham số m Ta cần chỉ

ra một trong các vấn đề phù hợp với yêu cầu của đề bài

+Chứng minh phương trình (I) luôn có nghiệm với mọi m ta cần chỉ ra các vấn đề sau :

*Hệ số a ≠ 0 và ∆ ≥ 0 với mọi m

*Hệ số a ≠ 0 và a.c <0 với mọi m

*Hệ số a = 0 và b ≠ 0 với mọi m

+Chứng minh phương trình (I) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

ta cần chỉ ra các vấn đề sau:

*Hệ số a ≠ 0 và ∆ > 0 với mọi m

*Hệ số a ≠ 0 và a.c <0 với mọi m

+Chứng minh phương trình (I) luôn có nghiệm kép với mọi m ta cần chỉ ra vấn đề sau :

*Hệ số a ≠ 0 và ∆ = 0 với mọi m

Trường hợp chứng minh phương trình (I) có một nghiệm với mọi m

ta cần chỉ ra các vấn đề sau :

*Hệ số a ≠ 0 và ∆ = 0 với mọi m

*Hệ só a = 0 và hệ số b ≠ 0 với mọi m

+Chứng minh phương trình (I) vô nghiệm với mọi m ta cần chỉ ra các vấn đề sau :

*Hệ số a ≠ 0 và ∆ < 0 với mọi m

*Hệ só a = 0 ; hệ số b = 0 và hệ số c ≠ 0 với mọi m

Chú ý : Trong quá trình chứng minh yêu cầu của bài toán với tham số

nào đó ta không nên loại trừ các trường hợp đặc biệt của bài toán có thể xãy

ra , để tránh trường hợp thiếu nghiệm

Tránh nhầm lẫn giữa chứng minh phương trình luôn có nghiệm (có nghiệm kép ; vô nghiệm ; )với tìm điều kiện để phương trình có

nghiệm (có nghiệm kép ; vô nghiệm ; )

PHẦN THỨ TƯ : HỆ THỨC VIETS THUẬN VÀ ĐẢO

Về hệ thức Viets thuận và đảo , phần nội dung học sinh nắm bài tương đối tốt nhưng về phần vận dụng vào giải các dạng toán đơn giản , có một bộ

phận học sinh theo dõi không kịp , còn với dạng cao hơn một chút (có hai bước tư duy) thì chỉ có bộ phận học sinh khá giỏi theo kịp Cho nên trong quá trình dạy phần này , ta chỉ cần xây dựng cho học sinh cách tìm tổng hai nghiệm và tích hai nghiệm của phương trình bậc hai có nghiệm Từ đó ta nâng dần lên cách tính nhẩm nghiệm , cách tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng , chú ý đến điều kiện tồn tại của hai số đó

Việc áp dụng hệ thức Viets vào giải toán toán học thuần túy và giải toán toán học ứng dụng còn đang là mới so với học sinh lớp 9 Chẳng hạn tôi đưa ra các dạng áp dụng hệ thức Viets vào giải toán toán học thuần túy :

+Dạng đề bài 1 : Cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (I) tìm tổng tìm tích của hai nghiệm ?

Học sinh giải cần chú ý kiểm tra phương trình có nghiệm không Đây

là lỗi học sinh thường mắc phải khi giải toán loại này

+Dạng đề bài 2 : Cho phương tình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (I) có tham số m tìm điều kiện của m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn x1 +

x2 = M ; x1.x2 = N (M;N є R)?

Học sinh giải dạng này cần phải tìm ba điều kiện :

1/∆ = b2 – 4ac ≥ 0

2/ -b/a = M

3/ c/a = N

+Dạng đề bài 3 : Cho phương tình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (I) tìm phương trình mới có hai nghiệm thỏa mãn y1 = mx1 ; y2 = mx2 (m є R) ? Học sinh giải dạng này cần phải tìm ra các kết quả :

1/∆ = b2 – 4ac ≥ 0

2/ y1 + y2 = mx1 + mx2 = m(x1 + x2) = m.(-b/a) = -mb/a

3/ y1.y2 = mx1.mx2 = m2.x1x2 = m2.(c/a) = m2c/a

4/ Phương trình cần tìm có dạng y2 – (-mb/a)y + m2c/a = 0

+Dạng đề bài 4 : Cho phương tình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (I) có tham số m tìm điều kiện của m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn

x12 + x22 = M ?

Học sinh giải dạng này cần phải thiết lập phương trình theo các bước : 1/∆ = b2 – 4ac ≥ 0

2/ x12 + x22 = (x1 +x2)2 – 2x1x2 = (-b/a)2 – 2c/a

3/ Giải phương tình : (-b/a)2 – 2c/a = M theo ẩn m kiểm tra với bước 1 trả lời kết quả

Chú ý : Với dạng toán về hệ thức Viets học sinh thường hay quên đi

diều kiện để phương trình có nghiệm , cho nên khi dạy để hình thành định lý

ta nên đưa một số trường hợp sai để học sinh nhớ lâu hơn (điều kiện để có nghiệm có thể hoặc a ≠ 0 và ∆ ≥ 0 hoặc a.c < 0 học sinh có thể chọn điều kiện nào cũng được miễn sao kết quả đúng)