phương trình hàm ôn hs giỏi

Mở đầu Lý thuyết phương trình hàm là một trong những lĩnh vực nghiên cứu quan trọng của giải tích toán học.. Các dạng toán về phương trình hàm rất phong phú, bao gồm các loại phương trìn

Mở đầu

Lý thuyết phương trình hàm là một trong những lĩnh vực nghiên cứu quan trọng của giải tích toán học Các dạng toán về phương trình hàm rất phong phú, bao gồm các loại phương trình tuyến tính và phương trình phi tuyến, phương trình một ẩn hàm và phương trình nhiều ẩn hàm

Trong các kỳ thi olympic toán quốc gia và quốc tế, olympic toán khu vực, thường xuất hiện các dạng toán khác nhau có liên quan đến phương trình hàm Tuy nhiên cho đến nay, học sinh các trường chuyên, lớp chọn còn biết rất ít về các dạng phương trình hàm và các phương pháp chính thống để giải các phương trình hàm

Dưới đây là một số bài toán xác định các hàm số chuyển đổi một số dạng trung bình thường gặp và phương pháp giải các bài toán đó

Nội dung

Từ cặp số dương x, y chúng ta có thể lập vô số các đại lượng trung bình Dưới đây, chúng ta sẽ xét một số bài toán xác định các hàm số chuyển đổi một số dạng trung bình thường gặp trong chương trình toán học ở bậc phổ thông như các đại lượng trung bình cộng, trung bình nhân, trung bình điều hoà, trung bình bình phương Những đại lượng này được sắp xếp theo thứ tự sau

x y

Bài toán 1.(phương trình một ẩn hàm)

Xác định các hàm số f x ( ) liên tục trên R và thoả mãn điều kiện

( ) ( ) , ,

x y

f   +  = ÷ + ∀ x y R ∈

  (1)

Giải: Đặt f t ( ) = f ( ) 0 + g t ( ) , ∀ ∈ t R (2) Thế vào (1), ta được

( ) ( ) ( )

x y

g

x y R g

+





(3)

Cho y = 0 thì ( )

,

Vậy (3) có dạng:

g x y

+ = + ⇔ + = + (4)

Do f x ( ) liên tục nên g x ( ) cũng liên tục.Vậy (4) là phương trìmh hàm Cauchy

Vì vậy g x ( ) = ax Thay vào (2), ta được f x ( ) = ax b + , với b = f ( ) 0

Vậy f x ( ) = ax b + , với b = f ( ) 0

Bài toán 2 (phương trình hai ẩn hàm tương ứng)

Xác định các cặp hàm f x g x ( ) ( ) , liên tục trên R và thoả mãn điều kiện

( ) ( ) , ,

x y

f   +  = ÷ + ∀ x y R ∈

  (1)

x

  , trong đó a g = ( ) 0

Thế vào (1), ta được ( ) ( ) ( ) , ,

x y R

⇔ + + = + (2)

Đặt g t ( ) = + a h t ( ) , thì (2) có dạng

h x y + + a h x = + h y + a x y R ∀ ∈

⇔ + = + ∀ ∈ (3)

Nhận xét rằng h x ( ) là hàm liên tục vì f x g x ( ), ( ) là các hàm liên tục

Vậy (3) là phương trình hàm Cauchy Do đó (3) có nghiệm

h x ( ) = α x Suy ra ( )

α

α α



Thử lại, ta thấy cặp hàm f x g x ( ) ( ) , thoả mãn điều kiện bài ra

Bài toán 3. (phương trình một ẩn hàm)

Xác định các hàm số f x ( ) liên tục, không âm trên R và thoả mãn diều kiện:

( ) ( ) , , 2

x y

f   +  = ÷ f x f y ∀ x y R ∈

  (1)

Giải: Giả sử tồn tại t0 để f t ( )0 = 0 Khi đó

2

2

Hàm này thoả mãn điều kiện bài ra

Xét trường hợp f t ( ) ≠ ∀ 0, t Từ gỉa thiết suy ra f t ( ) >0 ∀ ∈ t R

Lấy lôgarit hai vế của (1), ta được

x y

( ) ( )

x y

g   +  = ÷ +

  , trong đó g x ( ) = ln f x ( ) , ∀ x y R , ∈ Theo kết quả của bài toán (1) thì g x ( ) = ax b a b R + ; , ∈ tuỳ ý

Suy ra f x ( ) = eax b+ ; , a b R ∈ tuỳ ý

Vậy ( )

( )

0

ax b

f x

f x e +

=





=

 ;a b R , ∈ tuỳ ý

Bài toán 4 (phương trình 2 ẩn hàm tương ứng)

Xác định các cặp hàm f x g x ( ) ( ) , liên tục, không âm trên R và thoả mãn điều kiện: ( ) ( ) , ,

2

x y

f   +  = ÷ g x g y ∀ x y R ∈

  (1)

Giải: Giả sử tồn tại t0 để g t ( )0 = 0 Khi đó

2

2

Từ (1) suy ra g t ( ) = ∀ 0, t

Cặp hàm này thoả mãn điều kiện bài ra

Xét trường hợp f x ( ) ≠ 0, g x ( ) ≠ ∀ ∈ 0, x R

Xét y = 0, từ (1), ta thu được ( ) ,

2

x

f   =  ÷ ag x ∀ ∈ x R

  , trong đó a g = ( ) 0 Thế vào (1), ta được

ag x y + = g x g y ∀ x y R ∈ hay

( ) ( ) ( ) , ,

ag x y + = g x g y ∀ x y R ∈ (2)

Lấy lôgarit hai vế của (2), ta được

ln a + ln ( g x y + ) ln ( ) ln ( ), = g x + g y ∀ x y R , ∈ hay

b h x y + + = h x + h y , trong đó ( ) ln ( )

, ln

x R

=

 =

Áp dụng cách giải bài toán 2, ta thu được h x ( ) = α x b +

Suy ra ( ) 2( )

( )

x b

x b

α α

+ +





=

 , trong đó b = ln a.

Thử lại , ta thấy cặp hàm f x g x ( ) ( ) , thoả mãn điều kiện bài ra

Bài toán 5. (phương trình một ẩn hàm)

Xác định các hàm số f x ( ) liên tục, dương trên R và thoả mãn điều kiện

2 ( ) ( )

f x f y

+

  (1)

Giải: Viết (1) dưới dạng

( ) ( )

1

2

2

x y

+

hay

2 2

x y R

x y

f

+

+

x y

g   +  = ÷ + ∀ x y R ∈

  (3)

trong đó g t ( ) 1 ( )

f t

=

Từ giả thiết ta có nhận xét rằng g t ( ) >0 và liên tục trên R

Áp dụng cách giải bài toán 1, ta được g x ( ) = ax b + Ta cần chọn a, b sao cho

( )

g x >0, ∀ x

Chọn a = 0, b > 0 Khi đó g x ( ) = b > 0, ∀ ∈ x R

Vậy f x ( ) 1 , b

b

= > 0 tuỳ ý

Bài toán 6 (phương trình hai ẩn hàm tương ứng)

Xác định các cặp hàm f x g x ( ) ( ) , liên tục, dương trên R và thoả mãn điều

( ) ( )

2

2

g x g y

x y

+

  (1)

Giải: Xét y = 0, từ (1), ta có

( ) ( )

2

, 2

ag x x

a g x

  , trong đó a g = ( ) 0 (2)

Thế (2) vào (1), ta được ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

x y R

+

hay g x y ( 1 ) + = 1 a g x ( ) 1 + g y ( ) 1 , ∀ x y R , ∈

+

hay h x y ( + ) + = b h x ( ) ( ) + h y , ∀ x y R , ∈ (3)

trong đó h x ( ) ( ) 1 , b 1

Từ giả thiết ta có nhận xét rằng h x ( ) > 0 và liên tục trên R

Áp dụng cách giải bài toán 2, ta thu được h x ( ) = α x b + Ta càn chọn α ,b

Sao cho h x ( ) > 0, ∀ x

Chọn α = 0, b> 0 tuỳ ý Khi đó h x ( ) = b> 0, ∀ x

Suy ra ( )

( )



 , (vì

1

b a

Thử lại, ta thấy cặp hàm f x g x ( ) ( ) , thoả mãn điều kiện bài ra

Bài toán 7. (phương trìmh một ẩn hàm)

Xác định các hàm số f x ( ) liên tục trên R+ và thoả mãn điều kiện

f xy = f x f y ∀ x y R ∈ (1)

Giải: Từ điều kiện bài toán suy ra f x ( ) ≥ ∀ ∈ 0, x R+

Nếu tồn tại x0> 0 sao cho f x ( )0 = 0 thì từ (1) suy ra

( 0 ) ( ) ( )0 0,

f x y = f x f y = ∀ ∈ y R+

Trong trường hợp này f x ( ) ≡ 0

Nếu f x ( ) > 0,∀ ∈ x R+ thì đặt x e y e f e = u, = v, ( )u = g u ( )

Khi đó g u ( ) liên tục trên R và (1) có dạng:

( ) ( ) , , 2

u v

g   +  = ÷ g u g v ∀ u v R ∈

Theo kết quả của bài toán 3, thì ( )

( )

0

; ,

au b

g u

g u e + a b R

=







Vậy ( )

( ) ln

0

a x b a

f x

=





 , c > 0tuỳ ý

Bài toán 8 (phương trình 2 ẩn hàm tương ứng)

( ) ( ) ,

( ) ( ) ( ) , ,

f xy = g x g y ∀ x y R ∈ (1)

Giải: Xét y = 1, từ (1), ta có f ( ) x = ag x ( ) , ∀ ∈ x R a g+, = ( ) 1

Thế vào (1), ta được: ag xy ( ) = g x g y ( ) ( ) , ∀ x y R , ∈ +

hay a g xy ( ) = g x g y ( ) ( ) , ∀ x y R , ∈ + (2)

Nếu tồn tại x0> 0: g x ( )0 = 0 thì từ (2) suy ra

( )0 ( ) ( )0 0,

ag x y = g x g y = ∀ ∈ y R+

Trong trường hợp này g x ( ) ≡ 0 suy ra f x ( ) ≡ 0

Nếu g x ( ) > 0, ∀ ∈ x R+ thì lấy lôgarit hai vế của (2), ta được

ln a + ln ( ) ln ( ) ln ( ), g xy = g x + g y ∀ x y R , ∈ +

hay b h xy + ( ) = h x ( ) ( ) + h y , ∀ x y R , ∈ +, (3)

trong đó b = ln , a h x ( ) = ln g x ( )

Đặt h x ( ) = ϕ ( ) x + b, từ (3), ta được ϕ ( ) xy = ϕ ( ) x + ϕ ( ), y ∀ x y R , ∈ + (4) Đặt x e y e u v R = u, = v, , ∈ , thế vào (4), ta được

( ) ( ) ( ) eu v eu ev , u v R ,

ϕ + = ϕ + ϕ ∀ ∈ (5)

Đặt ϕ ( ) et = ψ ( ) t , thì (5) có dạng ψ ( u v + = ) ψ ( ) u + ψ ( ), v ∀ u v R , ∈ (6) Đây là phương trình hàm Cauchy

Suy ra ψ ( ) t = α t ⇒ ϕ ( ) et = α t Suy ra ϕ ( ) x = α ln , x x> 0

Suy ra h x ( ) ln = a + α ln x suy ra g x ( ) = eαlnx+lna ( = axα ) ; x > 0, a > 0 Suy ra f x ( ) = ax xα, > 0

Thử lại, ta thấy cặp hàm f x g x ( ) ( ) , thỏa mãn điều kiện bài ra

Bài toán 9 (phương trình một ẩn hàm)

Xác định các hàm số f x ( ) liên tục trên R/{0} và thoả mãn điều kiện

( ) ( )

2

2

xy

x y

+

  (1)

Giải: Đặt 1 u , 1 v f , 1 g u ( )

 

  Khi đó g u ( ) liên tục trên R/{0} và (1) có dạng ( ) ( ) , , , 0

u v

g   +  = ÷ + ∀ u v u v + ≠

Theo bài toán 1, thì g u ( ) = au b + Do đó f x ( ) a b

x

= +

Kết luận: f x ( ) a b a b R ; ,

x

= + ∈ , tuỳ ý

Bài toán 10 (phương trình một ẩn hàm)

Xác định các hàm số f x ( ) liên tục trên R/{0} và thoả mãn điều kiện

( ) ( )

2

xy

x y

  (1)

Giải: Từ điều kiện bài toán, suy ra f x ( ) ≥ ∀ ≠ 0, x 0

Nếu tồn tại x0 ≠ 0 sao cho f x ( )0 = 0 thì

( ) ( )

0

0

2

x y

Nếu f x ( ) > ∀ ≠ 0, x 0 thì (1)

2

2

xy

x y

+

+

hay 2 ( ) ( )

2

xy

x y

+

  với g x ( ) = ln f x ( )

Theo kết quả của bài toán 9 thì g x ( ) a b

x

= + Do đó ( ) a b

x

f x = e +

Kết luận:

( ) ( )

0

a b x

f x

f x e +





, a b R , ∈ tuỳ ý

Trên đây là một số bài toán xác định các hàm số chuyển đổi một số dạng trung bình thường gặp trong chương trình toán học ở bậc phổ thông và cách giải các bài toán đó Bao gồm các phương trình một ẩn hàm và phương trình hai ẩn hàm tương ứng

Tóm lại, các dạng toán về phương trình hàm rất phong phú và đa dạng Mỗi dạng lại có một phương pháp giải khác nhau, nhưng đích chung là chúng ta phải đưa các phương trình đó về phương trình hàm Cauchy đã có cách giải Trên đây

là một số dạng phương trình cơ bản và phương pháp giải các phương trình đó, ngoài mấy dạng cơ bản trên còn rất nhiều các dạng phương trình khác ở trong giáo trình