bat dang thuc(hot)

BẤT ĐẲNG THỨCL©m quang §¹o TrêngTHPT Quang HµBất đẳng thức, giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một hàm số hoặc một biểu thức là một trong những chuyên đề khó của chương trình toán

BẤT ĐẲNG THỨC

L©m quang §¹o TrêngTHPT Quang HµBất đẳng thức, giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một hàm số hoặc một biểu thức là một trong những chuyên đề khó của chương trình toán THPT bởi phạm vi nghiên cứu về vấn đề này rất rộng Để giải được bài toán về loại này, đòi hỏi người học không những phải nắm vững lý thuyết, mà còn phải biết cách sử dụng các phép biến đổi, bất đẳng thức phụ,… linh hoạt và sáng tạo Trong phạm

vi bài viết, chúng tôi muốn chia sẻ cùng các em học sinh thân yêu, chia sẻ cùng các bậc thầy cô giáo đáng kính các kinh nghiệm tích góp được trong quá trình giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi và luyện thi vào Đại học

B>Cb) TÝnh chÊt 2: A>B A C>B C

A.C>B.C, nÕu C>0c) TÝnh chÊt 3: A>B

A.C<B.C, nÕu C<0A>B

C>DA>B>0e) TÝnh chÊt 5: A.C B.D

C>D>0f) TÝnh chÊt 6:

1) a+b a b §¼ng thøc x¶y ra khi vµ chØ khi ab 0.

2) a-b a b §¼ng thøc x¶y ra khi vµ chØ khi ab 0

VI CÔNG THỨC TÍNH ĐỘ DÀI ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN VÀ PHÂN GIÁC:

Đ2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Dạng 1: Sử dụng cỏc phộp biến đổi, đỏnh giỏ thớch hợp

Để chứng minh A ≥ B, ta sẽ chứng minh A-B ≥ 0 (nghĩa là ta sử dụng định nghĩa, tính chất cơ bản, để biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh đến bất đẳng thức đúng hay một tính chất đúng hoặc

có thể sử dụng bất đẳng thức đúng biến đổi dẫn đến bất đẳng thức cần chứng minh)

Ví dụ 1: Cho ba số a, b, c bất kì Chứng minh các bất đẳng thức:

a b ca) Chứng minh rằng: (a-1)(b-1)(c-1)>0 (1)

trong đó a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác

(Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ 5/2004)

Lêi gi¶i.

Ta cã: b c (b c)

4+ ≥ + (1)

41

(Học viện Quan hệ Quốc tế năm 1997)

Bài 5: Cho ba số a, b, c thỏa mãn điều kiện a2 + b2 + c2 = 1 Chứng minh rằng:

z

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.

2

1Cho a>b>0 Chøng minh: a+ 2 2

§¼ng thøc x¶y ra khi vµ chØ khi x=y=z=0.

VÝ dô 4: Chøng minh r»ng víi mäi x, y, z d¬ng vµ x + y + z = 1 th×

18xyzxy+yz+zx>

Cộng các vế tương ứng của (3) và (4), ta được:

Với a, b, c là ba số dương bất kì Chứng minh rằng:

(1+a )(1+b )(1+c ) (1+ab )(1+bc )(1+ca )≥

Bài 1 :

(ĐHDL Hải Phòng Khối A - Năm 2000)

3 2 3

Chứng minh rằng: với số thực dương bất kì, ta luôn có a+ a ≤ +1 a

4 a+3b b 3c c 3a 3

Khi nào đẳng thức xảy ra?

Bài 6 :

(Đề Dự bị 1 Khối B-Năm 2005)

13

1Chøng minh r»ng nÕu 0 y x 1 th× x y y x

a b c

1a+ (a+b)(a+c)+b (b c)(b a) +c (c a)(c b) ≤

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c

Chứng minh rằng trong một tam giác bất kì, ta có:

Cộng từng vế của (2), (3) và (4) đi tới:

M 3.3(ab bc ca) 3abc (1) đúng: đpcm

x y z đpcm.

 Chú ý: Bài toán này ta có thể giải bằng phơng pháp tọa độ, sẽ trình bày ở phần sau

 Bất đẳng thức trong tam giác:

b c

9 3 (cos A cosB cosC)

1 2

af(x)<0, x (x ; x )af(x)>0, x (- ; x ) (x ; + )

∀ ∈

Tóm lại, việc sử dụng các định lý thuận và đảo của tam thức bậc hai, xử lý điều kiện tồn tại nghiệm

17

của biệt thức ∆, … tỏ ra tiện lợi khi chứng minh một bất đẳng thức mà nó đã đợc nhận dạng.

ở đây nhắc lại các tính chất sau để tiện sử dụng:

(3y 4z) 5(5y 5z 8yz)=-16y 16zy 9z

Xem là một tam thức bậc hai của y, còn z là tham số,

ng PT (1) nghiệm đúng với mọi x

2 A 2 B C =4sin cos 1 0

Xem hai đẳng thức đã cho là một hệ hai phơng trình mà b, c là hai ẩn số, a là tham số Hệ

ph-ơng trình này có nghiệm Từ đó ta tìm đợc tập hợp các giá trị của tham số a

Từ giả thiết, ta suy ra:

bc=(a-1)b,c là các nghiệm của PT:

1 Định lý Lagrange: Nếu hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và có đạo hàm trên khoảng (a; b) thì

tồn tại một điểm c (a; b)∈ sao cho:

Cho hàm số y=f(x) xác định trên K (K là khoảng (a; b) hoặc đoạn [a; b])

* f(x) gọi là đồng biến (tăng) trên K nếu:

Cho hàm số y=f(x) xác định và có đạo hàm trên khoảng (a; b)

* Nếu f(x) đồng biến trên khoảng (a; b) thì f (x) 0, x (a; b)

* Nếu f(x) nghịch biến trên khoảng (a; b) t

b) Điều kiện cần của tính đơn điệu :

≥ ∀ ∈

/

hì f (x) 0, x (a; b).≤ ∀ ∈Cho hàm số y=f(x) xác định và có đạo hàm trên khoảng (a; b)

c) Điều kiện đủ của tính đơn điệu (dấu hiệu đơn điệu) :

f (x) 0 hoặc f (x) 0 tại hữu hạn điểm x

f(x) đồng biến trên khoảng (a; b)

x (a; b): f (x) 0

*

f (x) 0 hoặc f (x) 0 tại hữu hạn điểm x

f(x) nghịch biến trên khoảng (a; b)

0 /

0 0

/

0 //

/

0 //

x

xXÐt hµm sè f(x)=e 1 trªn nöa kho¶ng 0; + Víi mäi x>0, n 1, ta cã:

x f(x)=e 1 >f(0)=0

nx

lnx1

Lêi gi¶i.

2sinx tgx 1

2Suy ra f(x)>f(0)=0 hay 2sin

Chứng minh rằng các bất đẳng thức sau luôn đúng với mọi x [0; 1]:

xa) 1-x e 1-x+

5) AB+BC AC, A, B, C nằm trong mặt phẳng tọa độ.

x D : f(x )=Mf(x) m, x D2) m= min f(x)

2 Định nghĩa: Giả sử hàm số f(x) xỏc định trờn một tập hợp D⊂R Ta núi rằng:

a) Hàm số bị chặn trờn trờn tập hợp D nếu tồn tại một số M sao cho:

f(x) ≤ M với x D.∀ ∈b) Hàm số bị chặn dưới tập hợp D nếu tồn tại một số m sao cho:

f(x) ≥ m với x D.∀ ∈c) Hàm số bị chặn trờn tập hợp D nếu nú vừa bị chặn trờn vừa bị chặn dưới trờn D

Dễ dàng thấy rằng:

Hàm số f(x) (xỏc định trờn tập hợp D) là bị chặn trờn D khi và chỉ khi tồn tại một số dương M sao cho

f(x) ≤M, với x D.∀ ∈

Ta thừa nhận hai tớnh chất quan trọng của cỏc hàm số liờn tục:

3 Định lý 1: Hàm số f(x) liờn tục trờn đoạn [a; b] thỡ bị chặn trờn đoạn này.

 Chỳ ý: Định lý 1 khụng cũn đỳng nữa nếu hàm số f(x) cú điểm giỏn đoạn thuộc [a; b] hoặc nếu trong định lý, đoạn [a; b] được thay bằng khoảng (a; b) (hoặc (a; b], hoặc [a; b))

4 Định lý 2: Nếu hàm số f(x) liờn tục trờn đoạn [a; b] thỡ nú đạt được giỏ trị lớn nhất và nhỏ nhất trờn

đoạn này, tức là tồn tại ớt nhất một điểm x1∈[a; b] sao cho:

Về hai điều kiện nờu trong giả thiết của định lý, ta cũng cú chỳ ý tương tự như chỳ ý nờu sau định lý 1

II MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TèM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT CỦA MỘT HÀM SỐ HOẶC MỘT BIỂU THỨC:

Dạng 1: Sử dụng cỏc phộp biến đổi và đỏnh giỏ thớch hợp

Cộng các vế tơng ứng của (1) và (2), ta đợc: A ≤ 1 Đẳng thức xảy ra khi x=y=1 Vậy maxA =1

Vớ dụ 2 : Tuỳ theo giỏ trị của m, hóy tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức :

A = (x – 2y + 1)2 + (2x + my + 5)2, với x, y R∈

(ĐH Giao thụng Vận tải Hà Nội – Năm 2000)

Lời giải.

Hiển nhiên A 0, đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:

x-2y=-1 (1)

2x+my=-5 (2)

≥    R 2 2 1 -2 D= m 4 2 m * Nếu m 4 thì D 0: Hệ (1), (2) có nghiệm duy nhất min A 0 * Nếu m=-4 thì A=(x-2y+1) (2x 4y 5) (3)

ặt x-2y+1=t với t R, khi đó 2x-4y=2(t-1), thay vào (3) ta được:

= +

∈

đ

t + 3

R

6 A=t t t + 9 = 5 t +

5

min A A

2

5 5

2

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:

x f(x)= sin x trên đoạn - ;

π π

Bài 1 :

(ĐH Kinh tế Quốc dõn Khối A – Năm 2000)

2

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số sau trên tập R:

f(x)=2sin x 4sinxcosx+ 5.+

Bài 2 :

(Học viện Cụng nghệ BCVT – Năm 1999)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P=cotg a cot g a 2tg a.tg b 2+ + +

Bài 3 :

(ĐH Giao thụng Vận tải – Năm Năm 1999)

Trong mọi tam giác ABC những tam giác nào làm cho biểu thức sau:

sinA sinB sinC Q=

đạt giá trị lớn nhất ?

Bài 4 :

(ĐH Bỏch khoa Hà Nội Khối A – Năm, 2000)

Dạng 2: Tỡm giỏ trị lớn nhất và giỏ trị nhỏ nhất bằng tam thức bậc hai

2

D

D

b Tọa độ đỉnh của parabol f(x)=ax bx c là I - ; -

2a 4a

Kí hiệu : maxf(x) là giá trị lớn nhất của f(x) trên miền D

minf(x) là giá trị nhỏ nhất của f(x) trên miền D

a) Trường hợp 1

∆

: D=R b

* a<0, max f(x) f , không tồn tại min f(x)

∆

= − ữ= −

27

a) Để ý: a>0; - 1 D

2a max f(x) max{f(0); f(3)}=max{3; 6}=6.

min f(x) min{f(0); f(3)}=min{3; 18}=f(0) 3b

xy=a 7a 14Tìm a để U=x y đạt giá trị nhỏ nhất



+

3sin x 2 cos x

++

3(cos x-sin x)+4sin x 2 cos x

ViÕt l¹i y-1=

3sin x 2 cos x3(cos x-sin x)+4sin x 2 cos x

y 1

3sin x 2 cos x1

−+

Dạng 3: Phương phỏp miền giỏ trị của hàm số:

Cơ sở của phương phỏp này là: Để tỡm giỏ trị lớn nhất và giỏ trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trờn một miền D ta tiến hành như sau:

- Tỡm điều kiện để phương trỡnh y0= f(x) cú nghiệm (với y0 là một giỏ trị tuỳ ý của hàm số y = f(x) trờn miền D)

- Từ điều kiện trờn biến đổi dẫn đến dạng y1 ≤ y0 ≤ y2

- Kết luận: max f(x) y , min f(x) yx D 2 x D 1

Đặt S=x+y, P=xy Điều kiện đối với S, P là S 4P 0

Dễ thấy (x+y)xy=x y xy 0 nên x+y và xy cùng dấu Sử dụng giả thiết trên, ta có:

g(x, y)=A







Ta được tập giá trị của A, từ đó suy ra giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của A.

2) Với bài toỏn dạng “ Cho cỏc số thực x, y thỏa món f(x, y) = g(x, y) Tỡm giỏ trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức A = p(x, y) Trong đú f(x, y) và g(x, y) đều là cỏc biểu thức đẳng cấp đối với x, y”, cú thể giải bài toỏn bằng cỏch sau:

Với y = 0 ta thử trực tiếp

Nếu y ≠ 0, đặt x = ty Thay vào giả thiết f(x, y) = g(x, y), ta sẽ tớnh được y, x theo t Biểu diễn A theo t

Từ đú tỡm được tập giỏ trị của A

Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số:

sinx y= với x [0; ]

Ví dụ 2 :

(ĐHSP Quy Nhơn - Năm 1999)

Lời giải.

Xét hàm số đã cho trong một chu kì: x [ ; ]

Tập giá trị của hàm số với x [ ; ] cũng là tập giá trị của hàm số với x (- ; + )

sinxPhương trình y= sin x y cosx 2y

2+cosxPhương trình ẩn x trên có nghiệm

3

π

ππ

Bài 3: Tỡm giỏ trị lớn nhất, giỏ trị nhỏ nhất của hàm số y= sinx4 − cosx

(ĐHQG Hà Nội Khối B - Năm 1999)

Bài 4: Tỡm giỏ trị lớn nhất và giỏ trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = (2sinx + cosx)(2cosx - sinx).

(ĐH Cần Thơ Khối A - Năm 2001)

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P= 2x+1 3y 1 4z 1

trong đó x, y, z là ba số thực không âm thỏa mãn x+y+z=4

VËy miny= x¶y ra x=3.

(Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ số 341 - Tháng 11/2005)

Giả sử A, B, C là ba góc của một tam giác Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

 Sử dụng bất đẳng thức Bu - nhia - cốpxki:

Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:

y = 2sin8x + cos42x

(ĐH Tài chính Kế toán Hà Nội - Năm 2000)

2 3 Giả sử x, y là hai số dương thỏa mãn điều kiện + =6 Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng x+y

2của biểu thức A=cos(x +y +z )

Cơ sở của phương phỏp này: Chủ yếu là dựng đạo hàm để khảo sỏt chiều biến thiờn của hàm số

và dựa vào điều ấy cựng với cỏc giỏ trị đặc biệt trờn tập xỏc định của hàm số suy ra kết quả

Ví dụ 1: Cho x, y > 0 và x + y = 1 Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thứcP= x2 12 y2 12

2

2 /

4

x 160x 160x 100

S

5

Từ bảng biến thiên ta suy ra giá trị nhỏ nhất của S bằng 5 khi x = 1

Cho x, y, z là ba số thực dương thay đổi Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2 2 2 2 2 2

2 2 2

2

3

Xét hàm số f(t)= với t>0

2 t

Ta có: f (t) t , f (t) 0 t 1

≥ + ữ + + ữ + + ữ

+

−

Bảng biến thiên:

x 0 1 +∞

f’(t) - 0 +

f(t) +∞ +∞

3

2 3 9 Từ bảng biến thiên ta suy ra f(t) , t>0 Suy ra P Dấu bằng xảy ra x=y=z=1 2 2 9 Vậy minP= khi x=y=z=1 2 ≥ ∀ ≥ ⇔ 4 2 4 2 3cos x 4 sin x Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y= 3sin x 2 cos x + + Ví dụ 4 : (ĐHSP Hà Nội Khối A- Năm 2001) Lời giải 2 2 2 2 2 2 / / 2 2 Đặt sin x t, t [0; 1], ta được: 3(1-t) 4t 3t 2t 3 1 y= 1 3t 2(1 t) 3t 2t 2 3t 2t 2 6t 2 1 y , y 0 khi t= [0; 1] (3t 2t 2) 3 = ∈ + = − + = + + − − + − + − = − = ∈ − + Ta có bảng biến thiên sau:

t 0 1

3 1

y’ + 0

-y 8

5 3 2

4 3

Vậy maxy= , miny=

Bài 1: Cho các số x, y thay đổi thỏa mãn điều kiện x ≥ 0, y ≥ 0 và x + y = 1 Hãy tìm giá trị lớn nhất và

giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 3x + 3y

(ĐH Ngoại thơng Khối D - Năm 1999)

37

Cho c¸c sè x, y tháa m·n: x 0, y 0 vµ x+y=1 H·y t×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña

Bµi 5 :

Dù đã cố gắng rất nhiều nhưng không thể tránh khỏi những khiếm khuyết

nhất định, rất mong quý thầy cô giáo, các bạn đồng nghiệp chỉ bảo thêm để

lần viết sau hoàn chỉnh hơn Chúng tôi chân thành cảm ơn.

Mọi góp ý xin gởi về:

Lê Hồ Quý

* CQ: Trường THPT Lê Lợi - P Lê Lợi - Kon Tum (ĐT: 060.851326)

* NR: 04B Trương Hán Siêu - P Duy Tân - Kon Tum (ĐT: 060 912889)

Email: hoquyktm@vnn.vn