Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông, đường cao SA.. Mặt phẳng ANMP chia hình chóp thành hai phần.. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó.. Tính diện tích tam giác ABC.. Tìm tọa
Trang 1TRƯỜNG THPT TRẦN PHÚ
TỔ TOÁN - TIN
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2010 - 2011
Môn: TOÁN - Khối A + B Ngày thi: 01/03/2011
Thời gian làm bài: 180 phút
(không kể thời gian giao đề)
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7.0 điểm)
Câu 1 (2 điểm) Cho hàm số y x= 3+(2m+1)x2+(3m−2)x m+ −2, (1) m là tham số thực
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = -1
2 Tìm m để đồ thị của hàm số (1) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ x1, x2, x3
thỏa mãn điều kiện: x12+x22+x32 >3
Câu 2 (2 điểm)
1 Giải phương trình: 2cos 22 x+cos 2 sin 3x x+3sin 22 x=3
2 Giải hệ phương trình:
1 4
y x y x y
Câu 3 (2 điểm)
1 Tính tích phân: 2 2
0
sin
x
e xdx
π
2 Tìm m để phương trình sau có nghiệm: m( x− +2 24 x2− −4) x+ =2 24 x2−4
Câu 4 (1 điểm) Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông, đường cao SA Gọi M là
trung điểm SC; N, P lần lượt nằm trên SB và SD sao cho 2
3
SN SP
SB = SD = Chứng minh 4 điểm A, N, M,
P cùng nằm trên một mặt phẳng Mặt phẳng (ANMP) chia hình chóp thành hai phần Tính tỉ số thể tích của hai phần đó
II PHẦN RIÊNG (3.0 điểm) : Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
A Theo chương trình Chuẩn
Câu 5.a (2 điểm)
1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC, với A(1;1),B(−2;5), đỉnh C nằm trên đường thẳng x−4=0, và trọng tâm G của tam giác nằm trên đường thẳng 2x−3y+6=0 Tính diện tích
tam giác ABC.
2 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm A(1; 2; 3) và hai đường thẳng
1
( ) :
d − = − = −
1 ( ) :
d = − =
Viết phương trình dường (d) thẳng đi qua A, cắt
( )d và vuông góc với 1 ( )d 2
Câu 6.a (1 điểm) Tìm số phức z thỏa mãn: z2+2z=0
B Theo chương trình Nâng cao
Câu 5.b (2 điểm)
1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC, với A(2;−1),B(1;−2), trọng tâm G của tam giác nằm trên đường thẳng x+ y−2=0 Tìm tọa độ đỉnh C biết diện tích tam giác ABC bằng 13,5
2 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):x+y−z+1=0 và đường thẳng d:
3
1 1
1 1
2
−
−
=
−
−
=
x
Gọi I là giao điểm của d và (P) Viết phương trình của đường thẳng ∆
nằm trong (P), vuông góc với d và cách I một khoảng bằng 3 2
Câu 6.b (1 điểm) Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện | z+ +1 2 | 1i = tìm số phức có môđun nhỏ nhất
… Hết …
Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: ……… ; Lớp: ………
Trang 2ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM ĐỀ THI THỬ SỐ 5
1-1
(1 điểm)
Với m = -1 có y = x3 - x2 -5x - 3
* Tập xác định D = R
* Sự biến thiên: - Chiều biến thiên: y’ = 3x2 - 2x - 5; y’ = 0 ⇔
1 5 3
= −
=
x
x .
Dấu của y’:
Hàm số nghịch biến trên khoảng (-1; 5/3)
Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; -1) và (5/3 ; + ∞)
- Cực trị:
+ Hàm số đạt cực tiểu tại x = 5/3, yCT = -256/27;
Hàm số đạt cực đại tại x = -1, yCĐ = 0
0,25
- Giới hạn:
3
x y x x
x x x
→+∞ = →+∞ − − − = +∞; lim lim 3(1 1 52 33)
x y x x
x x x
Bảng biến thiên:
0
256 27
−
* Đồ thị:
- Đồ thị hàm số cắt trục Ox tại điểm: (-1;0), (3; 0)
1-2
(1 điểm)
Hoành độ giao điểm của đồ thị và trục hoành là nghiệm của phương trình:
x3 (2m 1)x2 (3m 2)x m 2 0 (x 1)(x2 2mx m 2) (2)
1 0
x
x mx m
+ =
0,25
Đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt x1, x2, x3 khi và chỉ khi
phương trình (2) có 3 nghiệm phân biệt ⇔ phương trình (*) có hai nghiệm phân
biệt khác - 1
⇔
2 2
1
m m
m
∆ >
0,25
Giả sử x3 = -1 khi đó x1, x2 là nghiệm của phương trình (*) nên theo định lý Viet ta
có:
1 2
2 2
x x m
+ = −
Có x12+x22+x32 > ⇔7 x12+x22 > ⇔6 (x1+x2)2−2x x1 2> ⇔6 4m2 −2m+ >4 6
1
1
m
m m
m
< −
− − > ⇔
>
0,25
Kết hợp với điều kiện ta được: ( ; 1) ( 1; 1) (1; )
2
Trang 3(1 điểm)
2cos 2x+cos 2 sin 3x x+3sin 2x= ⇔3 cos2 sin 3x x−cos 2x=0
x
=
0,25
(1) 2
x π kπ x π kπ
(2) ⇔
2
π
0,25 Vậy nghiệm của phương trình là:
x= +π kπ
,
x= π +lπ
2
x= +π l π
2-2
(1 điểm)
Dễ thấy y = 0 không là nghiệm của hệ phương trình Chia cả hai vế của hệ phương
trình cho y ≠ 0 ta được:
2
2 2
1
4 1
x
y x y
x
x y
y
+ + + =
+
0,25
Đặt
2 1
x u y
v x y
= +
⇔
3
u v
=
=
9 5
u v
=
= −
3
u v
=
=
có
2
2
1
2 3
3
x
x
y
y
x y
+ =
5
x y
= −
=
5
u v
=
= −
2
2
1
5 5
x
y
x y
+ = −
vô nghiệm
0,25
0,25
Vậy hệ phương trình có nghiệm: 1
2
x y
=
=
2 5
x y
= −
=
3.1
(1 điểm)
2
x
0
0
x x
π
π
π
0
1 cos 2 2
x
π
2
1
2
x
x du e dx
u e
=
2
0
π
Tính 2
0
sin 2
x
e xdx
π
2
1
2
x
x du e dx
u e
=
0,25
Trang 42 2 2 2
2
0
π
π
I = e π − − ⇔ =I I e π −
Vậy I = 1 2 1
π − 1 2 1
π
− + = 1 2 1
3.2
(1 điểm)
Điều kiện : x ≥ 2
Ta thấy x = 2 không là nghiệm của phương trình nên ta chia hai vế phương trình
m
Đặt
4 4
4
Khi đó (*) trở thành:
2
t t
+
Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi PT (3) có nghiệm t > 1
Xét hàm số f(t) với t> 1, có: f’(t) =
2 2
t t
t t
+ + > ∀ >
⇒ f(t) > f(1) = 1 ∀ t > 1
0,25 0,25
0,25
4
(1 điểm)
1 Gọi O là giao điểm của AC và BD, I là giao
điểm của AM với SO
Có I là trọng tâm tam giác SAC nên 2
3
SI
SO =
3
SN SP SI
SB = SD = SO =
⇒ NI // BO và PI//DO ⇒ N, I, P thẳng hàng
hay I nằm trên đường thẳng NP ⇒ AM cắt NP
hay 4 điểm A, N, M, P đồng phẳng
0,25
0,25
S ANM S AMP
S ABC S ACD
V SN SM SP SM V
V = SA SB = SD SB =V ⇒ .
S ANM S AMP
S ABC S ACD
V =V
S ANM S AMP S ANM S AMP S ANMP
S ABC S ACD S ABCD S ABCD
+
Vậy mặt phẳng (ANMP) chia hình chóp S.ABCD thành hai phần có tỷ số thể tích
là 1
2.
0,25 0,25
5a.1
(1 điểm)
Gọi C(xC; yC) Có C thuộc đường thẳng x - 4 = 0 nên xC = 4 ⇒ C(4; yC)
Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là:
C C
x = − + = y = + + = +
0,25
Mặt khác G thuộc đường thẳng 2x−3y+6=0 nên 2 - 6 - yC + 6 = 0 ⇔ yC = 2
AB= − AC =
AB=5, AC = 10
ABC
S = AB AC − uuur uuurAB AC = − − + = 0,25 Vậy diện tích tam giác ABC là 15
2 . Ghi chú: Có thể tính diện tích theo công thức Hêrông hoặc công thức khác
0,25
Trang 5(1 điểm)
(d1) đi qua M1(1; 3; 1) có vec tơ chỉ phương uur1= −( 1;1;2)
(d2) đi qua M2(0;1;0) có vec tơ chỉ phương uuur2 =(4;1;2)
Gọi (α) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với (d2) (α) nhận véctơ chỉ phương
2 (4;1;2)
uuur= của (d2) làm vectơ pháp tuyến
PT (α): 4(x - 1) + 1.(y - 2) + 2(z - 3) = 0 ⇔ 4x + y + 2z - 12 = 0
0,25
Gọi B là giao điểm của (d1) và (α) Tọa độ B là nghiệm của hệ phương trình:
2
6
x
y
= −
(d) là đường thẳng đi qua A và B, có vec tơ chỉ phương uuurAB= −( 3;4;4) nên có
phương trình tham số:
1 3
2 4
3 4
= −
= +
= +
0,5
6a.
(1 điểm)
Tìm số phức z thỏa mãn: z2+2z=0
Đặt z = a + bi (a, b ∈ R)
z + z= ⇔ a bi+ + a bi− = ⇔a − +b a+ ab− b i=
⇔
0
(1) 0
1
(2)
b b
a b a
a b a
a
a b a
a b a
=
=
0,25 0,25
0
0
2
b
a
a
=
0 0
b a
=
=
0 2
b a
=
= −
1
a
=
1 3
a b
=
=
1 3
a b
=
= −
0,25
Vậy có 4 số phức z là z = 0, z = -2, z= +1 i 3 và z= −1 i 3
5b.1
(1 điểm)
Gọi C(xC; yC) Có tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là:
;
C C
x y
Có uuurAB= − −( 1; 1),AB= 2
Đường thẳng AB có vec tơ pháp tuyến nr = −(1; 1) nên có phương trình: x - y - 3 =0
ABC ABC
S
S d C AB AB d C AB
AB
d C AB = − − = −
9
C C
C
C
x x
x
x
=
⇔ = −
+ với xC = 18 ⇒ yC = -12 ⇒ C(18; -12)
+ Với xC = -9 ⇒ yC = 12 ⇒ C(-9; 12)
0,25
0,25 0,25
Trang 6(1 điểm)
• (P) có véc tơ pháp tuyến n(P) =(1;1;−1) và d có véc tơ chỉ phương ur = − −(1; 1; 3)
) 4
; 2
; 1 ( )
d
• vì ∆⊂(P);∆⊥d⇒∆ có véctơ chỉ phương u∆ =[ ]n(P);u =(−4;2;−2)
) 1
; 1
; 2 (
0,25
• Gọi H là hình chiếu của I trên ∆⇒H∈mp (Q)qua I và vuông góc ∆.
Phương trình (Q): −2(x−1)+(y−2)−(z−4)=0⇔−2x+y−z+4=0.
Gọi d1 =(P)∩(Q)⇒d1có véctơ chỉ phương [n(P);n(Q)]=(0;3;3)=3(0;1;1)
và d qua I 1
+
=
+
=
=
⇒
t z
t y
x ptd
4 2
1 :
1
Ta có H∈d1 ⇒H(1;2+t;4+t)⇒IH =(0;t;t)
−
=
=
⇔
=
⇔
=
3
3 2
3 2 2
t
t t
IH
0,25
0,25
• TH1:
1
7 1
5 2
1 : )
7
; 5
; 1 ( 3
−
−
=
−
=
−
−
∆
⇒
⇒
t
TH2:
1
1 1
1 2
1 : )
1
; 1
; 1 ( 3
−
−
=
+
=
−
−
∆
⇒
−
⇒
−
6b
(1 điểm)
Xét biểu thức |z+ +1 2 | 1i = (1) Đặt z = x + yi Khi đó (1) trở thành
(x+ + +1) (y 2)i = ⇔ +(x 1) + y+ =
Do đó các điểm M biểu diễn số phức z thoả mãn (1) nằm trên đường tròn (C) tâm
I(-1; -2) và bán kính R = 1
0,25
Ta có z đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi điểm M nằm trên đường tròn (C) và
gần O nhất Do đó M là giao điểm của (C) và đường thẳng OI, với M là giao điểm
gần O hơn
Đường thẳng OI có phương trình: y = 2x
0,25
Tọa độ M là nghiệm của hệ phương trình:
2 ( 2)2 1 2
( 1) y
y x
x
=
+
Giải hệ phương trình ta tìm được:
1 1 5 2 2 5
x y
= − +
= − +
và
1 1 5 2 2 5
x y
= − −
= − −
0,25
Có
− + + − + < − − + − −
Vậy số phức cần tìm là : 5 5 2 5 10
