DE +DAP AN THI THU DH KHOI A 2011

Tớnh thể tớch khối chúp S.ABCD theo a.. Đường thẳng d cắt hai trục tọa độ tại hai điểm A, B khỏc gốc O .Viết phương trỡnh đường thẳng d tiếp xỳc với đường trũn C tại M sao cho M là trung

ĐỀ CHÍNH THỨC

I/ PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( 7 điểm )

Cõu I ( 2 điểm ) Cho hàm số y x= −3 3mx+2( )C m

1 Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị (C) của hàm số ứng với m=1

2 Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu.Với giá trị nào của m thì đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu của

( )C m tiếp xúc với parabol (P): y= x2 +5

3 Cõu II ( 2 điểm ) 1 Giải phương trỡnh: (1 cos 2 )sin 2

2(sin 3 sin )(1 sin )

1 sin

x

2 Giải hệ phương trỡnh





Cõu III ( 1 điểm ) Tớnh tớch phõn ∫ + 

+

x x

x I

1

2ln 3 ln 1 ln

Cõu IV ( 1 điểm) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh vuụng tõm O và AB = 4a, hỡnh chiếu vuụng

gúc của đỉnh S lờn mặt phẳng (ABCD) trựng với trung điểm I của đoạn thẳng OA Biết khoảng cỏch từ I đến mặt phẳng (SAB) bằng 2

2 SI Tớnh thể tớch khối chúp S.ABCD theo a

Cõu V (1 điểm) Cho x > 0, y > 0 thỏa món x y xy2 + 2 = + +x y 3xy Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức

2

2 2 (1 2 ) 3

2

xy

xy

II/PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm ) Thớ sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)

Phần A Theo chương trỡnh chuẩn

Cõu VIa ( 2 điểm )1 Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy) cho đường trũn (C) : (x + 6)2 + (y – 6)2 = 50 Đường thẳng d cắt hai trục tọa độ tại hai điểm A, B khỏc gốc O Viết phương trỡnh đường thẳng d tiếp xỳc với đường trũn (C) tại M sao cho M là trung điểm của đoạn thẳng AB

2 Trong khụng gian tọa độ (Oxyz) cho A(5;3;-4) , B(1;3;4) Hóy tỡm tọa độ điểm C thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho tam giỏc CAB cõn tại C và cú diện tớch bằng 8 5

Cõu VIIa (1 điểm) Cho z , 1 z là cỏc nghiệm phức của phương trỡnh 2 2z2−4z+ =11 0 Tớnh giỏ trị của biểu thức

2

z z

+

Phần B.Theo chương trỡnh nõng cao

Cõu VIb ( 2 điểm)Trong mặt phẳng với hệ toạ độ vuông góc Oxy, cho hai đờng tròn:

(C1): x2 + y2 - 10x = 0 và (C2): x 2 + y 2 + 4x - 2y - 20 = 0 Viết phơng trình đờng tròn đi qua các giao điểm của (C1), (C2) và có tâm nằm trên đờng thẳng: x + 6y - 6 = 0

2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt cầu (S) có phơng trình :

x2+y2+ −z2 2x+2z− =2 0 và các điểm A(0 ;1; 1), B(-1; -2; -3), C(1; 0;-3)

Tìm điểm D trên mặt cầu (S) sao cho thể tích tứ diện ABCD lớn nhất

Cõu VIIb ( 1 điểm) Tính tổng sau:

…………Hết………

Thớ sinh khụng sử dụng tài liệu Giỏm thị khụng giải thớch gỡ thờm

Họ và tờn ……… Số bỏo danh ………

Sở GD- ĐT Hng Yên

Trường THPT Minh Châu

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN I NĂM HỌC 2010 – 2011

Mụn : Toỏn - Khối A

Thời gian làm bài : 180 phỳt, khụng kể thời gian giao đề

I/ PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( 7 điểm )

I

(2điểm)

1.(1,0 điểm)

Hàm số (C 1 ) có dạng y x= − +3 3x 2

• Tập xác định: R

• Sự biến thiên

- lim , lim

0,25

- Chiều biến thiên: y' 3= x2− = ⇔ = ±3 0 x 1

Bảng biến thiên

0,25

Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞ −; 1 , 1;) ( +∞), nghịch biến trên khoảng

(-1;1)

Hàm số đạt cực đại tại x= −1,y CD =4 Hàm số đạt cực tiểu tại x=1,y CT =0

0,25

•Đồ thị: Đồ thị hàm số đi qua các điểm (0; 2), (1; 0) và nhận I(0; 2) làm điểm uốn

f(x)=x^3-3x+2

-1

1 2 3 4

x

y

0,25

2.(1,0 điểm)

Ta có y' 3= x2−3m

Để hàm số có cực đại, cực tiểu thì phương trình y' 0= có hai nghiệm phân biệt ⇔ >m 0 0,25

' 2 2 3

y= x y − mx+ nên đường thẳng ∆ đi qua cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số có phương trình là y= −2mx+2 (∆)

0,25

đường thẳng (∆):y= −2mx+2 tiÕp xóc víi (P)⇔PT sau cã nghiÖm kÐp:

3 (L)

m m

m

 =

⇔ ∆ = − = ⇔ 

= −

Câu II.1

(1,0 đ) Giải phương trình: (1 cos 2 )sin 2

2(sin 3 sin )(1 sin )

1 sin

x

Đk: sinx≠1

Sở GD- ĐT Hng Yªn

Trường THPT Minh Ch©u

ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN I NĂM HỌC 2010 – 2011

Môn : Toán – Khối A

Thời gian làm bài : 180 phút, không kể thời gian giao đề

1 cos

2 2

2 2

2 3

x

x

k x

π





=





 = +











Đ/c điều kiện: (1) có nghiệm: 2

2 2

2 3

x k

π



 =







0,25

0,25

0,25

2

Giải hệ phương trình





1,00

Điều kiện: x+2y+ ≥1 0

Phương trình (1) trở thành : 2t2 – t – 6 = 0

2 / 3 t/m 2

 =



⇔  = −



0,25

+ Hệ 2 2 23



1 1 ( / ) 2

1 2

x y

t m x

y

 =



















0,25

III

Tính tích phân ∫ + 

+

x x

x I

1

2ln 3 ln 1

∫

+

1 2 e

1

xdx ln x 3 dx x ln 1 x

x ln

0,25

+) Tính =∫e + dx

x x

x I

1 1

ln 1

ln

1 ln 1 ln ; 2

x

Khi x=1⇒t=1;x=e⇒t= 2

1

t

⇒ = ∫ = ∫ − =  −  =

0,25

+) TÝnh I x lnxdx

e 1

2













=

=

⇒







=

=

3

x v x

dx du dx

x dv

x ln u

3 2

+

⇒ = 3 e− ∫e 2 = 3 − 3 e = 3 − 3 + = 3

1

0,25

= +

=I1 3I2

I

3

e 2 2 2

5− + 3

0,25

Trong mp(ABCD) từ điểm I kẻ IH song song BC với H thuộc AB Do BC ⊥ AB

=> IH ⊥AB Mà SI ⊥(ABCD) => SI ⊥ AB

Hay AB ⊥(SHI) Từ I trong mặt phẳng (SHI) kẻ IK ⊥SH tại K

⇒IK d I SAB= ( ;( ))= 2

2 SI (1)

0,25 S

B

K

D

A

C O

I H

Ta có 1

4

BC = AC = => IH =

4

BC a

Mà 12 12 12

IS + IH = IK (2) (Do tam giác SIH vuông tại I đường cao IK)

Từ (1) và (2) => 22 12 12

Lại có thể tích khối chóp S.ABCD là V =

3 2

a

Ta có x y xy2 + 2 = + +x y 3xy

⇔ xy x y( + ) = + +x y 3 (1)xy do x >0 ; y > 0 nên x + y > 0

+

(x y) 1 ([ x y) 4] 0 x y 4

0,25

Mà P = (x + y)2 + 2 - 1

xy Lại có (1)

1

xy x y

+

1

+

Nên P = (x + y)2 +1 + 3

x y+

0,25

Đặt x + y = t ( t ≥4) 2 3

t

⇒ = + + =

Ta có f t'( ) = 2t -

3

0 t>4

t

−

= > ∀ mà f t( ) liên tục trên nửa khoảng [4;+∞)

Nên f t( ) đồng biến trên nửa khoảng [4;+∞) => 71

4

P= f t ≥ f =

0,25

Hay giá trị nhỏ nhất của P bằng 71

Giả sử A(a;0) ; B(0;b) ( a , b khác 0) => đường thẳng d đi A , B có phương trình :

1 hay bx+ ay - ab = 0

d là tiếp tuyến của (C) tại M ⇔ M thuộc (C) và d vuông góc với IM 0,25 Đường tròn (C) có tâm I(-6 ; 6) , d có VTCP là ur= −( ; )a b

M là trung điểm của AB nêm M ;

2 2

a b

  , 2 6;2 6

uuur

Do đó ta có hệ phương trình



−  + ÷+  − ÷=



0,25

v

 = −









Vậy d cú phương trỡnh : x -y +2 = 0 ; x - y +22 = 0 ; x + 7y +14 = 0 ; 7x + y – 14= 0 0,25

C thuộc mặt phẳng (Oxy) nờn C( a ; b ;0) 0,25 Tam giỏc ABC cõn tại C

Ta cú AB = 4 5 , trung điểm BC là I(3;3;0)

1

2

ABC

S∆ = CI AB= ⇒CI = => ( ) (2 )2

Từ (1) ; (2) ta cú 3

7

a b

=



 =

 hoặc

3 1

a b

=



 = −



Vậy cú hai điểm C(3 ; 7 ;0) , B(3;-1;0)

0,25

VI b 1) Gọi A, B lần lợt là giao điểm của 2 đờng tròn (C1) và (C2)

suy ra toạ độ của A và B thoả mãn hệ:

2 2

2 2

10 0

4 2 20 0







2 2 10 2 (7 10)2 10

2 49 2 140 100 10 50 2 150 100 0

2 2

4 1

1

7 10

3

x x

y x

x

y

 =

⇔ == − ⇔ =







Vậy A(2; 4), B(1; -3)

0,25

Gọi I là tâm đờng tròn cần tìm

Vì I ∈ (∆): x + 6y - 6= 0 ⇒ I(6 - 6a; a) 0;25 Theo giả thiết thì đờng tròn (C) cần tìm đi qua 2 điểm A, B nên ta có:

IA = IB = R ( Có: IAuur=(6a−4; 4−a), IBuur=(6a− − −5; 3 a) )

⇔ (6a−4)2+ −(4 a)2 = (6a−5)2+ − −( 3 a)2 =R

0,25

⇔(6a−4)2+ −(4 a)2 =(6a−5)2+ − −( 3 a)2

⇔36a2−48a+ + −16 16 8a a+ 2 =36a2−60a+25 9 6+ + a a+ 2

⇔ 2a = -2 ⇔ a = -1

Lúc đó: I(12; -1), R= 100 25 5+ =

Vậy (C ): (x - 12)2 + (y + 1)2 = 52 0,25

Ta có: x2 + y2 + z2 - 2x + 2z - 2 = 0

⇔ (x - 1)2 + y2 + (z + 1)2 = 22

=> Mặt cầu (S) có tâm I(1;0;-1), R = 2

Ta có:

( 1; 3; 4)

, (8; 8; 4) 4(2; 2;1) (1; 1; 4

AB

AB AC AC



= − − −  ⇒ = − = −

= − − 

uuur

uuur uuur uuur

 mp (ABC) có vec tơ pháp tuyến là nr=(2; 2;1)−

 Do đó mp(ABC) có PT: 2(x - 0) - 2(y - 1) + 1(z - 1) = 0 ⇔ 2x - 2y + z + 1 = 0

0,25

Gọi H là hình chiếu của điểm D trên mp(ABC)

Ta có: 1

3

V = S∆ DH mà S∆ ABC không đổi

=> VABCD lớn nhất ⇔ DH lớn nhất

Bài toán quy về tìm điểm D ∈ (S) sao cho DH lớn nhất

0,25

Gọi (∆) là đờng thẳng đi qua I(1;0;-1) và vuông góc

với mp(P) ⇒ ∆ có phơng trình:

1 2

0 2 ( ) 1

= +





 = − +



Gọi D1, D2 lần lợt là giao điểm của (∆) với mặt cầu (S) => toạ độ D1, D2 thoả mãn hệ Phơng

trình:

1 2 2 1 ( 1) ( 1) 2

= +



 = −



 = − +



 − + + + =



1 2 2

1

2 3

t

= +



 = −



 = ±



0,25

Ta thấy d(D1; (P)) = 8

3 > d(D2; (P))=

4

3 => Điểm cần tìm là 1

7 4 5

; ;

3 3 3

D  − − 

VIIb

Ta có:

2010

2010 0 1 1 2 2 3 3 2009 2009 2010 2010

2010 2010 2010 2010 2010 2010 2010 0

k

=

2010

2010 2010 2010 2010 2010 2010 2010 0

k

=

0,25

⇒ 2010 2010 1 3 3 5 5 2009 2009

2010 2010 2010 2010

(1 ) (1 )

2

Lấy tích phân 2 vế của (1) với cận từ 1 đến 2 ta đợc:

2 2010 2010 2

1 3 3 5 5 2009 2009

2010 2010 2010 2010

(1 ) (1 )

2

2011 2011

1 2 3 4 2009 2010

0,25

Vậy:

2011 2011

4022

0,25

VIIa

Giải pt đó cho ta được cỏc nghiệm: 1 1 3 2 , 2 1 3 2

Suy ra

2 2

Đo đú

2

11

4

z z

+

= =

Mọi cỏch làm khỏc mà đỳng đều cho điểm tương đương.

, ngày 23 thỏng 3 năm 2011