Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn -4.. Mặt phẳng SAB vuông góc với mặt phẳng ABC, ∆ SAB cân tại S, ∆ SBC vuông.. Lập phương trình đường thẳ
Trang 1trường thpt hàm rồng
……….
Đề Ktcl theo khối thi đại học
Môn: Toán - khối A Thời gian làm bài: 180 phút Ngày thi: 12 tháng 03 năm 2011
Phần chung cho tất cả các thí sinh ( 7.0 điểm)
Cõu I: (2 điểm) Cho hàm số y= x4ư2(m+1)x2+m2 ư4
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 2
2 Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn -4 Câu II: (2 điểm)
1 Giải phương trình:
x x x x
x
cot
1 cos
1 cos 2 cos 2 4
9 cos
π ư
2 Giải hệ phương trình:
+ +
= +
= + + +
2 7 2 ) (
4 1 2 2
2 2
y x y x y
y xy
y x
Câu III: (1 điểm) Tính tích phân ∫4 ++
0
2 3
cos 1 cos
1 tan
π
dx x x
x
Câu IV: (1 điểm) Cho khối chóp S.ABC có BC = 2a, BAC = 900, ACB = 300 Mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABC), ∆ SAB cân tại S, ∆ SBC vuông Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a
Câu V: (1 điểm) Cho a, b, c > 0 và ab + bc + ca = 1 Chứng minh rằng:
1
3 1
+
+ +
+
c b
b a a
Phần riêng( 3.0 điểm) Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần: (phần 1 hoặc phần 2)
Phần 1: (theo chương trình chuẩn)
Câu VIa: (2 điểm)
1/ Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, Cho ∆ ABC có B(-2; 3), phân giác trong góc A: 3x - y + 1 = 0 (d1),
đường trung tuyến CN: x + y - 3 = 0 (d2) Lập phương trình đường thẳng chứa cạnh AC 2/ Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, hãy xác định toạ độ tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết A(-1; -2; 1), B(1; 0; -1), C(-1; 0; 3)
Câu VIIa: (1 điểm) Giải phương trình (x ) log (x 2) log ( )4x
4
1 3 log
2
1
2 8 4
Phần 1: (theo chương trình nâng cao)
Câu VIb: (2 điểm)
1/ Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, Cho đường tròn (C): ( ) ( )
2
25 2
12+ + 2 =
thẳng d: 3x + 4y - 20 = 0 Lập phương trình các cạnh hình vuông ABCD ngoại tiếp đường tròn (C) biết A∈d
2/ Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A(0; 0; -1), B(-1; 1;
2
1 ) Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B và khoảng cách từ điểm C(1; -1; 2) đến (P) bằng 3
Câu VIIb: (1 điểm) Tìm hệ số của x9 trong khai triển
n
x x x
3
2 )
( , Biết n là số tự nhiên
2 2
3 4 5
6
11 3
Trang 2trường thpt hàm rồng
……….
đáp án Đề Ktcl theo khối thi đại học
Môn: Toán - khối A Ngày thi: 12 tháng 03 năm 2011
Nôi dung
10 TXĐ: R
20
Sự biến thiên: * Chiều biến thiên: y’ = 4x3
±
=
=
⇔
=
3
0 0
/
x
x y
0,25
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (ư∞;ư 3) ( ), 0; 3
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (ư 3;0) (, 3;+∞)
* Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = 0, yCĐ = y(0) = 0
Hàm số đạt cực tiểu tại x = ± 3, yCĐ = y(± 3) = -9
+∞
→
ư∞
x
xlim , lim
0,25
* Bảng biến thiên:
x -∞ - 3 0 3 + ∞ y’ - 0 + 0 - 0 +
y +∞ 0 +∞
-9 -9
0,25 Câu I.1
30 Đồ thị:
* y”= 12x2
- 12 = 0 x = 1 hoặc x = -1
Đồ thị có hai điểm uốn: U1( -1; -5), U2( 1; -5)
* Đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng
0,25
ĐK: Phương trình x4ư2(m+1)x2+m2ư4=0 (1) có 4 nghiệm phân biệt ∈(ư4;4) 0,25
Đặt t = x2 > 0 (*) trở thành: t2 ư2(m+1)t+m2ư4=0 (2)
Ta có: -4 < x < 4 x2
< 16
(1) có 4 nghiệm phân biệt ∈(ư4;4) thì (2) phải có nghiệm t1, t2 : 0 < t1 < t2 <16
0,25 Câu I.2
=> ĐK: ( )
( )
10 2
15 5 2
0 15 2
15 5 2 2
16 5 2 1
0 4
0 1 2
0 5 2
2
2 2
/
<
<
⇔
ư
<
+
≥
ư
>
⇔
ư
<
+
>
⇔
<
+ + +
=
>
ư
=
>
+
=
>
+
=
∆
m m
m m m
m m
m
m m
t
m P
m S m
0,5
2 0
sin
0
k x x
x
≠
⇔
≠
≠
Câu II.1
=
ư
⇔ +
=
ư
⇔
x x x
x x x x
x x
x x
x
cos
1 cos 2 2 cos cos
1 cos 2 sin cos
sin cos
1 cos 2 2 cos 2
x
y
-9
-5
U1 U2
Trang 3\\
|
H
C
B A
S
=
−
⇔
=
−
=
⇔
=
−
⇔
2
1 4 sin 1 cos sin
0 2 cos
2 cos 2 cos cos 2 cos sin
π
x x
x x
x x
x x x
2
, 2
0,25
KÕt hîp (*) =>
2 4
π π
k
NhËn thÊy y = 0 kh«ng tho¶ m·n hÖ => y ≠ 0 Chia 2 vÕ cña hai ph−¬ng tr×nh cho y:
+
+
= +
= + +
+
⇔
+ +
= +
= + + +
⇔
+ +
= +
= + + +
7 1 2
) (
4 1
2 7 2 ) (
4 1
2 7 2 ) (
4 1
2 2
2
2 2
2
2 2
2 2
y y
x y
x
x y y y x
y y
x y
x
y x y y x
y x y x y
y xy
y
§Æt u =
y y
x2 1 + , v = x+ y HÖ trë thµnh:
=
=
=
−
=
⇔
+
=
= +
1 , 3
9 , 5 7
2
4
u v u
v
v u
0,25 C©u II.2
* Víi
= +
−
= +
⇔
=
−
=
y x
y x u
v
9 1
5 9
5
2 ( V« nghiÖm)
=
−
=
=
=
⇔
= +
= +
⇔
=
=
5 , 2
2 ,
1 1
3 1
3
y x
y x
y x u
v VËy hÖ ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm (x; y) lµ: (1; 2) vµ (-2; 5)
0,25
( )
∫
∫
+
+
= +
+
0 2
3 4
0
2 2
3 4
0
2
3
tan 2 tan
1 tan 1
cos
1 cos
1 tan cos
1 cos
1 tan
π π
π
x d x
x dx
x x
x dx
x x
x I
§Æt t = tanx
1 4
0 0
=
⇒
=
=
⇒
= t x
t x
+
= +
+
=
⇒
1
0 2 1
0 2
3 1
0 2
3
2 2
2
1
t
dt t
dt t dt t
t I
0,25
*
2
3 1 ln 0
1 2 ln
2
2 1
0 2 1
+
= + +
= +
t
dt
+
= + +
2
1 2
ln
2
/ 2
t t
t
+
=
1
0 2
2 1
0 2
3
2
2
2
t
dt t t t
dt t
3 1
2 0
, 2 ,
2
2 2
=
⇒
=
=
⇒
=
−
= +
=
⇒ +
=
u t
u t u
t t
tdt du t
C©u III
3
2 4 2
3 2 3 2
3 3
2
2
−
=
−
3
2 4
−
=
2
3 1
ln +
0,25
C©u IV AB = BC.sinC = a, AC = BC.cosC = a 3
SAB AC
AB AC
ABC SAB
⊥
⇒
⊥
⊥
Gäi H lµ trung ®iÓm AB ⇒SH ⊥AB
( ) ( ) (SAB) (ABC) AB SH (ABC)
ABC SAB
=
∩
⊥
NÕu SBC∆ vu«ng t¹i B ⇒BC ⊥(SAB) ( v« lý) => lo¹i
NÕu SBC∆ vu«ng t¹i C ⇒BC⊥(SHC)⇒BC⊥HC ( v« lý)
=> lo¹i
SBC
∆
⇒ vu«ng t¹i S
0,5
Trang 4B'
D
N
C A
B
Gọi M là trung điểm BC => SM = BC=a
2 1
Vì SH ⊥(ABC)⇒SH ⊥HM =>
2 4
2
2 2 2
SH a
a a HM SM
ư
=
ư
=
12
3 2
3 2
1 3
1 3
.
a a a
SH S
=
=
0,5
Đặt a = tanx, b = tany, c = tanz với 0 < x, y, z <
4
π
Theo gt: ab + bc + ca = 1 tanx.tany+ tany.tanz + tanz.tanx = 1
(tanx+ tanz).tany = 1 - tanz.tanx
cos ) tan(
cot tan
tan 1
tan tan tan
1
= + +
⇔ +
=
⇔
ư
+
z x
z x
Vì 0 < x, y, z<
4
π
nên 0 < x+ y+ z <
4
3π
Do đó: (*) x + y + z =
2
π
10
2 sin 6 2 sin 2 sin 10 1
3 1
+
+ +
+
c b
b a
a
0,5 Câu V
Ta có: VT (x y) (x y) z z cos(x y) 6sinz
2 sin 2 sin 6 cos
sin
ư
= +
ư +
( ) 6sin [4cos ( ) 6 ][cos sin ] 4 36 2 10 cos
cos
0,5
2
1, ( ;3 ) )
1 3
;
) 3 ( 2 3 ) 1 3 (
2 2
A x
x x
x x
A N A
N
ư
= + +
=
Gọi B’ là điểm đối xứng với B qua d1 và H =d1∩BB'
BB’⊥ d1 nên BB’: x + 3y + m =0
BB’ qua B(-2; 3) => m = -7 => BB’: x + 3y - 7 =0
⇒
= +
ư
=
ư +
5
11
; 5
2 0
1 3
0 7 3
H y
x
y x
⇒
ư
=
ư
=
5
7
; 5
14 ' 2
2
'
'
B y y y
x x x
B H B
B H B
0,5
Câu
VIa.1
Đường thẳng AC: qua A(1; 4) và có VTCP là
ư
=
5
13
; 5
9 '
13
4 9
ư
ư
=
ư
y x y
Câu
VIa.2 + AB=(2;2;ư2), AC=(0;2;2)⇒[AB,AC]=(8;ư4;4) là VTPT của(ABC)
PT(ABC): 2(x-1) - y + (z+1) = 0 2x-y + z -1 = 0
+ Phương trình mặt phẳng trung trực của AB: (P): x+y - z + 1 = 0
+ Phương trình mặt phẳng trung trực của BC: (Q): x - 2z + 2 = 0
+ Toạ độ tâm đường tròn:
=
=
=
⇔
ư
=
ư
ư
=
ư +
= +
ư
1 0 2
2
1
1 2
z
y x z
x
z y x
z y x
=> Tâm I(0;0;1)
0,25
0,25 0,25
0,25
Câu
VIIa
ĐK: 0< x≠ 2 (*)
=
ư
=
⇔
=
ư +
±
=
⇔
=
ư
ư
⇔
=
ư +
⇔
1 , 6 0
6 5
2
33 3 0
6 3 4
2 3
2 2
x x x
x
x x
x x x
x
Kết hợp với điều kiện (*) =>Phương trình có hai nghiệm: x= 1 và x =
2
33
3 +
0,25
0,5
0,25
Trang 5D C
B
R
I
d A
(C): T©m I(1; -2), R =
2
5 §−êng th¼ng d:
−
=
= t y
t x
3 5 4
A∈d⇒A(4t;5−3t) Theo gi¶ thiÕt AI = R 2=5
(4t−1) (2+ 7−3t)2=25⇔t=1⇒A(4;2)
0,25
Ph−¬ng tr×nh c¹nh h×nh vu«ng qua A cã d¹ng
0 ) 2 ( ) 4 (
∆ a x b y , a2+ b2 ≠0
( )
−
=
=
⇔
=
−
−
⇔
= +
−
−
−
⇔
=
∆
a b
b a b
ab a
b a
b a b a R I
d
7
7 0
7 48 7
2
5 2 4 2 ,
2 2
2 2
+ Víi a = 7b: chän b =1, a =7 => ∆ : 7x + y - 30 = 0
+ Víi b = -7a: chän b = -7, a =1 => ∆ : x - 7y + 10 = 0
Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t, gäi AB: 7x+y-30 =0, AD: x- 7y + 10 = 0
0,25
0,25
C©u
VIb.1
Do I lµ trung ®iÓm AC => C(-2; -6)
BC qua C vµ // AD => BC: x - 7y - 40 = 0
DC qua C vµ // AB => DC: 7x + y + 20 = 0
KL: AB: 7x + y - 30 = 0, AD: x - 7y + 10 = 0, BC: x -7y - 40 = 0, DC: 7x + y + 20 = 0
0,25
Ph−¬ng trinh (P) qua A cã d¹ng: ax + by + c(z+1) = 0, a2+b2+c2 ≠0
B∈(P) nªn: -a + b +
2
3
c = 0 => a = b +
2
3
c
(P): (b +
2
3 c)x + by + cz+ c = 0
0,25
−
=
⇒
−
=
−
=
⇒
−
=
⇔
+ +
+
=
⇔
= + +
+
+
− +
⇔
=
) 2 ( 2 2
) 1 ( 2 1
2
3 2
3 3 2
3
3 2
3 3
) (
2
2 2 2
b a b c
b a b c
c b c b c c
b c b
c b c b P
C
d
0,5
C©u
VIb.2
• Víi (1): Chän b = -2, a = 1, c = 2 => (P): x - 2y + 2z + 2 = 0
• Víi (2): Chän b = -1, a = 2, c = 2 => (P): 2x - y + 2z + 2 = 0
VËy (P) cã ph−¬ng tr×nh lµ: x - 2y + 2z + 2 = 0 hoÆc 2x - y + 2z + 2 = 0
0,25
(*)) ( 8 6
11
6
11 6
11 6
11 2
6
11 2
6
11 3
3
5 2 5
3
5 2 4
2 5
2 5
2 3
1 4 1 4
1 5 1 5
2 3
1 4 1 5
1
5 2 2
3 3 4 4 5 5
2 2
3 4 5
tm n
C C
C C
C C C
C C C C
C C C
C C
C C C C C C
C C C C
n n
n n
n n n
n n n n
n n n
n n
n n n n n n
n n n n
=
⇔
=
⇔
= +
⇔
= + + +
⇔
= + +
⇔
= + + + + +
⇔
= + + +
+ +
+ +
+ + +
+ + + +
+ + +
+ +
0,5 C©uVIIb
∑
∑
=
−
=
−
−
=
−
=
0
5 24 8 8
0
2 8
3 8 8
2 3
3
2 3
2 )
( 3
2 )
(
k
k k k
k
k k
x x
C x
x x P
sè h¹ng chøa x9 øng víi k tho¶ m·n: 24 - 5k = 9 => k = 3
=> HÖ sè cña x9 lµ:
27
448 3
2 3 3
8 =−
− C
0,25