Chuyên đề:
Hệ phương trình I/ Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số
Ví dụ: Giải hệ phương trình
=
−
=
⇔
= +
−
=
⇔
−
= +
= +
⇔
−
=
+
=
+
7
4 1
3 5
4 3
3 6
1 3 5 1
2
1
3
5
y
x y
x
x y
x
y x y
x
y
x
II/ Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
Ví dụ: Giải hệ phương trình
=
=
⇔
=
−
=
⇔
=
− +
−
=
⇔
=
+
=
−
0
3 15
5
6 2 9
) 6 2 ( 3
6 2 9
3
6
2
y
x x
x y x
x
x y y
x
y
x
III/ Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ
Ví dụ: Giải hệ phương trình
1/
−
= +
+
+
= +
+
+
1 1
3
1
3 1 1
2
y
y
x
x
y
y
x
x
y v x
x
Hệ phương trình trở thành
−
=
−
=
⇔
−
−
=
+
=
⇔
−
=
+
=
+
⇔
−
=
=
⇔
−
=
= +
⇔
−
=
= +
⇔
−
= +
= +
⇔
−
=
+
=
+
2 1
2 1
2 2 1
1
2
1
1
2 1
3 2
5 5
3 2
2 6 2
3 2
1
3
3
2
y
x y
y
x x
y
y
x
x
v
u v
v u v
v u v
u
v u v
u
v
u
2/
= +
−
−
−
= +
−
−
0
1 2
1
1
6 2
3
y x y
x
y x y
x
3/
= +
−
=
+
0 30
20
2 5
4
xy y
x
xy
y
x
4/
−
=
−
+
−
+
−
=
−
+ +
+
−
6 2
) 1 ( 7 2
)
1
(
20
8 2
) 1 ( 3 2
)
1
(
5
y x
y y
x
x
y x
y y
x
x
5/
=
−
=
+
5
3
3
1
1
1
y
x
y
x
Trang 26/
=
−
−
−
=
−
+
−
1 1
3 2
2
2 1
1 2
1
y
x
y
x
7/
= +
+
−
= +
+
−
6
7 3
1 2
2
2 3
3 2
3
y x y
x
y x y
x
IV/ Giải và biện luận hệ phương trình
Giải và biện luận hệ phương trình:
= +
= +
' ' 'x b y c a
c by ax
• Hệ có nghiệm duy nhất khi a a'≠ b b'
• Hệ vô nghiệm khi
' '
c b
b a
a
≠
=
• Hệ có vô số nghiệm khi a a'= b b' = c c'
Ví dụ:
1/Cho hệ phương trình :
= +
= + 3 2
3
my x
y m mx
Tìm m để hệ a/Có vô số nghiệm
b/ Vô nghiệm
Giải
3
3 2
2 ' ' '
2
=
⇔
=
=
⇔
=
=
⇔
=
m
m m c
c b
b a a
3
3 2
2 ' ' '
2
≠
⇔
≠
=
⇔
≠
=
⇔
≠
m
m m c
c b
b a a
2/ Cho hệ PT:
= +
= +
2
1
y ax
ay x
a/ Giải hệ khi a=2
b/ Với giá trị nào của a thì hệ có nghiệm duy nhất
3/
+
=
−
=
−
6
9y m
mx
m
my
x
Tìm m để hệ a/ Vô nghiệm
b/ Có vô sô nghiệm
4/ Cho hệ PT:
+
=
− +
=
− +
1 )
1 (
2 ) 1 (
m y x m
y m x
a/ Giải hệ khi m=
2 1
b/ Xác định m để hệ có nghiệm duy nhất thoã x y
Trang 35/Cho hệ
= +
= +
a y ax
y x
3 1
a/ Tìm a để hệ có một nghiệm
b/ Tìm a để hệ có vô số nghiệm
6/Giải và biện luận hệ phương trình
a/
−
=
−
=
−
3
3
y
mx
my
x
b/
=
−
−
=
−
+
m y
mx
m y
m
x ( 4 ) 1 4
3
V/ Hệ phương trình đối xứng loại I
Dạng
=
= 0 ) ,
(
0 ) ,
(
y x
g
y x
f
Với
=
=
) , ( ) , (
) , ( ) , (
x y g y x g
x y f y x f
( Thay x = y và thay y = x thì hệ không đổi) Cách giải: Đặt S = x + y ; P = x.y
Ví dụ: Giải hệ phương trình
1/
=
+
−
=
+
7
2 )
(
3
3 y
x
y
x
xy
= +
− +
−
= +
⇔
7 ) ( 3 ) (
2 ) (
3 xy x y y
x
y x xy
Đặt S = x+y ; P = xy
Do đó hệ trở thành
−
=
=
⇔
=
−
=
⇔
=
−
−
−
=
⇔
=
−
−
=
2
1 1
2 7
) 2 (
3
2 7
3
2
3 3
S S
PS S
PS PS
S
S P
⇔
−
=
= + 2
1
xy
y x
x,y là nghiệm của phương trình X2 – SX -2 =0
Giải phương trình ta được X1 = -1; X2 = 2
Vậy hệ có nghiệm
=
−
= 2
1
y
x
và
−
=
= 1
2
y x
2/
=
=
+
3
82
4
4
xy
y
x
=
+
= +
+
=
+
= +
=
+
−
= +
2 2
4 /
5
97
78 )
(
/
4
26
6 /
3
4
4
2
2
3
3
2
2
y
x
xy y
x
y
x
xy
y
x
y
x
xy
y
x
6/
= +
= +
28
12
y y
x
x
x y
y
x
7/
=
+
+
= +
+
6
2 3 2
2
2 y
x
xy
y
x
VI/ Hệ phương trình đối xứng loại II
Dạng
=
= 0 ) ,
(
0 ) ,
(
x
y
f
y
x
f
( Khi thay x = y hoặc y = x thì hai phương trình đổi chỗ cho nhau)
Trang 4Cách giải:
Thường biến đổi về dạng
=
= +
=
=
−
0 ) , (
0 ) , ( ) , ( 0
) , (
0 ) , ( ) , (
y x f
x y f y x f hay y
x f
x y f y x f
Ví dụ:Giải hệ phương trình:
= +
−
= + +
= +
−
=
−
⇔
= +
−
= + +
−
⇔
= +
−
−
−
=
−
−
−
⇔
=
+
−
=
+
−
y x
x
y x
y x
x
y x
y x
x
y x y x y
x x
y x y
x y
x x
y
y
y x
x
4 5 2
0 2
4 5 2 0
4 5 2
0 ) 2 )(
( 4
5 2
) ( 4 ) ( 2 ) (
4 5
2
4 5
2
2
2 2
2
2 2 2
2
*Trường hợp 1:
=
=
=
=
⇔
=
=
=
⇔
= +
−
=
⇔
= +
−
=
⇔
= +
−
=
−
5 5 1 1
5
1 0
5 6 4
5 2 4
5 2
0
2 2
2
y x y x
x x
x y x
x
x y x x
x
x y y x
x
y x
*Trường hợp 2:
= + +
−
−
=
⇔
= + +
−
−
=
⇔
−
−
= +
−
−
−
=
⇔
=
+
−
=
+
+
0 12 ) 1 (
2 0
13 2
2 )
2 ( 4 5 2
2 4
5
2
0
2
2 2
2
x y x
x
x y x
x x
x y y x
x
y
x
(Hệ vô nghiệm) Vậy hệ phương trìnhđã cho có nghiệm: (x;y) = (1;1) hoặc (x;y) = ( 5;5)
Bài tập tự giải: Giải các hệ phương trình sau
1/
= +
−
= +
−
x y
y
y x
x
6 3 2
5
6 3 2
5
2
2
2/
= +
−
= +
−
x y
y
y x
x
3 5
3
3 5
3
2
2
VII/ Hệ phương trình đẳng cấp
(Các bậc của mỗi đơn thức chứa biến trong phương trình bằng nhau)
Cách giải:
+ Kiểm tra xem x=0 ( hoặc y = 0) có phải là nghiệm của hệ hay không.
+ Với x ≠0 hay y ≠0 ; đặt y = t.x ( hay x = t.y)
Khử y 2 (hoặc x 2 ) rồi tính y theo x (hay x theo y)
Tìm t rồi tìm nghiệm của hệ
=
+
−
=
+
−
x y
y
y x
x
3 5
3
3 5
3
2
2
Ví dụ:Giải hệ phương trình
−
=
−
+
= +
−
8 3
6
7 2
2
3
2 2
2 2
y xy
x
y xy
x
(*) + Khi y = 0 thì (*) vô nghiệm
+ Khi y≠0 Đặt x = t.y thay vào (*) ta được:
Trang 5
−
=
− +
= +
−
⇔
−
=
− +
= +
−
8 ) 3 6 (
7 ) 2 2 3 ( 8
3 6
7 2 2
3
2 2
2 2 2
2 2
2
2 2 2
2
t t y
t t y y
ty
y
t
y ty y
t
( chia pt trên cho pt dưới)
=
−
=
⇒
=
− +
⇔
− +
=
− +
−
⇔
−
− +
= +
−
31 5
1 0
5 26 31 21 42 7
16 16 24 8
3 6 7
2 2
t
t t
t t
t t
t t
t t
t
o Nếu t= -1 thì 7y 2 = 7 suy ra y =1 hoặc y = -1
Ta có 2 nghiệm là
−
=
=
=
−
−
1
1
; 1
1
y
x y
x
o Nếu t = 315 thì
−
=
=
⇒
=
241 31 241
31 7
31
1687 2
2
y
y y
Ta có hai nghiệm là
−
=
−
=
=
=
241 31 241
5
; 241 31 241 5
y
x
y x
Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm:
BÀI TẬP ÁP DỤNG : Giải các hệ phương trình sau:
1/
−
=
− +
= +
−
6 2
4
13 3
2
2 2
2 2
y xy x
y xy x
2/
= + +
= + +
14 4
2
12 3
2
2 2
2 2
y xy x
y xy x
3/
= + +
= +
−
10 5
3 2
4 9 6
2 2
2 2
y xy x
y xy x