Chuyên đề HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2

Cách 1: Phương pháp thế.. Cách 2: Phương pháp cộng đại số.. Cách 3: Phương pháp dùng định thức.. HÖ v« nghiÖm... Dạng 2: Hệ gồm một phương trình bậc hai và một phương trình bậc nhất Dạng

Trang 1

Chuyên đề HỆ PHƯƠNG TRÌNH Luyện thi Đại học 2011

HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ

-Dạng1: HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

a X b Y c (*)

a X b Y c

ì

î

Phương pháp: Thông thường có 3 phương pháp để giải hệ phương trình dạng (*)

Cách 1: Phương pháp thế

Cách 2: Phương pháp cộng đại số

Cách 3: Phương pháp dùng định thức

D a b a b D c b c b D a c a c

-TH1: D¹0 : Hệ có nghiệm duy nhất

X Y

D X D D Y D

ì = ïï í

ï = ïî

TH2: D=0 : Vµ D X =D Y =0: Hệ có vô số nghiệm dạng { (X Y0; 0) a X1 0+b Y1 0 =c1}

TH3: D=0 : HoÆc D X, hoÆc D Y ¹0 HÖ v« nghiÖm

Bài tập : Giải các hệ phương trình sau:

1)

6 5

3

9 10

1

x y

ì + =

ïï

í

ï - =

ïî

2)

3

1

x y x y

ï í

î

3)

5

2

y x

ï

î

4)

2

x x y

ï

í

1

7

x x

y y

-ï

í

-î

6)

5

x y

ï

î

7)

1 1

x y

í

î

8)

3 1

4 1

x y

-ï í

-î

9)

3( )

7

3

x y

y x

+

-ï

ï -î

10)

8 1

17

x y

x y xy

ì + =

ï

í

î

2

x y

ï í

2

5

2

x

y

x

y

ï ï í

ïî

x y

ì - + =

ï

í

- =

x y

ì - + - = ï

í

- + =

x y

ìï

ïî

Trang 2

Dạng 2: Hệ gồm một phương trình bậc hai và một phương trình bậc nhất

Dạng tổng quát:

0 0

ax by cxy dx fy e

Ax By C

í

î

Phương pháp: Từ phương trình bậc nhất, rút một ẩn theo ẩn còn lại và thay vào phương

trình bậc hai

Bài tập: Giải các hệ phương trình sau:

1)

2 2

x y

y x x y

- - =

ì

í

x y

x xy x y

ì í

î

3)

2

x x y

ï

í

2

x y x y

xy y y

ï í

ïî

5)

1 0

x xy y y y

x y

-í

- + =

x y x y

x y

ï í

ïî

7)

11 5

x y

í

x y xy x y

x y

í

î

9)

x y xy x y

x y

í

2 2

8 0

x y x y

x y

í + + = î

11)

x xy y x y

x y

í

2

10

x xy x

x y

í

-î

13)

3

2

4

x y x y

x y

ï

-í

ï - =

î

14)

x y

ïï í

ïî

15)

4 1

x y

y x

ï +

ï

í

ï +

î

16) ( )4 ( )2

25

x y x y

x y

ï í

- = ïî

17)

3 3

1 7

x y

- =

ì

í

x x y x xy

x y

ï í

ïî

19) ( ) ( 2 2)

45 5

x y x y

x y

ï

í

+ =

ïî

Trang 3

Dạng 3: HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI 1

f X Y

g X Y

ï í

=

Trong đó hoán vị giữa , X Y thì biểu thức f X Y( ; ) (, g X Y; )không thay đổi

Phương pháp:

+ Đặt

S X Y

P X Y

= + ì

í =

î Thay vào hệ (*), tìm ra , S P

+ Lúc đó, , X Y là nghiệm của phương trình t2- + =St P 0 (1)

Các nhận xét:

* Do tính đối xứng của , X Y nên nếu phương trình (1) có các nghiệm

1, 2

t t thì hệ (*) có nghiệm (t t1; 2) (, t t2; 1)

* Cũng do tính đối xứng nên để hệ (*) có nghiệm duy nhất thì điều kiện

cần là X =Y (thay vào hệ tìm tham số, sau đó thay vào hệ (*) để tìm điều kiện đủ)

* Do , X Y là nghiệm của phương trình t2- + =St P 0nên điều kiện cần và đủ để hệ

(*) có nghiệm là: Phương trình (1) có nghiệm trên tập giá trị của , X Y

1)

4 2

x xy y

í

5 13

x xy y

x y xy

ì í

4 2 2 4

7 21

x xy y

x x y y

ï í

ïî

4)

2 2

4 2 2 4

5

13

x y

x x y y

ï

í

6 12

3

x y z

xy yz zx

x y z

ì

ï + + =

í ï

ï + + = ïî

6)

2 2

1 1

5

9

x y

ì + + + = ïï

í

ïî

7)*

2 2

1 1

4

x y

ì + + + =

ïï

í

ïî

8)

7 5

x xy y

x y

í + =

18 12

x y

y x

x y

ì

ï í

ï + = î

9)* 2 2 2

4 3 2

x y z

x y z xyz

+ + = ì

ï + + = í

î

10)

3 3

7

x y

xy x y

í

1 4 1

x y z

xy yz xz

x y z

+ + = ì

ï + + = -í

ï + + = î

12)*

6 7 14

x y z

xy yz xz

x y z

+ + = ì

ï + - = í

ï + + = î

13)

4 4

2 2

17 3

x y

x y xy

ï

í

5 6

x xy y

x y xy

ì í

18 ( 1) ( 1) 72

x x y y

í

î

16)

3 3

19

x y

x y xy

í

7 2 5 2

x y xy

ì + + = ïï

í

ïî

18)

9

20

x

x y

y

x y x y

ì + + = ïï

í +

ïî

Trang 4

19)

3

2

x

x y

y

x y x

y

ì - + =

ïï

í

ïî

20)

19 7

x xy y

í

11

x y xy

x y x y

ì í

î

22)

2 2

1 1 2

x y

ï

í

x x x y

x x y

ì í

1 1

5

49

x y

í

î

25)

11

6 6

11

x y xy

xy

x y

ì

ï

í + + =

5 5

1

x y

x y x y

ï í

2 2

xy x y

x y x y

ï í

ïî

35

x y y x

x x y y

ï

í

4 4

x y

x y xy

ï í

7 1 78

x y

y x xy

x xy y xy

ì

ï í

î

x y

x y y y y x

ï

í

3

3 1

1

x y z

xy yz zx xyz

ï ï ï

í ï ï

= ï î

Hệ phương trình được gọi là hệ đối xứng loại 2 khi thay X bởi Y hoặc thay Y bởi

X thì hệ phương trình không thay đổi

f X Y

f Y X

ï í

= ïî

Phương pháp: Nếu f X Y( ; ) là đa thức thì thông thường hệ (*) được giải như sau:

Biến đổi (*) ( ) ( )

f X Y f Y X X Y g X Y

f X Y f X Y

1)

3

x x y

y y x

ï

í

4 3 4 3

y

x y

x x

y x

y

ì - = ïï

í

ïî

3) 3

3

3 4

2 3 4

2

x x y

y y x

ì + = + ïï

í

ï + = + ïî

4)

x y y

y x x

ï í

ïî

Trang 5

4)

3

2

x x y

y y x

ï

í

2

2 3

y y x x x y

= ïï

ïî

6)

1 3 2

x

y x y

x y

ïï í

ïî

7)

x x y

y y x

-ï í

-ïî

7)

2

1 2

x y

y

y x

x

ïï

í

ïî

8) 2

2

x x y

y y x

ï í

2

x y y

y x x

ï í

2

x x y

y y x

ï í

ïî

11)

2

x x y

y y x

ì = +

ï

í

= +

2

1 1

xy x y

yx y x

-ï í

x y x y

y x y x

ï í

3

y x

x y

ì = ï í

=

Hệ phương trình đại số đẳng cấp bậc hai theo , x y

Dạng tổng quát:

a x b xy c y d

ï í

Phương pháp:

+ Giải hệ khi x=0

+ Khi x¹0, đặt y tx= thế vào hệ (*), khử x được phương trình theo t

+ Giải t , rồi tìm , x y

Biến đổi: ( ) ( )

2

LËp tû

(2) (2)

x a b t c t d

a x b tx c tx d

x a b t c t d

a x b tx c tx d

ì

1)

x xy y

-ï

í

x xy y

ï í

3 3

7 2

x y

xy x y

ï í

ïî

4)

5

2

x xy y

y x

x y xy

ï

í =

-ï

î

5)

1

x xy y

x x y y

ï í

2

x xy y

x x y y

ï

-ïî

7)

x xy y

ï

í

x xy y

ï í

x x y xy y

y x y xy

ï í

10)

x xy y

-ï

í

x xy y

-ï í

3 3

7

y x

x y xy

ï í

ïî

13)

3 3

1

x y

x y xy y

ï

í

x xy y

y xy x

-ï í

2 2

13 25

x y x y

ï í

ïî

Trang 6

ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ 2002- 2010

-

1) (B- 2002) Giải hệ phương trình:

3

2

x y x y

-ï

í

ïî

2) (D- 2002) Giải hệ phương trình:

1

x

y y y

+

-ï

=

ïî +

3) (Dự bị- 2002) Giải hệ phương trình:

x y

ï

í

ïî

x

y

x x x y

y y y x

ï

í

ïî

5) (A- 2003) Giải hệ phương trình :

3

x y

y x

ì =

-ï

í

î

xy y

ï

í

ïî

2

2 3

y y

x x x

y

ïï

í

+

ïî

8) (A- 2004) Giải hệ phương trình:

4

2 2

1

25

y x

y

x y

ï

í

ï + =

î

9) (D- 2004) Tìm m để hệ sau có nghiệm:

1

1 3

x y

x x y y m

ï

í

-ïî

10) (D- 2005) Giải hệ phương trình :

3 log 9 log 3

x y

ï í

ïî

2 2

4

x y x y

x x y y y

í

î

x y x y

x y

ï í

ïî

3

x y xy

x y

ï í

ïî

2

x y y x y

x y x y

ï

ïî

x x y y

ï í

ïî

16) (D- 2006) CMR: " >a 0, hệ phương trình sau có duy nhất nghiệm:

ln 1 ln 1

y x a

ï í

- =

ïî

3( ) 7( )

x xy y x y

-ï í

-ïî

ln 1 ln 1

x y x y

x xy y

-ï í

ïî

2 2

13 25

x y x y

ï í

ïî

Trang 7

y x

x x x

y y y

ï

í

ïî

1 1

x x y x y

x y x xy

ï

í

ïî

22) (Dự bị- 2007) CMR: Hệ phương trình

sau có 2 nghiệm thoả x>0, y>0

2

2007

1

2007

1

x

y

y e

y x e

x

-ï

í

-î

2 2

3

2 2

3

2

xy

x x xy

y y

ï

í

î

4 2

5 4 5 (1 2 )

4

x y x y xy xy

x y xy x

ì + + + + =

-ïï

í

-ïî

2

x x y x y x

x xy x

ï

í

ïî

2

x y xy x y

x y y x x y

-ï

í

-ïî

27) ĐH-A-2009 Giải hệ phương trình:

2 2

log ( ) 1 log ( )

3x y xy 81

x y xy

+

ï

í

=

ïî

+ + =

ì

í

1 7

1 13

xy x y

x y xy y

ï í

5

1 0

x x y

x y

x

30) (ĐH-B-2010) Giải hệ phương trình:

2

log (3 1)

- = ì

í

y x y

31) (ĐH-D-2010) Giải hệ phương trình:

2

2log ( 2) log 0

ï

ïî

x x y

32) (ĐH-A-2010) Giải hệ phương trình:

ï í

î

2

2 2

Trang 8

CÁC DẠNG HỆ PHƯƠNG TRèNH KHÁC

-

1) Giải hệ phương trỡnh:

x y y x

ù

ớ

- + - = ùợ

Gợi ý: Dạng hpt bậc nhất hai ẩn

1 1

x y

x y y

ù

ớ

-ùợ

Gợi ý: Bỡnh phương trờn TXĐ

x y

y x

ù

ớ

ùợ

Gợi ý: Bỡnh phương trờn TXĐ

2 2

10

y x y x

x x y y

ù

ớ

ùợ

Gợi ý:

Biến đổi:

2 2

2

1

10 1

y x y x

x x y y

y

y x

y

x y

x x

+

ổ ử

- ỗ ữ

ố ứ

ổ ử

+ ỗ ữ

ố ứ

1

2

x y x y x y

x y

ù

ớ

-ợ

Gợi ý: (1) cú dạng đẳng cấp bậc hai

2

5 2

3 2

x xy

x y

x

x y

ù

ớ

-ù +

ợ

Gợi ý:

Biến đổi:

x x y

x

2 2

xy x y

x y x y

ỡ ớ

ợ

Gợi ý: Biến đổi:

Nhân (1) với 2 và cộng phương trình (2) :

2 2

2

x y xy x y

x y x y

x x y x y x y y

ù ớ

ùợ

Gợi ý: (1) (2)- Û + =x y 8 9) Giải hệ phương trỡnh:

2 2

x y x y

ù ớ

ùợ

x x y y

ù

Û ớ

ùợ

( )

2

12 6

x x

y y

xy xy

ỡổ ử ổ ử

ùùỗ ữ ỗ ữ

ớ

ùợ

Gợi ý: Mỗi phương trỡnh của hệ đều là

phương trỡnh đại số theo ẩn phụ

2 2 2

6

y xy x

x y x

ù ớ

ùợ

Trang 9

Chuyờn đề HỆ PHƯƠNG TRèNH Luyện thi Đại học 2011

2

2 2

2

1

6

1

5

1

6 (1)

1

x x

y y

x x

y y

x x

y y

x x x

+ =

Û ớ

ù

ố ứ ợ

+ =

Û ớ

ù

ợ

Thay (1) vào (2)

2

x y x y

xy

ớ

ù =

ợ

Gợi ý: Phương trỡnh (1) cú dạng bậc hai

a)

2 2

20 136

x y x y

x y

ù

ớ

ùợ

x y x y

x y

ù

ớ

ùợ

c)

6 20

x y y x

ù

ớ

ùợ

d)

2 2

4

x y xy

x y

ù

ớ

ùợ

2

x y xy

x y x y xy

x y x y

x y x y x y

e)

2 2

5 2 21

x y

y x

x y xy

ỡ

ù

ớ

ù + + =

ợ

6

x y x y xy

x y

ù ớ

ợ

Gợi ý: Đặt 3 3

,

u= x v= y

2 2

3 3 3 0

x y x

x y

y x y

x y

+

ù

ợ

2

2 2

2

2 2

3

(3) (4) 2 3 3

2

xy y

x y

xy x xy

x y

y

xy y y

y

+

x xy y

x y

ù ớ

ùợ

Thay (2) vào (1):

Đây là pt đẳng cấp bậc 3

x xy x y y

a)

2

1

2 2

3 2

x y

-ù ớ +

ù -ợ

b)

1

3 2

4 2

x

x y x

x y

ù + ù ớ

-ù + ợ

c)

2 2

25 2

x y xy

y x y

-ớ

ợ

2

19 7

x xy y x y

-ù ớ

-ùợ

Trang 10

Gợi ý d): Phương trình (1) đẳng cấp bậc 2

18) Giải hệ phương trình:

a)

2 2

12 12

x y x y

y x y

ï

í

ïî

Gợi ý: Đặt 2 2

,

u= x -y v= +x y

2 1

2

u

y v

v

b)

20

16 5

y

x y x y x

x

x y x y y

ì

-ï

ï

í

-ïî

Gợi ý: Nhân vế theo vế 2 phương trình

c)

x x y

ï

í

ïî

Gợi ý: Nhân (1) với 2- , khử y

2 2

3 15

x y x y

ï

í

ïî

Gợi ý: Cách 1: Hpt đẳng cấp bậc 3

Cách 2: Biến đổi:

2

x y x y xy

Û í

î

2 2

xy x y

x y x y

ì

í

î

2 2

2

xy x y

x y x y

xy x y

x y x y

ì

Û í

î

ìï

Û í

ïî

x y

ï

í

ïî

Gợi ý: Cách1: Biến đổi:

§

î

x y

Þ =

Cách 2:

LÊy (1) (2) :

x y y x

x y

-21) Giải hệ phương trình:

x y

y x

ï í

ïî

Gợi ý:

Cách 1: Biến đổi:

0

x y y x

x y

Û =

Cách 2: Bất đẳng thức:

2

2 2

2

2 2

6 DÊu " " x·y ra khi chØ khi

6 3

x y

y x

x y

y x

x y

ï

Û í

î

-ï í

-î

-ï

-ïî

Û = =

a)

x xy y y

x xy y x y

ï í

ïî

Trang 11

Chuyên đề HỆ PHƯƠNG TRÌNH Luyện thi Đại học 2011 Gợi ý: Thùc hiÖn: (1) 2 3´

-Cách khác: Thử x=0 Đặt y kx=

b)

2 2

x x y

x y x y

ï

í

ïî

1

y x

x y

y x

= + é

-ë

c)

2 3

x y x

x y x y

ï

í

ïî

Gợi ý:

2

2 (2) 1

2

1

x y

x x

y x

ï

Û í

=

ï

+ î

+

23) Giải các hệ phương trình sau:

1)

3 2

64

y x x y

-ï

í

ïî

Gợi ý:

2

3 2

2

8

0, 2

y x

x y

ï

ïî

2)

2 2

1 1

3

7

xy

x y

x y xy

ì + =

-ïï

í

+

-ïî

Gợi ý:

1 1

3

7

xy

x y

xy

x y xy

ì + =

-ïï

Û í

-ïî

2

1 1

§Æt

1 1

3

xy

x y

v xy xy

x y

î

3)

1 6

7 2

x y

x y xy

ì + = ï

í

ï + = î

Gợi ý: Quy đồng (1), khử xy Hoặc chia

(2) cho xy

4)

x x y

x y

ï í

ïî

Gợi ý: Đánh giá BĐT ở phương trình (2)

5)

2 3 2

x y xy

x y

y x

ì + = ïï

í

ï - = ïî

Gợi ý: Hệ đẳng cấp Hoặc chia (1) cho xy

6)

x y x

x x y

ï í

î

Gợi ý: TXĐ 2

(1) : 3 x + +y x ³4

x x x y

y x

ï í

-ïî

Gợi ý: Phương pháp thế CM pt vô

nghiệm

8) 3 1 3 1 3

9

x y

ï í + = ïî

Gợi ý: Đặt 3 3

u= x- v= y

x y x y

x y

ï í

ïî

Gợi ý: Phương pháp thế Hoặc đặt

u= x+y v= x+ +y

10)

2

x xy y

x x y xy

ï í

-ïî

Gợi ý: Phương trình (1) đẳng cấp bậc 2

11)

2

5

x x y x

x xy y

-ï í

ïî

Gợi ý:

3 3

x x x y

x y y x

Trang 12

12) 5 2 7

x y

ï

í

ïî

x y

ï

í

ïî

3

x x y y

ï

Û í

ïî

ïï

Û í

ï

ïî

x y x y

ï

í

ïî

LÊy (1) (2)

x y y x x y

15)

ï

î

ïï

í

ì

= +

-= +

+

4 )

2

1 4 (

3 2 ) 2

1 4 (

y x y

x x y

16)

ï

î

ïï

í

ì

= +

+

= + +

49 )

1 1 )(

(

5 )

1 1 )(

(

2 2 2

2

y x y

x

xy y

x

17) ( )2

y x y

x y x y

-ï

í

-ïî

Gợi ý:

x y y

x y x y

- - ³ Û - ³

18)

3

6

6 8

x y x y

ï

í

ïî

Gợi ý:

3

6

HÖ

8 0

6 (I) 8 0

6 (II) 8

x y x y

x y

x y x y

x y

x y x y

ï

Û í

ïî

êï

êí êï

êî

Û êì - <

êï

-ë

Định dạng
Số trang	12
Dung lượng	0,93 MB