chuyên đề ôn thi học sinh giỏi phương trình hàm.

Tài liệu phương trình hàm phân dạng và lời giải chi tiết A. PHƯƠNG TRÌNH DẠNG f(A)=B Dạng : Tìm f(x) , biết Đặt t = u(x) , tính x theo t : Thế vào biểu thức đã cho ta được Khi đó thay t bởi x ta được : Kiểm tra lại xem hàm số tìm được thỏa mãn đk đề bài chưa. (vì pp này mới chỉ là đk cần) • Lưu ý : Nếu việc rút x theo t phức tạp, ta có thể biến đổi . Ví dụ 1: Tìm hàm số f(x) biết : a) b) Hướng dẫn giải a) Đặt t = 2x + 1 Hệ thức đã cho trở thành : f(t) = . Vậy f(x) = b) Đặt t = Do đó f(t) = . Vậy f(x) = Bài tập tự luyện:

A PHƯƠNG TRÌNH DẠNG f(A)=B

Dạng : Tìm f(x) , biết f u x  v x 

Đặt t = u(x) , tính x theo t : 1 

xu t

Thế vào biểu thức đã cho ta được   1

( )

f t  v u  t 

Khi đó thay t bởi x ta được : f x  Kiểm tra lại xem hàm số tìm được thỏa mãn đk đề bài chưa (vì pp này mới chỉ là đk cần)

 Lưu ý : Nếu việc rút x theo t phức tạp, ta có thể biến đổi v x k u x   

Ví dụ 1: Tìm hàm số f(x) biết :

a) f 2x 1 7x 5 b) f x 1 x2 12 khi x 0

Hướng dẫn giải

a) Đặt t = 2x + 1  1

2

t

x 

Hệ thức đã cho trở thành : f(t) = 7 1 5 7 3

t

t



2x 2

b) Đặt t = x 1 t2 x2 12 2  x2 12  t2 2

Do đó f(t) = t2 Vậy f(x) =2 2

2

x 

Bài tập tự luyện:

Bài 1: Tìm hàm f(x) biết :

a) f :\ 0  và  2  2

f x x   x x  (Nhân lượng liên hợp x x2 ĐS:1 f x( ) 1

x

 

b) : \ 2, 3

3

f   

4 ( )

x

f x

x







c) f :\ 0  và 1 2 

x

 

2

f t

t t



 

d) f :\ 1  và 1 2  

x

2 2

2 ( )

( 1)

x x

f x

x

 





f) f :\ 0  và 2 4 21 

0 1



  

4

2 1

x x



1

x x

 ĐS:  2 

1

f x x

Bài 2: Tìm f x 1

x



  biết với x 1,

2

2

1 1

x

f

B PHƯƠNG TRÌNH DẠNG a.f(A)+b.f(B)=C

Dạng : Tìm f(x) biết a f u x  ( ) b f v x  ( ) r x( )

Từ hệ thức đã cho suy ra hệ thức mới chỉ chứa f u x ( ) và f v x ( )

Ta được hệ pt chứa 2 ẩn f u x ( ) và f v x ( )

Giải hệ này ta đưa bài toán về dạng 1

* a.f(x) + b.f(–x) = C Thay x bởi – x ta được a.f(–x) + b.f(x) = C

* a.f(x) + bf( )1

x = C Thay x bởi

1

x ta được a.f

1

x

 

 

  ta được a.f

1

x

 

 

 + b.f(x) = C

Ví dụ 1: Tìm hàm số f(x) biết :

1

 



Hướng dẫn giải

a) Ta có : 2.f(x) – f(–x) = x412x34 (1)

Thay x bởi – x thì đẳng thức trở thành: 2 (f  x) f x( ) x412x3 4 (2)

Nhân 2 vào hai vế của (1) xong cộng với (2) theo từng vế ta được

3 ( ) 3f x  x 12x 12  f x( )  x 4x  4

1

 



Thay x bởi 1

x thì đẳng thức này thành:

1 1

f f x

x

      

1



Nhân 1 x

x



vào hai vế của (3) ta được:

2

( )

f x f

 

Lấy (4) trừ (5) theo từng vế ta được:

2

1

f x

Suy ra : ( ) 1

1

f x

x



Ví dụ 2: Cho hàm số f(x) xác định với 1

2

x  Tìm hàm số này biết rằng    



x

f x xf

Hướng dẫn giải

1 2

u 

Thay

x

u

x



u x u



Từ (1), (2) Ta được hệ :

x

f x xf

x





* x 1 ( ) 2(2 1)

1

x

f x

x



 * x = 1 ta thay x = 1 vào (1) : f(1) + f(1) = 2  f(1) =1

Tóm lại:





1

x

x

Ví dụ 3: Tìm hàm số f :\ 0;1  thỏa mãn:   1

x

x



Hướng dẫn giải Đặt x1  x1,(1) f x    f x1  1 x



1

1

1

x

2

x

Ta được hệ :

 

 





1

f x f x x

x x x

f x f x x

Thử lại thấy đúng, vậy hàm số cần tìm là:      



Bài tập tự luyện:

Bài 1: Tìm hàm f(x) biết :

b) f :\ 0  và   1

x

 

2 2 ( )

3

x

f x

x





c*) f :\ 0  và   1 1



( )

7

x

f x

x





d) : \ 2

3

 

x

x



( )

x x

f x

x







e) f : và     2

2

( )

3

x x

f x   

2

2

7 ( )

2 1

x x

f x

x







g*) f :\1; 0;1 và   1

1

x

x





2

( )

x x

f x

x x

 





Bài 2: Tìm hàm số f(x) biết f(x) là một đa thức bậc ba thỏa: (0) 0 2

( ) ( 1)

f

f x f x x x







HD: Vì f(0) = 0  f x( )ax3bx2cx (1)

f x a x b x c x

        = ax33ax23ax a bx  22bx b cx c  

= ax3(3a b x ) 2(3a2b c x )  (a b c  ) (2)

Từ (1), (2) và giả thiết  f x( ) f x(   1) (b 3a b x ) 2(2b3 )a x (a b c  ) x2

Đồng nhất hệ số tìm được:

( )

x x x

f x   

Cách khác :

1

1

9

a

b

 







C HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Dạng: Tìm hai hàm f(x) và g(x) biết:





Khử f hoặc g để đưa về dạng 2 hoặc dạng 1 f x( ) và g(x)

Ví dụ : Khử f :

Trong (1) đặt t = u(x) thì x u t 1( ) nên (1) thành

af( )t bg v u t ( ( ))  r u t  ( ) (3)

Trong (2) cũng đặt t = p(x) thì x  p t1( ) nên (2) thành

cf t  dg q p t    s p t  

Từ (3) và (4) khử f(t )

Ví dụ 1: Tìm hai hàm f(x) và g(x) sao cho:

2

( 1) ( 1) 2 ( 1) 11 (1)

2

xf x g x x x

x x





Hướng dẫn giải Đặt t = x + 1  x = t – 1 và do đó (1) trở thành:

( 1) ( )t f t  g t( )  2( 1)t t 11  ( 1) ( )t f t  g t( )  2t2  2t 11 (3)

Lại đặt t 1 x 1

   do đó (2) trở thành:

2

2 10 2

1

t t

t

 

Cộng (3) và(4) theo từng vế ta được: (2 1) ( ) (2 1)t f t  t 2

Suy ra f(t) = 2t – 1 với 2t – 1 0 1

2

t

   Vậy f(x) = 2x – 1 1

2

x



Mặt khác thay f(t) = 2t – 1 vào (4) ta được:

Vậy g(x) = x + 10

Bài tập: Tìm các hàm f(x) và g(x), biết:

1

2 ,

2

a

x





Hướng dẫn giải

Đặt u = x + 6  x = u – 6

Thay x = u – 6 vào (1) ta có : ( ) 2 (2 3) 4 (3)

2

u

f u  g u  

2

x

t    x t

Thay x = 2t – 2 vào (2) , ta có: f(t) + g(2t+3) = 2t + 2 (4)

Đổi u và t thành x, ta có:

x



 



Giải hệ ta được ( ) 7 12

2

x

f x   và (2 3) 3 8

2

x

g x  

Đặt y = 2x + 3 3

2

y

 

Thay vào biểu thức của g ta được:

g y    g x   

Tóm lại ta đã tìm được f(x) và g(x) như sau:

7 12 ( )

4

( )

4

x

f x

x

g x





 



b)

1

x





Đặt u = 2x – 1 1

2

u

x 

 

1 – x = 1 1 1

u u

f u g    f x g   

Từ (1),(2)

( ) 1

2

x



Thay vào (1) ta có : 1 3 3

g     x 

        g t( )   1 t g x( )  1 x

Bài 3

Tìm ( xác định) h/số f(x) thỏa: f x y(  ) f x f y( ) ( )  2002x y với mọi x, y R (*)

Hướng dẫn giải

Thay x = 0 , y= 0 vào (*) ta có : f(0) f(0)2 20020 1 (1)

Với f(0) f(0)2  0 f(0) 1 (2)

Từ (1), (2) f(0) 1

Thay y = – x vào (*) f(0) f x f x( ) ( )  20020 1  f x f x( ) ( ) 1  (3)

Lại cho y = 0  f x( )  f x( ) 2002 (4) x

( ) 2002

x x

f x

Từ (4) và (6) ta suy ra : f x ( ) 2002x Đảo lại xem h/số f x ( ) 2002x

Ta nhận thấy f(x) thỏa yêu cầu của bài toán

Vậy f x ( ) 2002x

BÀI TẬP NÂNG CAO Bài 1: Tìm hàm số y = f(x) biết rằng:

f(x.y) + f(x – y) + f(x + y + 1) = x.y + 2x +1 x y R, 

Hướng dẫn giải

Xét pt : f(x.y) + f(x – y) + f(x + y + 1) = x.y + 2x +1 (1)

Từ (1) cho y = – 1 , y = 0 ta được:

Từ (2), (3)  f x( )  f(0)  x

Đặt t = – x  f t( ) f(0) t f t( ) t f(0) 0

Đặt g(t) = f(t) – t ta có g(t) = f(0) – 0 = g(0) t

Để tính g(0) ta viết (1) dưới dạng

Lấy x = y = 0 2 (0)g g(1) 0

Do g(t) = g(0) t

Do đó : f t( )  t 0  t f x( )  x x

Bài 2:

Cho hàm f(x) với biến số thực x, không đồng nhất 0 thỏa pt:

f(x).f(y) = f(x – y) x y, (*)

Tìm f(x)

Hướng dẫn giải

Cho x = a với f a ( ) 0 ta có : (*) f a f y( ) ( )  f a y(  ) (1)

a tồn tại vì f(x) không đồng nhất 0

Thay y = 0 ta có : (1) f a f( ) (0)  f a( )  f(0) 1

Thay y = x từ (*)  f x( )2  f(0) 1 (2)

f x f   f   f x  f 

Từ (2) và (3)

2

( ) 1

0 2

f x

x f

  



  

  



Vậy f(x) = 1 x

Bài 3: Tìm hàm số f(x) nếu:

2

f x y f x y f x y x y

f f 



 

 



Hướng dẫn giải

Trong (1) cho x = 0 , y = t ta có: f t( )  f t( ) 2 cost (2)

Trong (1) cho x = ,

2 t y 2

  

ta có: f(   t) f t( ) 0 (3)

Trong (1) cho ,

x y  t ta có: f(  t)  f t( )  2sint (4) Cộng (2) với (3) ta được: f(   t) 2 ( )f t  f t( )  2 cost (5)

Lấy (5) trừ (4) ta được : 2 ( ) 2(cosf t  tsin )t  f t( )  cost sint (6)

Rõ ràng (6) thỏa mãn (1) và (0) 1

2

f f    

 

Vậy hàm cần tìm là: f x( ) cos xsinx

Bài 4: Cho hàm số f(x) liên tục trên R thỏa điều kiện

f x  f x  x R Tìm hàm số f(x)

Hướng dẫn giải

Theo đề bài suy ra: ( ) 2

f x  f     f    f 

Khi n   thì 0

2n

x 

Mà f(x) là hàm liên tục nên (0)

2n

x

f  f khi n 

 

Tức là : lim ( ) lim (0)

2n

x

 

Điều đó chứng tỏ f(x) không đổi với mọi x hay f(x) = c = hằng số

Thử lại ta được f(x) = c thỏa điều kiện đề bài

Bài 5: Tìm hàm f(x) biết 3 ( ) 1 82 8 (1)

1

x

f x f

x x

  



  Hướng dẫn giải

Đặt

2

2

8 8

u

u



2

1

u u



 

Hay 3 1 ( ) 8(1 2) (2) 0

1

x x

 

Như thế f(x) và f 1

x

 

 

  là nghiệm của hệ:

2

2

1

x





Giải hệ (1) và (2) bằng cách khử f 1

x

 

 

1

x



Bài 6: Cho hàm số f(x) xác định trên R và bị chặn trong ( ; )a a với a là số dương cho trước và

x

f x  f   x x R

 

Hãy tìm hàm số f(x)

Hướng dẫn giải

x

f   x

  

 

f   f 

f  f  

2n 2n 2n 2n 2 n

f   f  

Cộng các đẳng thức trên vế theo vế ta được:

x

f x   f     x    

Với bất kỳ x nào, ta chỉ cần chọn n đủ lớn , ta sẽ có: 1

2n

x

Mặt khác vì f(x) bị chặn trong khoảng ( ; )a a nên tồn tại số c sao cho 1

2n

x

f     c x

Từ (2) ta cho n   thì ta được : ( ) . 1 4

1 4



Vậy ( ) 4

3

f x  x Thử lại thấy hàm số này thỏa yêu cầu đề bài

Bài 7: Tìm các hàm số f xác định và đồng biến trên R thỏa hệ thức sau:

4

f f y  x x y 

Hướng dẫn giải

4

x  y vào (1) ta có : 1 ( ) 1 1

f f y  y

Thay x = y =0 1 (0) 1

4

f  f 

Từ (2) và (3) 1 ( ) 1 1 (0)

f  f y y f  f 

Do f đồng biến trên R nên

4 f y 2y 4 f y R

Do đó f y( ) 2 y f (0)  y R (5)

Thay x = 1 ( )

8 f y

 vào (1) ta được:

y f y

Từ (5) f(0) = f(y) – 2y (7)

Từ (6) , (7) ( ) 2 2 2 ( ) ( ) 2 2

y f y

Thử lại thấy f(x) = 2x + 2

3 thỏa yêu cầu đề ra

Bài 8: Tìm hàm số y = f(x) thỏa điều kiện

1 2 ( ) '( )

( ) (0) 1

x

f x f









Giải

Từ ( ) '( ) 1 2

( )

x

f x



( ) 3 ( ) '( )

2

3

Vậy f x( )  33x3x21

Bài 9: Hãy tìm hàm số y = f(x) biết rằng

'







Giải

'

1 1

1 '( )

c

f x

x x

Do f’(1) = 1  1

1

2

x



Vậy ( ) 1 12 1

4

f x

Bài 10:

Cho P(x) là một đa thức bậc n thỏa mản điều P(x)  0 x

CMR: P(x) + P’(x) + P”(x) + + P(n)(x)  0 x

Giải

Do P(x)  0 x vậy nếu gọi P(x) = anxn+ an – 1xn – 1 + + a1x + ao thì n là số chẵn và an> 0 Xét hàm số : F(x) = P(x) + P’(x) + P”(x) + + P(n)(x) Khi đó F(x) cũng là một đa thức bấc n,

với hệ số của xncũng chính là an

Do F(x) là hàm liên tục và an> 0 n chẵn, nên F(x) phải đạt giá trị bé nhất

Giả sử minF(x) = F(xo) khi đó ta có F’(xo) = 0

Do P(n + 1)(x)  0  F’(x) = P’(x) + P”(x) + + P(n)

(x)

 F’(x) = F(x) – P(x)

Như vậy từ F’(xo) = 0  F(xo) = P(xo)

Do P(x)  0 x  F(xo) = P(xo)  0

Hiển nhiên ta có F(x)  F(xo) x  F(x)  0 x  đfcm

ĐỀ HỌC SINH GIỎI CÁC NĂM TRƯỚC

Đề 1: ( 2008)

Cho hàm số f : R  R thỏa mãn 3 tính chất sau:

1 f(1) = 1

2 f( x + y ) – f(x) – f(y) = 2xy

3 f(1

x) = 4

Tính f 2008

Giải

Từ tính chất 2 cho x = 0  f(y) – f(0) – f(y) = 0  f(0) = 0 (1)

Đặt x = y = 2t ta được : f(t) – 2f( 2t ) =

2

2

t t

(2)

Tương tự đặt x = y =1

t ( t 0) ta được : 2

Theo tính chất 3 ta suy ra 1 24 2 24

 

2

t f

f

t t t

 

 

 

 

 

 

2

t f

t

t

 

 

 

 

 

 

 

2

2

16

2

t f

 

 

 

Từ (2) và (3) ta có hệ

2

2

( ) 2 ( )

2

t









2

2

8 ( ) 4 ( ) 2 2

8 ( ) ( ) 2

t

t

f f t t





 



Thử lại hàm số nầy thỏa mãn cả ba tính chất

Vậy f 2008  2008

Đề 2:

Cho tam thức bậc hai f(x) = x2+ px + q với p, q là các số nguyên

CMR Tồn tại số nguyên K để

f (K) = f( 2009 ) f( 2010 )

Giải

Ta chứng minh: f [ f(x) + x ] = f(x) f( x + 1)

Thật vậy :

f [ f(x) + x ] = [ f(x) + x ]2 + p [ f(x) + x ] + q

= f2(x) + 2f(x).x + x2+ p.f(x) + p(x) + q

= f(x) [ f(x) + 2x + p ] + x2+ px + q

= f(x) [ f(x) + 2x + p ] + f(x)

= f(x) [ f(x) + 2x + p + 1 ]

= f(x) [ x2+px + q +2x + p + 1 ]

= f(x) [ (x +1)2 + p(x + 1) + q ]

= f(x) f(x + 1)

Vậy f [ f(x) + x ] = f(x) f(x + 1) Với x = 2009 đặt K = f (2009) + 2009 ( K )

Thế thì:

f ( K ) = f [ f( 2009) + 2009 ] = f ( 2009).f ( 2009 + 1)

= f ( 2009).f ( 2010) Vậy số K cần tìm là K = f ( 2009) + 2009

Hết