Rèn luyện tư duy thông qua giải toán phương trình hàm cho học sinh khá, giỏi toán trung học phổ thông

Công tác bồi dưỡng học sinh khá, giỏi Toán THPT về chuyên đề “Phương trình hàm”……… Chương 2: PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN “PHƯƠNG TRÌNH HÀM” VÀ VIỆC RÈN LUYỆN TƯ DUY CHO HỌC SINH KH

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

PHÙNG VĂN ĐOÀN

RÈN LUYỆN TƯ DUY THÔNG QUA DẠY HỌC GIẢI TOÁN

“PHƯƠNG TRÌNH HÀM” CHO HỌC SINH KHÁ, GIỎI TOÁN

TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HỌC

CHUYÊN NGHÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC

(BỘ MÔN TOÁN)

Mã số: 60 14 10

Người hướng dẫn khoa học: TS Phạm Văn Quốc

HÀ NỘI – 2011

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài………

2 Mục tiêu nghiên cứu………

3 Đối tượng và khách thể nghiên cứu………

4 Vấn đề nghiên cứu………

5 Giả thuyết khoa học………

6 Phương pháp nghiên cứu………

7 Phạm vi nghiên cứu………

8 Một số nét mới của đề tài………

9 Cấu trúc luận văn………

Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN………

1.1 Lịch sử vấn đề nghiên cứu………

1.2 Tư duy và vai trò của dạy học chuyên đề “Phương trình hàm” cho học sinh khá, giỏi Toán THPT………

1.2.1 Khái niệm tư duy………

1.2.2 Một số đặc điểm cơ bản của tư duy………

1.2.3 Tư duy Toán học………

1.2.4 Dạy học giải toán “Phương trình hàm”………

1.2.5 Công tác bồi dưỡng học sinh khá, giỏi Toán THPT về chuyên đề “Phương trình hàm”………

Chương 2: PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN “PHƯƠNG TRÌNH HÀM” VÀ VIỆC RÈN LUYỆN TƯ DUY CHO HỌC SINH KHÁ, GIỎI TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG…………

2.1 Một số kiến thức cơ bản về hàm số………

2.1.1 Hàm số………

2.1.2 Đặc trưng của một số hàm số trong chương trình Toán THPT………

2.1.3 Khái niệm về “Phương trình hàm”………

2

2.2 Phương pháp giải một số dạng “Phương trình hàm”………

2.2.1 Phương pháp đưa về hệ phương trình………

2.2.2 Phương pháp đưa về phương trình “Sai phân cấp 2”………

2.2.3 Phương pháp sử dụng giới hạn và tính liên tục của hàm số…………

2.2.4 Phương pháp Quy nạp Toán học………

2.2.5 Phương pháp thế biến………

2.2.6 Phương pháp sử dụng phương trình hàm Cauchy………

2.2.7 Phương pháp sử dụng tính đơn điệu , cộng tính và nhân tính của hàm số, tính đối xứng giữa các biến………

2.3 Rèn luyện một số phẩm chất tư duy thông qua một số bài toán ………

2.3.1 Rèn luyện tư duy “Khái quát hóa” và “Đặc biệt hóa” thông qua một số bài toán………

2.3.2 Tiếp cận giải bài toán “Phương trình hàm” theo nhiều cách…………

2.3.3 Nhận dạng các hằng đẳng thức qua các “Phương trình hàm”………

Chương 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM………

3.1 Mục đích và nhiệm vụ thực nghiệm………

3.1.1 Mục đích thực nghiệm………

3.1.2 Nhiệm vụ thực nghiệm………

3.2 Tổ chức thực nghiệm………

3.2.1 Đề kiểm tra lần 1………

3.2.2 Đề kiểm tra lần 2………

3.2.3 Bài tập làm ở nhà………

3.3 Kết quả các lần kiểm tra và một số nhận xét sau thực nghiệm…………

KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ………

TÀI LIỆU THAM KHẢO………

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Luật giáo dục của Việt Nam nêu rõ “ Phương pháp giáo dục phổ thông phảiphát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của học sinh, phù hợp vớiđặc điểm của từng lớp học, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vậndụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú họctập của học sinh” ( Điều 24, chương I của luật giáo dục năm 2005 )

Trong thời đại khoa học công nghệ phát triển mạnh mẽ, hội nhập đã trở thành

xu thế tất yếu thì yêu cầu của xã hội đối với con người càng ngày càng cao Do đóviệc phát triển giáo dục không chỉ nhằm “nâng cao dân trí” mà còn phải “đào tạonhân lực, bồi dưỡng nhân tài” Kiến thức thì lại mênh mông, sau khi học xong cóthể nhiều kiến thức mà con người được học sẽ bị quên đi, nhưng cái còn lại lâu dài

ở trong mỗi người sau khi học đó là tư duy được thể hiện trong xã hội, cuộc sốnghàng ngày như giao tiếp ứng xử, giải quyết vấn đề …

Việc dạy học ngày nay về cơ bản là để đạt được mục tiêu hình thành và pháttriển năng lực tư duy, trí tuệ của học sinh Để phát triển được tư duy học sinh,chúng ta phải đầu tư thời gian cho các chương trình rèn luyện kỹ năng phát triển tưduy, phải có ý thức thường xuyên khuyến khích và giúp đỡ học sinh thông qua việcdạy học nhằm nâng cao trình độ và năng lực tư duy phù hợp với khả năng và tâmsinh lí của học sinh

Qua quá trình đổi mới phương pháp dạy học của toàn ngành giáo dục nước tahiện nay, mặc dù vai trò của người học được nâng cao, giáo dục đòi hỏi người họcphải là cá nhân tích cực, chủ động, sáng tạo trong quá trình dạy và học nhưng vai trò vànhiệm vụ của người thầy không hề bị mờ nhạt mà còn được coi trọng hơn và đòi hỏicao và khắt khe nhiều hơn trước đây Muốn phát triển năng lực tư duy của học sinh,giáo viên không chỉ dạy theo chuẩn kiến thức mà còn phải mở rộng, nâng cao cho họcsinh tiếp cận với các vấn đề khoa học theo nhiều khía cạnh khác nhau, đặt ra nhiều tìnhhuống có vấn đề đòi hỏi học sinh phải tư duy để giải quyết Khi học sinh đã học đượccách giải quyết các vấn đề khoa học thì giáo viên lại yêu cầu giải quyết nhanh hơn,thậm chí giải quyết theo nhiều phương án khác nhau Làm

như vậy không chỉ đơn thuần để nâng cao hiệu quả dạy học, vượt qua các kì thi màcòn để phát triển năng lực tư duy, từ đó học sinh có thể xử lý tốt những vấn đề phứctạp, luôn luôn thay đổi mà cuộc sống hiện đại đặt ra sau này.

Trong chương trình Toán học THPT hiện nay, hàm số là một khái niệm rất cơbản và quan trọng, có nhiều ứng dụng trong thực tế, dùng để mô tả các mối liên hệgiữa các đối tượng, thuộc tính thay đổi với nhau Trong nội dung hàm số ở chươngtrình Toán THPT có nhiều vấn đề thường gặp khi dạy học và bồi dưỡng học sinhnhư xây dựng hay thiết lập các hàm số sơ cấp theo một quy tắc nào đó, bài toán nàycòn được gọi là “Các bài toán về Phương trình hàm” , nghiên cứu khảo sát tính chấtcủa một số hàm số thường gặp, dựng đồ thị của chúng, xem xét việc ứng dụng củahàm số để giải quyết một số dạng toán như giải phương trình, bất phương trình…Trong những vấn đề đó của hàm số thì “ Phương trình hàm” là vấn đề hấp dẫn tuynhiên lại rất khó cho cả người dạy lẫn người học, chính vì vậy chúng thường cómặt trong các kì thi học sinh giỏi Toán cấp Tỉnh, Thành phố, Quốc gia, Khu vực vàQuốc tế

Hệ thống các bài tập về “ Phương trình hàm” rất đa dạng và phong phú,cách giải chúng cũng không đơn giản có thể bằng một phương pháp hay phải kếthợp nhiều phương pháp mới giải được, vì vậy khi bồi dưỡng cho học sinh khá, giỏi

về vấn đề này sẽ rèn luyện, phát triển tư duy linh hoạt, sáng tạo cho người học vànâng cao được chất lượng giáo dục

Hiện nay, việc dạy học giải bài tập “ Phương trình hàm” để rèn luyện tư duy,phát triển trí tuệ cho học sinh còn ít, mới chỉ chú trọng trong công tác ôn luyện, bồidưỡng đội tuyển thi học sinh giỏi của các trường THPT chuyên trên cả nước Vìvậy đối với các học sinh khá, giỏi Toán ở các trường THPT, các học sinh ở cáctrường THPT chuyên không nằm trong đội tuyển thì hầu như không có cơ hội đượchọc chuyên đề “Phương trình hàm” để rèn luyện tư duy, phát triển trí tuệ

Với mong muốn xây dựng được một số dạng bài tập và phương pháp giải “Phương trình hàm” để rèn luyện tư duy cho học sinh THPT qua việc dạy học theo

chuyên đề bồi dưỡng học sinh khá, giỏi toán THPT, chúng tôi chọn đề tài “Rèn

3

luyện tư duy thông qua dạy học giải toán “ Phương trình hàm” cho học sinh khá, giỏi Toán Trung học Phổ thông” làm đề tài để nghiên cứu.

2 Mục tiêu nghiên cứu

Hệ thống các bài tập phương trình hàm trong các tài liệu chuyên khảo mônToán, trong các diễn đàn toán học, các đề thi học sinh giỏi Toán ở các địa phương,Quốc gia và Quốc tế, để từ đó xem xét phân loại và nghiên cứu phương pháp giảichúng Qua đó có thể đưa ra được một số dạng bài tập phương trình hàm có thểkhai thác để rèn luyện các thao tác và các kĩ năng tư duy cho học sinh

Với mục tiêu trên hy vọng đề tài sẽ đóng góp một phần nhỏ vào việc nângcao chất lượng dạy học Toán THPT nói chung và công tác bồi dưỡng học sinh giỏinói riêng

3 Đối tượng và khách thể nghiên cứu

3.1 Đối tượng nghiên cứu

Việc khai thác sử dụng bài tập “Phương trình hàm” để rèn luyện tư duy chohọc sinh THPT

- Các bài toán, dạng toán “Phương trình hàm” được khai thác để rèn luyện

tư duy cho học sinh khá, giỏi Toán THPT như thế nào?

5 Giả thuyết khoa học

Qua việc dạy học giải một số dạng toán “Phương trình hàm” có thể rèn luyệnđược cho học sinh một số phẩm chất, năng lực tư duy Toán học, qua đó góp phầnnâng cao được chất lượng dạy và học Toán mang tính chiều sâu ở các trườngTHPT hiện nay

6 Phương pháp nghiên cứu

6.1 Nghiên cứu lí luận

Nghiên cứu cơ sở lí luận về tư duy trong các tài liệu tâm lý học, giáo dụchọc, lý luận dạy học môn Toán.

Nghiên cứu các tài liệu về giải tích, các tài liệu viết về hàm số và phươngtrình hàm

Nghiên cứu các đề thi học sinh giỏi Toán ở các địa phương, cấp Quốc gia, vôđịch Toán các nước trên thế giới, vô địch Toán các khu vực và vùng lãnh thổ, vôđịch Toán quốc tế

Nghiên cứu vấn đề “Phương trình hàm” trên các diễn đàn toán học hiện nay

6.2 Nghiên cứu thực tiễn

Tìm hiểu một số dạng bài tập “Phương trình hàm” qua một số giáo viên cókinh nghiệm trong việc bồi dưỡng học sinh chuyên Toán ở một số trường THPTchuyên

Đánh giá sự rèn luyện, phát triển tư duy của học sinh thông qua thực nghiệm

sư phạm tại trường THPT Ngô Quyền – Ba Vì thuộc thành phố Hà Nội

7 Phạm vi nghiên cứu

Bài tập “Phương trình hàm” và một số phương pháp giải “Phương trìnhhàm” thường dùng

8 Một số nét mới của đề tài

Tuyển chọn được phương pháp giải một số dạng “Phương trình hàm” để cóthể dùng để dạy học bồi dưỡng học sinh khá, giỏi toán THPT

Khai thác được một số bài tập “Phương trình hàm” để rèn luyện một sốphẩm chất tư duy cho học sinh khá, giỏi Toán THPT

9 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung chính của luậnvăn được trình bày trong 3 chương

Chương 1 : Cơ sở lý luận và thực tiễn.

Chương 2 : Phương pháp giải một số dạng “Phương trình hàm” và việc rèn

luyện tư duy cho học sinh khá, giỏi Toán Trung học Phổ thông

Chương 3 : Thực nghiệm sư phạm.

5

CHƯƠNG 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Lịch sử vấn đề nghiên cứu

Từ trước đến nay cũng đã có một số tác giả nghiên cứu về vấn đề phát triển

tư duy thông qua dạy học ở một số chủ đề thuộc môn toán THPT, và cũng có tác giảnghiên cứu “Phương trình hàm” qua luận văn thạc sĩ đã bảo vệ tại hội đồng chấmluận văn trường Đại học Giáo dục, Đại học Quốc gia Hà Nội như :

Nguyễn Hoàng Cương với đề tài “Phát triển năng lực tư duy sáng tạo cho

học sinh chuyên toán thông qua giảng dạy chuyên đề “phép biến hình trong mặt phẳng”.

Tô Thị Linh với đề tài “Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh khá giỏi

trong dạy học phương trình, bất phương trình chứa căn thức ở trường THPT”.

Phạm Thị Thảo với đề tài “Phát hiện và bồi dưỡng học sinh năng khiếu

qua việc giảng dạy phương trình hàm”.

Và còn nhiều tác giả khác cũng nghiên cứu về vấn đề tư duy qua dạy học.Nhưng vấn đề rèn luyện tư duy qua việc dạy học chuyên đề “Phương trình hàm” thìhầu như chưa có tác giả nào đề cập và nghiên cứu đến Chuyên đề “Phương trìnhhàm” rất hay, lại có nhiều dạng toán đòi hỏi người học phải có kiến thức chuyên sâu,phải tư duy nhiều mới giải quyết được Vì vậy qua việc dạy học chuyên đề “Phươngtrình hàm” sẽ giúp ích một phần nhỏ vào việc rèn luyện tư duy cho học sinh để nângcao chất lượng giáo dục, nên tác giả đã chọn đề tài này để nghiên cứu

1.2 Tư duy và vai trò của dạy học chuyên đề “Phương trình hàm” trong việc rèn luyện tư duy cho học sinh khá, giỏi Toán THPT

1.2.1 Khái niệm tư duy

Tư duy là quá trình nhận thức phản ánh những thuộc tính bản chất, nhữngmối quan hệ có tính quy luật của sự vật và hiện tượng trong hiện thực khách quan.( Dựa theo [4] )

Tư duy là một quá trình tâm lý liên quan chặt chẽ với ngôn ngữ - quá trìnhtìm tòi sáng tạo cái chính yếu, quá trình phản ánh một cách từng phần hay khái quát

thực tế trong khi phân tích và tổng hợp nó Tư duy sinh ra trên cơ sở hoạt động thựctiễn, từ nhận thức cảm tính và vượt xa giới hạn của nó.

( Dựa theo [17] )

1.2.2 Một số đặc điểm cơ bản của tư duy

Tư duy chỉ nảy sinh khi gặp hoàn cảnh có vấn đề, tư duy có tính khái quát,

tư duy có tính gián tiếp;

Tư duy của con người có quan hệ mật thiết với ngôn ngữ: tư duy và ngônngữ có quan hệ chặt chẽ với nhau, không tách rời nhau, nhưng cũng không đồngnhất với nhau Sự thống nhất giữ tư duy và ngôn ngữ thể hiện rõ ở khâu biểu đạt kếtquả của quá trình tư duy;

Tư duy có quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính, tư duy thường bắt đầu

từ nhận thức cảm tính, dù tư duy có khái quát và trừu tượng đến đâu thì nội dungcủa tư duy vẫn chứa đựng những thành phần cảm tính (cảm giác, tri giác, biểutượng trực quan,…) X L Rubinstein khẳng định rằng: “Nội dung cảm tính bao giờcũng có trong trừu tượng, tựa hồ như làm thành chỗ dựa cho tư duy”

( Dựa theo [3] )

1.2.3 Tư duy Toán học

Chưa có một định nghĩa thống nhất giữa các nhà khoa học thế nào là tư duyToán học Cách sử dụng thuật ngữ để đặt tên cho các loại hình tư duy là chưa thốngnhất, và cũng khó mà thống nhất Một loại hình tư duy nào đó theo cách hiểu củatác giả này có thể không đồng nhất với loại hình tư duy ấy theo cách hiểu của tácgiả kia, và cũng không phân biệt hoàn toàn với loại hình tư duy có tên gọi khác

Tuy nhiên, cho dù có những quan niệm khác nhau về thuật ngữ, cũng nhưviệc phân chia các thành tố của tư duy Toán học hay năng lực tư duy toán, thì cácnhà khoa học đều thống nhất trong vai trò quan trọng của việc giáo dục tư duy Toánhọc cho học sinh, tác động nâng cao chất lượng dạy học môn Toán Có thể nêu ramột số loại hình và thao tác tư duy Toán học dưới đây:

1.2.3.1 Các loại hình tư duy Toán học

7

Tư duy hàm là suy nghĩ để nhận thức, giải quyết vấn đề trong tương quan khi

một đối tượng này thay đổi kéo theo đối tượng khác thay đổi

Tư duy lôgic là suy nghĩ để nhận thức, giải quyết vấn đề theo các quy tắc suy

Tư duy sáng tạo là suy nghĩ nhận thức theo một phương diện mới, giải quyết

vấn đề theo cách mới, vận dụng trong hoàn cảnh mới

Tư duy biện chứng là xem xét sự vật và hiện tượng trong mối quan hệ biện

chứng, có tính quy luật, trong quan điểm toàn diện, vận động và phát triển theonhiều quan điểm khác nhau

( Dựa theo [14] )

1.2.3.2 Các thao tác tư duy Toán học

Phán đoán : Dựa vào điều đã biết, đã thấy để suy xét rút ra nhận định về điều

chưa biết, chưa xảy ra

Phân tích và tổng hợp : Theo từ điển tiếng Việt thì Phân tích là phân chia thật

sự hay bằng tưởng tượng một đối tượng nhận thức ra thành các yếu tố; trái vớitổng hợp Tổng hợp là tổ hợp bằng tưởng tượng hay thật sự các yếu tố riêng rẽ nào

đó làm thành một chỉnh thể; trái với phân tích Còn theo Triết học thì Phân tích làphương pháp phân chia cái toàn thể thành ra từng bộ phận, từng mặt, từng yếu tố đểnghiên cứu và hiểu được các bộ phận, mặt, yếu tố đó Tổng hợp là phương phápdựa vào sự phân tích và liên kết, thống nhất các bộ phận, mặt, yếu tố lại để nhậnthức được cái toàn thể

Trong hoạt động giải toán, trước hết phải quan sát một cách tổng hợp để nhậndạng bài toán thuộc loại gì cần huy động những kiến thức nào, sau đó phân tích cái đãcho và cái phải tìm, hoặc phân tích ra nhiều bài toán nhỏ, phân tích các mối liên hệ giữacác yếu tố để tìm lời giải Thông thường khi tìm tòi lời giải, ta dùng phương pháp

phân tích nhiều hơn, nhưng khi trình bày lời giải, ta dùng phương pháp tổng hợpcho gọn Các kiến thức trong sách giáo khoa thường được trình bày theo phươngpháp tổng hợp cho cô đọng, súc tích Khi dạy học toán, giáo viên nên có những câuhỏi dẫn dắt phân tích để rèn luyện kỹ năng phân tích cho học sinh Rèn luyện nănglực phân tích và tổng hợp cho học sinh có vai trò quan trọng Khi có năng lực này,học sinh sẽ nhìn nhận bài toán một cách có hệ thống, biết phán đoán, biết suy luận

để tìm lời giải cho bài toán cụ thể hay một hệ thống các bài toàn nào đó

So sánh : Thao tác này nhằm phát hiện những đặc điểm chung và sự khác

nhau của một số đối tượng So sánh thường dẫn đến tương tự, khái quát hóa

Tương tự : Là thao tác tư duy dựa trên sự giống nhau về tính chất và quan hệ

của những đối tượng khác nhau ( Hai phép chứng minh là tương tự nhau nếuđường lối và phương pháp chứng minh giống nhau )

Khái quát hóa và đặc biệt hóa : Khái quát hóa là suy luận chuyển từ khảo sát

một tập hợp đối tượng (khái niệm, tính chất,…) này sang tập hợp khác rộng hơnchúa tập hợp ban đầu làm tập con bằng cách nêu bật một số đặc điểm chung của cácphần tử trong tập hợp xuất phát, hay mở rộng khái niệm, tính chất ngay trên tập hợp

đã xét Khái quát hóa trong Toán học thường được thể hiện ở các mặt:

Khái quát các quan hệ Toán học (thứ tự, bằng nhau, tương đương, hàm số,

vị trí, cùng cấu trúc, …);

Khái quát đặc điểm của các vấn đề toán học: Khái quát một cách khoa họcđặc điểm của vấn đề làm cho ta nhận thức nhiều vấn đề bề ngoài có vẻ khác nhau,nhưng bản chất là giống nhau, tức là thống nhất được các vấn đề, ta đã nhận thứcđược tính đồng nhất của các vấn đề Phương pháp này giúp người học giảm nhẹgánh nặng về trí nhớ, nâng cao hiệu quả tư duy, hiểu rõ được vấn đề chính xác, dễdàng hơn, giúp học sinh phát triển được năng lực phát hiện vấn đề và giải quyết vấnđề

Khái quát hướng suy nghĩ và phương pháp giải quyết vấn đề: Sự khái quát đặcđiểm nói trên là vô cùng quan trọng, nhưng sự khái quát hướng suy nghĩ và phương phápgiải quyết vấn đề còn quan trọng hơn Bởi, đây là tri thức phương pháp mà giáo viên đượccần được trang bị để hướng dẫn học sinh Từ hướng suy nghĩ và cách giải quyết

9

vấn đề này mà ta có thể dùng để chỉ đạo giải quyết một loạt các vấn đề cùng loạihay mở rộng hơn Vì thế sau khi dạy giải một bài toán cần chú ý khái quát hướngsuy nghĩ và cách giải cho học sinh.

Dùng hình thức khái quát để giải quyết vấn đề, mà cụ thể hơn là giải các bàitoán, là quá trình vận dụng những kết quả đã khái quát, những kiến thức chung vào đểgiải quyết các bài toán Bởi vì khái quát hóa và đặc biệt hóa là hai mặt đối lập của mộtquá trình tư duy thống nhất Quá trình giải bài toán tất nhiên theo lược đồ 4 bước củaPolya Nhưng việc giải bài tập toán có thể theo quy trình: trước hết phân tích các thànhphần của bài toán, khái quát nhanh những đặc điểm, liên tưởng nhanh bài toán giốngvới bài nào, nhận dạng bài toán Từ đó mở ra hướng suy nghĩ, tìm cách giải quyết

Đặc biệt hóa là ngược lại của khái quát hóa Trong quá trình dạy học Toán ởphổ thông học sinh cũng đã được tập luyện nhiều hoạt động đặc biệt hóa trong mộtmối quan hệ với hai hoạt động khác là: hoạt động phát hiện mối quan hệ chungriêng, hoạt động khái quát hóa Quan điểm: “Khai thác mối quan hệ giữa ba hoạtđộng trên, trong việc tập luyện cho học sinh khái quát hóa, không chỉ yêu cầu họ đi

từ riêng đến chung (khái quát hóa) mà còn đòi hỏi họ đi từ chung đến riêng (đặc biệthóa) và làm rõ mối quan hệ chung riêng giữa cái đạt được và cái xuất phát.” là đúngđắn

Đặc biệt hóa là áp dụng một kết quả trong trường hợp tổng quát vào một trườnghợp đặc biệt Tất nhiên là nếu kết quả đúng cho trường hợp tổng quát thì nó cũng phảiđúng cho trường hợp đặc biệt Suy diễn đó không có gì khó khăn và chúng ta vẫnthường làm khi áp dụng định lý tổng quát vào các bài toán cụ thể mà ta đang giải

Tuy nhiên, vai trò của đặc biệt hóa càng trở nên quan trọng trong trường hợp

ta đang có dự đoán nào đó về một đối tượng đang xét và ta đang muốn chứng minhrằng dự đoán đó đúng, nhưng ta chưa tìm cách chứng minh Trong trường hợp này

ta nên sử dụng “đặc biệt hóa”

Ta hãy áp dụng dự đoán vào một trường hợp đặc biệt, và nếu đối với trường hợpnày dự đoán là đúng thì dự đoán của ta đáng tin hơn Không những thế nếu ta có thể

chứng minh dự đoán trong trường hợp đó thì có thể hy vọng các chứng minh đó cóthể mở rộng cho trường hợp tổng quát Còn trái lại đối với trường hợp đặc biệtđang xét không đúng thì mọi chuyện sẽ kết thúc.

Trừu tượng hóa : Là gạt bỏ những dấu hiệu không bản chất để tìm ra dấu hiệu

bản chất(Việc phân biệt bản chất hay không bản chất chỉ mang tính tương đối)

( Dựa theo [7] )

1.2.4 Dạy học giải toán “ Phương trình hàm”

1.2.4.1 Vai trò của bài tập trong quá trình dạy học

Hình thành, củng cố tri thức, kĩ năng, kĩ xảo ở những giai đoạn khác nhaucủa quá trình dạy học, kể cả kĩ năng ứng dụng Toán học vào thực tiễn;

Phát triển năng lực trí tuệ : Rèn luyện những thao tác tư duy, hình thànhnhững phẩm chất trí tuệ;

Bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hình thành những phẩm chấtđạo đức của con người lao động mới

( Dựa theo [7] )

1.2.4.2 Phương pháp chung để giải Toán

Trên thực tế không có một thuật giải tổng quát để giải mọi bài toán Tuynhiên chúng ta có thể trang bị những hướng dẫn chung, gợi ý cách suy nghĩ tìm tòi,phát hiện cách giải bài toán lại là có thể và cần thiết trong quá trình dạy học

Dựa trên những tư tưởng tổng quát cùng với bản gợi ý chi tiết củaPolya(1975) về cách thức giải bài toán có thể nêu ra phương pháp chung để giảitoán như sau:

Bước 1( Tìm hiểu nội dung đề bài): Phát biểu đề bài dưới những dạng thức

khác nhau để hiểu rõ nội dung bài toán, phân biệt cái đã cho và cái phải tìm, phảichứng minh, có thể dùng công thức, kí hiệu, hình vẽ để hỗ trợ cho việc diễn tả đềbài

Bước 2(Tìm cách giải): Tìm tòi, phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có

tính chất tìm đoán: biến đổi cái đã cho, biến đổi cái phải tìm hay phải chứng minh,liên hệ cái đã cho hoặc cái phải tìm với những tri thức đã biết, liên hệ bài toán cần

11

giải với một bài toán cũ tương tự, một trường hợp riêng, một bài toán tổng quáthơn, hay một bài toán nào có liên quan, sử dụng những phương pháp đặc thù vớitừng dạng toán như chứng minh phản chứng, quy nạp toán học,…

Kiểm tra lời giải bằng cách xem xét lại kĩ từng bước thực hiện hoặc đặc biệthóa kết quả tìm được hoặc đối chiếu kết quả với một số tri thức có liên quan,…

Tìm tòi những cách giải khác, so sánh chúng để chọn được cách giải hợp línhất

Bước 3(Trình bày lời giải): Từ cách giải đã được phát hiện, sắp xếp các việc

phải làm thành một chương trình gồm các bước theo một trình tự thích hợp và thựchiện các bước đó

Bước 4(Nghiên cứu sâu lời giải): Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả

của lời giải

Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề

1.2.4.3 Tiềm năng của chuyên đề “Phương trình hàm” trong việc rèn luyện tư duy cho học sinh THPT

Chuyên đề “Phương trình hàm” có nhiều bài tập hay và đẹp cả về mặt thẩm

mĩ và Toán học, tuy rất khó đối với học sinh THPT nhưng đối với học sinh khá vàgiỏi Toán thì nếu được bồi dưỡng chuyên đề này thì tư duy của học sinh sẽ đượcrèn luyện và phát triển rất tốt vì các bài toán về phương trình hàm thể hiện đượcnhiều nét để học sinh có thể rèn luyện tương đối đầy đủ các thao tác tư duy Toánhọc, nó còn đòi hỏi học sinh phải tư duy rất cao Vì vậy việc bồi dưỡng chuyên đềnày cho học sinh khá, giỏi Toán là việc cần thiết và quan trọng trong quá trình giáodục ở các trường THPT hiện nay

1.2.5 Công tác bồi dưỡng học sinh khá, giỏi Toán THPT về chuyên đề “Phương trình hàm”

1.2.5.1 Khái niệm học sinh khá, giỏi Toán THPT

Học sinh khá, giỏi Toán THPT là những học sinh có khả năng về Toán và đạtthành tích cao trong học tập môn Toán Những học sinh có khả năng về Toán lànhững học sinh tiếp thu nhanh bài học, thành thạo biến đổi các biểu thức Toán học,

biết suy luận và lập luận trong chứng minh định lí hay bài toán, biết liên hệ các chủ

đề toán trong chương trình Toán THPT

1.2.5.2 Vai trò của công tác bồi dưỡng học sinh giỏi

Đảng ta quan niệm: “Hiền tài là nguyên khí của quốc gia” và rất coi trọngviệc bồi dưỡng nhân tài cho đất nước Bộ giáo dục và đào tạo có những chủ trươngmới về công tác bồi dưỡng học sinh giỏi Đó là tiếp tục chú trọng xây dựng hệthống các trường chuyên một cách hoàn thiện hơn, khuyến khích và tôn vinh cáchọc sinh đạt thành tích cao Chương trình giáo dục phổ thông được phân thành cácban giúp học sinh phát huy được năng khiếu của mình, nhà trường có thể vận dụngviệc dạy phân hóa vào bồi dưỡng học sinh giỏi Tổ chức các lớp bồi dưỡng họcsinh khá, giỏi học theo chương trình nâng cao và yêu cầu khắt khe hơn so với họcsinh bình thường

1.2.5.3 Thực trạng dạy học chuyên đề “Phương trình hàm”ở các trường THPT hiện nay

Hiện nay, chuyên đề “Phương trình hàm” chưa được đề cập nhiều trong cáctrường THPT Các học sinh chuyên Toán đã được tiếp cận và được học “Phươngtrình hàm” từ nhiều năm nay, còn các học sinh ở các trường phổ thông thì rất ít có

cơ hội tiếp cân và là lĩnh vực rất xa đối với họ, khi gặp phải thì rất bỡ ngỡ và gặpnhiều khó khăn để gải quyết đa số học sinh đều cảm thấy “Phương trình hàm” làlĩnh vực rất khó bởi một trong các lí do là: ít được rèn luyện, tài liệu tham khảo viết

về “Phương trình hàm” rất ít, các giáo viên không dạy chuyên không đầu tư nghiêncứu sâu về mảng này nên ngại dạy cho học sinh

Vì vậy chuyên đề “Phương trình hàm” là cũ trong Toán học sơ cấp nhưng lại

là vấn đề mới đối với hầu hết học sinh THPT hiện nay

13

CHƯƠNG 2 PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG “PHƯƠNG TRÌNH HÀM” VÀ VIỆC RÈN LUYỆN TƯ DUY CHO HỌC SINH KHÁ, GIỎI TOÁN TRUNG

HỌC PHỔ THÔNG 2.1 Một số kiến thức cơ bản về hàm số

2.1.1 Các định nghĩa và tính chất

2.1.1.1 Hàm số

Cho D và Y là hai tập hợp con của tập ¡ Một hàm số f :D®Y là một quy tắcsao cho mỗi phần tử x ÎD ứng với duy nhất phần tử yÎY

D được gọi là tập xác định của hàm số f , y được gọi là giá trị của hàm số

tại đối số xÎD và được kí hiệu là f ( x )

Tập hợp { f ( x ) x Î D} được gọi là tập giá trị của hàm số f

Điểm x 0 Î D được gọi là điểm bất động của hàm số f nếu f (x 0 ) = x 0

Các hàm số sơ cấp thường gặp trong chương trình Toán THPT là các hàmlũy thừa, hàm mũ, hàm lôgarit, hàm lượng giác và các hàm số được tạo bởi hữu hạncác phép toán số học (Cộng, trừ, nhân, chia), hoặc phép lấy hàm hợp của các hàm số

sơ cấp trên

2.1.1.2 Hàm số đơn ánh, toàn ánh, song ánh

Hàm số f:D® Y được gọi là đơn ánh nếu

Cho hai hàm số f :D®Y và g :Y ® ¡ Hàm hợp của hai hàm số f , g là

nếu nó liên tục trên khoảng (a ; b) và

Các hàm số sơ cấp trong chương trình Toán THPT liên tục trên từng khoảngxác định của nó

15

Hàm số f ( x ) điểm x Î (a ; b)

Hàm số f ' : (a ; b) ® ¡ đƣợc gọi là đạo hàm của hàm số f kí hiệu là f '( x )

Hàm số f ( x ) cho f (x ) ³ m với mọi xÎ

Hàm số f ( x ) đƣợc gọi là tăng thực sự (đồng biến) trên khoảng (a ; b) nếu

" x 1, x 2 Î (a ; b) mà x 1 < x 2 Þ f (x 1 ) < f (x2 )

Hàm số f (x ) đƣợc gọi là giảm thực sự (nghịch biến) trên khoảng (a ; b) nếu

" x 1, x 2 Î (a ; b) mà x 1 < x 2 Þ f (x 1 ) > f (x2 )

Hàm số tăng hay giảm thực sự trên (a ; b) đƣợc gọi là hàm số đơn điệu thực

sự trên(a ; b)

Một số tính chất của các hàm số đơn điệu

Mọi hàm đơn điệu thực sự trên khoảng (a ; b) đều là đơn ánh trên khoảng (a ; b)

Nếu f ( x ) và g( x ) là hai hàm tăng (giảm) thì f (x ) + g( x ) cũng là hàm tăng (giảm).

Nếu f ( x ) và g( x ) là hai hàm tăng và không âm thì f (x )g(x ) cũng là hàm tăng.

Nếu f ( x ) là hàm đơn điệu trên (a ; b) thì f ( f (x )) là hàm tăng.

Nếu f ( x ) là đơn ánh và liên tục trên khoảng (a ; b) thì nó đơn điệu thực sự trên

f ( x + y ) =

2.1.2.11 Hàm số hằng f (x ) = C

f (x ) = f (y) , " x , y Ρ

2.1.3 Khái niệm về “Phương trình hàm”

Cho D ,Y là hai tập con của tập các số thực ¡ Bài toán xác định tất cả các

hàm số f: D®Y thỏa mãn một số điều kiện về (đẳng thức, tính chất của hàm số,

18

tính chất của tập hợp, …) nào đó là bài toán quan trọng và thường gặp trong Giải tích

và được đặt tên cho lớp phương trình đặc biệt được gọi là “Phương trình hàm”

Phương trình hàm là phương trình đặc biệt mà ẩn là một (hoặc vài) hàm số Giải phương trình hàm là việc tìm tất cả các hàm số thỏa mãn phương trìnhhàm đã cho và một số điều kiện cho trước

2.2 Phương pháp giải một số dạng “Phương trình hàm”

2.2.1 Phương pháp đưa về hệ phương trình

Phương pháp đưa về hệ phương trình là một phương pháp thường được sửdụng cho việc giải các phương trình hàm có dạng

a (x ) f [u (x )] + b(x ) f [v (x )] = c(x ) , trong đó a (x ), b(x ), c(x ), u (x ), v(x) là các hàm số

cho trước, còn f là hàm số cần tìm thỏa mãn phương trình hàm trên.

Thông thường khi giải phương trình hàm dạng trên thì chúng ta thường dùngcác phép thế thích hợp để tạo ra các phương trình hàm khác có dạng tương tự Kết hợpphương trình hàm đã cho với các phương trình hàm vừa tạo ra sẽ được một hệ gồmnhiều phương trình hàm và từ hệ này ta có thể tìm ra được hàm số theo yêu

cầu Phương pháp làm như vậy được gọi là phương pháp đưa về hệ phương

trình Bài toán 1 (Việt Nam 2000) Tìm tất cả các hàm số f :¡ ® ¡ thỏa mãn

Lời giải Thay x

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình ì

Þ (x 2 - x - 1) f (x ) = (x 2 - x - 1)(1 - x 2 ) , " x Î ¡

Nếu x 2 - x - 1 ¹ 0 Û x ¹

19

x + 1

îï

20

Bài toán 3 (Putnam 1971) Tìm tất cả các hàm số f

Lời giải Thay x

f (x ) + f (

ï

ï

ï ï

g trình này ta đƣợc

Thử lại

ta thấy hàm sốtrên thỏa mãn bài toán

( " x Î

\ {0;1}

¡ \ {0;1} ).

21

Nhận xét 1: Trong các bài toán 1, 2 ta thấy các hàm số g( x ) = 1 - x; x 1 đều là hàm

lặp tuần hoàn chu kì 2 và ta chỉ cần thực hiện một phép thế, rồi kết hợp với phương

trình đã cho sẽ được hệ phương trình hàm có thể tìm ra được hàm số thỏa mãn bài toán.

22

Trong bài toán 3 ta thấy hàm số g( x ) = x - 1

là hàm lặp tuần hoàn chu kì 3 x

và ta cần thực hiện hai phép thế, rồi kết hợp với phương trình đã cho sẽ được hệ phương trình hàm có thể tìm ra được hàm số thỏa mãn bài toán.

là hàm lặp tuần hoàn chu kì 4 1 x

-và ta cần thực hiện ba phép thế, rồi kết hợp với phương trình đã cho sẽ được hệ phương trình hàm có thể tìm ra được hàm số thỏa mãn bài toán.

Từ đó chúng ta có thể đưa ra dạng phương trình hàm có thể đưa được về hệ phương trình hàm để giải như sau

a (x ) f (x ) + b(x ) f (g(x )) = c(x ) , " x Î D Trong đó a (x ), b(x ), c(x ), g(x) là các hàm số cho trước và g( x ) là một hàm lặp tuần hoàn chu kì k

Chúng ta có thể nêu ra phương pháp chung để giải dạng toán này như sau Bước 1: Xác định chu kì k của hàm lặp tuần hoàn g( x )

Bước 2: Thực hiên liên tiếp các phép thế x bởi g1 (x ) = g(x ) , g2 ( x ) , …, g k

-1( x ) vào phương trình đã cho ta được các phương trình hàm mới.

Bước 3: Kết hợp các phương trình mới thiết lập với phương trình đã cho ta

sẽ được hệ phương trình hàm k ẩn Giải hệ phương trình này ta sẽ tìm ra được hàm

số f ( x ) thỏa mãn bài toán.

Nếu ta thay x bởi một hàm số u ( x ) nào đó vào phương trình dạng 1 thì ta

có dạng phương trình hàm sau tổng quát và phức tạp hơn dạng 1

a (x ) f (u (x )) + b(x ) f (v (x )) = c(x ) , " x Î D Trong đó a (x ), b(x ), c(x ), u (x ), v( x) là các hàm số cho trước.

Chúng ta có thể nêu ra phương pháp chung để giải dạng toán này như sau:

Để giải được phương trình này ta phải đưa phương trình về dạng 1.

23

Trong phương trình này chưa có hàm nào là lặp tuần hoàn Để làm xuất hiện hàm lặp tuần hoàn ta thực hiện như sau: Ta chọn hàm số t ( x ) sao cho

24

3)(Gia Lai 2010) Tìm tất cả các hàm số f

f (x ) + xf (1 - x ) = x 2, " x Î ¡

25

26

2.2.2 Phương pháp đưa về phương trình “Sai phân cấp 2”

Phương trình “Sai phân cấp 2” là phương trình có dạng

au n+ 2 + bu n+ 1 + cu n = 0 , trong đó a , b, c là các hằng số cho trước (a¹0) và u nlà

số hạng tổng quát của một dãy số chưa được xác định với n Î ¥

Phương pháp đưa về phương trình “Sai phân cấp 2” được thể hiện như

sau Giả sử ta cần tìm tất cả các hàm số f : D ® ¡ thỏa mãn

af ( f (x )) + bf (x ) + cx = 0 , " x Î D

*

27