Khối đa diện đều và thể tích khối đa diện đều Một khối đa diện được gọi là khối đa diện đều loại {p; q} nếu: Mỗi mặt của nó là một đa giác đều p cạnh Mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung
Trang 11 Thể tích của khối đa diện
Thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h là V = Bh
Thể tích của khối chóp có diện tích đáy B và chiều cao h là 1
3
V = Bh.
2 Khối đa diện đều và thể tích khối đa diện đều
Một khối đa diện được gọi là khối đa diện đều loại {p; q} nếu:
Mỗi mặt của nó là một đa giác đều p cạnh
Mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của đúng q mặt
Có năm loại khối đa diện đều: loại {3; 3}, {4; 3}, {3; 4}, {5; 3}, {3; 5} Chúng lần lượt được gọi là khối tứ diện đều, khối lập phương, khối bát diện đều, khối mười hai mặt đều, khối hai mươi mặt đều
Bảng tóm tắt các yếu tố của khối tứ diện đều, khối lập phương và khối bát diện đều (quy ước cạnh của khối đa diện đều có độ dài là a)
12 a
3 Các tính chất.
Gọi A’, B’, C’ lần lượt là các điểm thuộc tia SA, SB, SC của hình chóp S.ABC, khi đó: ' ' '
.
S A B C
S ABC
V SA SB SC
V = SA SB SC .
Từ công thức tính thể tích ta suy ra cách tìm khoảng cách giữa một điểm và một mặt phẳng trong không gian, khoảng cách giữa hai mặt phẳng trong không gian:
3
; hoac
B RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN.
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = a,
SA⊥ ABCD Tính thể tích hình chóp.
HD:
Đáy ABCD là hình vuông nên B = a2
SA⊥ ABCD nên SA chính là đường cao của hình chóp, suy ra h = SA = a.
Vậy thể tích hình chóp là 1 1 3
V = Bh= a .
Trang 2Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thang vuông tại A, , SA = a, AB =
2a, AD = DC = a
a) Tính thể tích khối chóp
b) Tính khoảng cách từ A đến (SBC)
c) Tính thể tích khối chóp S.ADC
HD:
Bài 3: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, đáy ABC là tam giác đều cạnh a Các cạnh
bên bằng nhau và bằng 2a
a) Tính thể tích khối chóp b) Tính khoảng cách từ B đến mp(SAC)
HD:
Bài 4: Cho hình chóp tứ giác đều SABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a, các cạnh
bên bằng nhau và bằng a 2
a) Tính thể tích khối chóp b) Tính khoảng cách từ B đến mp(SCD)
HD:
Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thang vuông tại A AB//CD,
AB=AD=a, CD=2a SA⊥(ABCD), SA = a 2.
a) Tính thể tích khối chóp
b) Gọi E là trung điểm của CD Tính thể tích khối chóp SBCE
HD:
Bài 6: Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a
a) Tính thể tích của khối lăng trụ
b) Tính thể tích khối tứ diện A’BB’C
HD: a) * Đáy A’B’C’ là ∆ đều cạnh a AA’ là đường cao
* Tất cả các cạnh đều bằng a
* VABC.A B C′ ′ ′ = Bh = SA B C′ ′ ′.AA’
* Tính: SA B C′ ′ ′ = 2 3
4
a (A’B’C’ là ∆ đều cạnh a) và AA’ = a
ĐS: VABC.A B C′ ′ ′ = 3 3
4
a b)
A BB C
V ′ ′ = 1
3 VABC.A B C′ ′ ′ ĐS: 3 3
12
a ( khối lăng trụ đứng có tất cả các cạnh bằng nhau được chia thành 3 tứ diện bằng nhau)
A
B
C
D
C'
B' A'
C
B A
Trang 3+ CM: BA ⊥( ACCA)
• BA ⊥AC (vì ∆ABC vuông tại A)
• BA ⊥AA’ (ABC.A’B’C’ lăng trụ đứng) + ϕ = BC A∧
′ = 300
* Tính AC’: Trong ∆VBAC’ tại A (vì BA ⊥AC’)
tan300 = AB
AC ′ ⇒AC’ = 300
AB tan = AB 3
* Tính AB: Trong ∆VABC tại A, ta có: tan600 = AB
AC ⇒AB = AC tan600 = a 3 (vì AC = a) ĐS: AC’ = 3a
b) VABC.A B C′ ′ ′ = Bh = SABC.CC’ * Tính: SABC = 1
2AB.AC =
1
2.a 3.a =
2 a
* Tính CC’: Trong ∆VACC’ tại C, ta có: CC’2 = AC’2 – AC2 = 8a2 ⇒CC’ =
2 a 2
ĐS: VABC.A B C′ ′ ′ = a3 6
Bài 8: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là một tam giác đều cạnh a và điểm A’ cách đều các điểm A, B, C Cạnh bên AA’ tạo với mp đáy một góc 600 Tính thể tích của lăng trụ
HD:
* Kẻ A’H ⊥(ABC)
* A’ cách đều các điểm A, B, C nên H là trọng tâm của ∆ABC đều cạnh a
* Góc giữa cạnh AA’ và mp(ABC) là ϕ = A A H∧
′ = 600
* Tính: VABC.A B C′ ′ ′ = Bh = SABC.A’H
* Tính: SABC = 2 3
4
a (Vì ∆ABC đều cạnh a)
* Tính A’H: Trong ∆VAA’H tại H, ta có:
tan600 = A H
AH
A’H = AH tan600 = 2
3AN. 3 = a ĐS: VABC.A B C′ ′ ′ = 3 3
4
a
Bài 9: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AC = a, BC
= 2a và AA’ = 3a
B
A
a
60 °
N H
C'
B' A'
C
B A
Trang 4* Tớnh AB: Trong ∆VABC tại A, ta cú:
AB2 = BC2 – AC2 = 4a2 – a2 = 3a2
ĐS: VABC.A B C′ ′ ′ = 3 3 3
2
a
C BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 1: Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh vuụng cạnh a, cạnh bờn SA
vuụng gúc với đỏy , cạnh bờn SB bằng a 3 Tớnh thể tớch khối chúp S.ABCD theo a
Bài 2: Cho hỡnh chúp tứ giỏc đều S.ABCD cú AB = a và SA = b Tớnh thể tớch khối
chúp S.ABCD theo a và b
Bài 3: Cho hỡnh chúp tứ giỏc đều S.ABCD cú AB = a và gúc SAC bằng 450 Tớnh thể tớch khối chúp S.ABCD
Bài 4: Cho hỡnh chúp tam giỏc S.ABC cú đỏy ABC là tam giỏc vuụng tại đỉnh B, cạnh
bờn SA vuụng gúc với đỏy Biết SA = AB = BC = a Tớnh thể tớch khối chúp S.ABC theo a
Bài 5: Cho hỡnh chúp tứ giỏc đều S.ABCD cú AB = a và gúc giữa mặt bờn và mặt đỏy
bằng 600 Tớnh thể tớch khối chúp S.ABCD
Bài 6: Cho khối hộp chữ nhật ABCDA’B’C’D’ cú thể tớch V Tớnh thể tớch khối tứ
diện C’ABC theo V
Bài 7: Trờn cạnh CD của tứ diện ABCD lấy điểm M sao cho CD = 3CM Tớnh tỉ số thể
tớch của hai tứ diện ABMD và ABMC
Bài 8: Cho hình chóp SABC SA ⊥AB, AB ⊥ AC, AC ⊥ SA Gọi M, N lần lợt
là trung điểm SB và SC
a Tính tỉ số hai thể tích của hình chóp do mặt phẳng AMN chia ra
b Cho SA=a, AB=2a, AC=3a Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC)
Bài 9: Cho hình chóp SABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O SA =
a, SA vuông góc với đáy
a Tính thể tích hình chóp ASBC
b Tính khoảng cách từ A đến mp(SBC)
2a
a
C B
A