NHỮNG THÚ VỊ TỪ 1 BÀI TOÁN LỚP 6 MỚI

NHỮNG THÚ VỊ TỪ 1 BÀI TOÁN LỚP 6 MỚI

Chúng ta bắt đầu từ bài toán:

Chứng tỏ rằng: 3012 12





n

n

là ps tối giản nN*

(Bài 40 SBT Toán 6 Tập 2 NXB GD 2002)

Với lời giải là: Gọi d là ƯCLL của 12n+1 và 30n+2

 12n+1d và 30n+2d

Do đó 5(12n+1) – 2(30n+2) = 1d

Vì thế 12n+1 và 30n+2 nguyên tố cùng nhau

Vậy

2

30

1

12





n

n

là ps tối giản

Song cũng từ lời giải này ta còn rút ra được một tổng quát về hướng dẫn chung cho các loại bài tập :

- Tìn ƯCLL (an+c ; bn+e)

- Chứng minh bn an e c





là ps tối giản

- Tìm số tự nhiên n để bn an e c





có thể rút gọn được (*) + Tìm BCNN (a; b)

+ Tìm b’ = BCNN a(a;b) và a’ = BCNN b(a;b)

Từ đó có lời giải là:

+ Gọi d là ƯCLN (an+c; bn+e) hoặc d là ước nguyên tố của an+c và bn+e đối với dạng bài tập (*)

 an+cd và bn+ed

 b' (anc)  a' (bne)d

Do đó (b'c a'e) d

* Nếu d=1 thì ƯCLN (an+c; bn+e) =1

 an+c và bn+e nguyên tố cùng nhau

e bn

c an





là ps tối giản

* Nếu d 1 thì kết quả sẽ ngược lại Và từ đó ta sẽ tìm được n để bn an e c



 rút gọn được Chẳng hạn như ở bài toán sau:

Tìm số tự nhiên n để 216 43





n

n

rút gọn được thì d=2 hoặc d=11 Trường hợp ps rút gọn cho 2: Ta có 6n+4 luôn chia hết cho 2 còn 21n+3 chia hết cho 2 với n là số lẻ

Trường hợp ps rút gọn cho 11:

Ta có 21n+311 21n-n+311 n=11k+3 (kN)

Vậy với n lẻ hoặc n chẵn mà n=11k+3 (kN) thì ps rút gọn được

Và lại còn nhiều thú vị hơn nữa :

Với xuất phát từ bài toán sau :

Chứng tỏ rằng : 3a+4b23 8a+3b23

Giải: Ta có 5(3a+4b) + 1(8a+3b) = 23a+23b23

Do vậy : Nếu 3a+4b23 5(3a+4b)23 8a+3b23

Ngược lại nếu 8a+3b23  5(3a+4b)23 mà (5; 23)=1 3a+4b23

Tương tự ta cũng giải được các bài toán sau:

Bài 1: Chứng tỏ 2a+3b17 9a+5b17

Bài 2: Chứng tỏ11a 192blà một số nguyên tố

19

5

18a  b

là một số nguyên tố

Thực chất ra để có x1a+y1bm x2 a+y2 bm ta chỉ cần tìm 2 số nguyên

x, y t/m các đk :

xx1+yx2 m và xy1+yy2 m Trong đó (x ; m)=1 ; (y ; m)=1

và khi đó ta có : x(x1a+y1b)+y(x2a+y2b)m