NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ VÔ TỈ.. Bài toán 1: Xác định nguyên hàm các hàm số vô tỉ dựa trên tam thức bậc hai... Đưa về tích tích phân bất định đối với hàm hữu tỉ.. Mà tích phân này đã được
Trang 1NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ VÔ TỈ
Bài toán 1:
Xác định nguyên hàm các hàm số vô tỉ dựa trên tam thức bậc hai
Một số công thức thường được dùng trong phần này:
2
xdx
x a C
x a
dx
x x a C
x a
x adx x a x x a C
4/
2
1
arcsin 1
x
5/
2
1
arccos 1
x
Mở rộng công thức 4 và 5:
arcsinx C a 0
a
a x
7/ 2dx 2 arccosx C a 0
a
a x
Chú ý:
2
a x b
dx
ax bx c
B1:
Biến đổi: a x1 b1 2axb
2a x b
Đồng nhất hệ số ta có: 1
1
( trong đó a b a b1; ; ;1 đã biết.)
B2:
Giải hệ phương trình trên tìm ;
B3:
a x b
dx
ax bx c ax bx c
Trang 2Đặt
ax bx c dx I
ax bx c
B4:
+ Tính 1
2
ax bx c
2
tax bx c dt axb dx
Từ đó suy ra: I1 dt 2 t C
t
2 ax2bx c C
+ Tính 2
2
dx I
ax bx c
Biến đổi:
2 2
b
Tuỳ thuôc vào dấu của a và mà ta có tích phân I2 thuộc dạng cơ bản 2;4;5;6;7
Bài tập áp dụng:
Tính các tích phân bất định sau:
1/
2
dx
x x
2
1
x
dx
x x
2 2
2
x x
dx
x x
4/
2
1
dx
x x
2 2
1
x x
dx
x x
2 4
1 1
x
dx
x x
7/ x2 2x2dx 8/
2
1
x
dx
x x
2
x
dx
x x
10/
2
2
2
x x
dx
x x
2
1 2
dx
x x
2
3 4
dx
x x
2
x dx
x x
2
1 4
dx
x x
2
1
x dx
x x
2
1
x x
dx x
2
4
x x dx
x
2
4
x x dx x
2
1 1
x x dx
x
2
1 1
x x dx
x
Bài toán 2:
Xác định nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến
Dạng 1:
Trang 3Tính tích phân bất định các hàm hữu tỉ đối với x và n ax b
cx d
có dạng:
,n ax b
cx d
Phương pháp giải:
B1: Thực hiện phép đổi biến:
n ax b
t
cx d
n n
n
ax b b dt
cx d ct a
Từ đó suy ra: dx?dt
B2:
Thay biến x bởi t Đưa về tích tích phân bất định đối với hàm hữu tỉ Mà tích phân này đã được học từ tiết trước
Bài tập áp dụng:
Tính các tích phân bất định sau:
1/
dx
x x
x
dx
x x
xdx
x
4/
xdx
x
3
dx
x x
3 1
dx x
7/
dx
x x
1
x dx x
xdx x
10/
9
dx
x x
1
xdx x
2
2 1
x dx x
4 1
dx x
2 1
dx
x
16/ x 3x dx2
Dạng 2:
Tính tích phân bất định các hàm hữu tỉ đối với x và ax2 bxc có dạng:
,
I R x ax bxc dx
Phương pháp ( Sử dụng phương pháp Euler):
Ta xét các trường hợp sau:
1/ Nếu a>0 đặt 2
ax bx c t x a hoặc tx a
2/ Nếu c>0 đặt 2
ax bx c tx c hoặc tx c
3/ Nếu tam thức 2
ax bxc có biệt số 0 thì 2
ax bx c a xx xx Khi đó
1
ax bx c t xx
Bài tập áp dụng:
Tính các tích phân bất định sau:
Trang 41/ x2 4x dx2 2/ 2xx dx2 3/ x x 2dx
4/
2
1
dx
x x x
2
dt
x x
2
x dx
7/
2
dx
x x
2
dx
x x x
2
1
dx
x x x
10/
2 2
dx
Dạng 3:
Tính tích phân bất định:
dx I
Phương pháp giải
Bước 1: Thực hiện phép đổi biến:
1
1
t
a x b
ax b 1 pdx dt2
a t
Khi đó:
dx I
2
dt
Sau khi rút gọn ta được: 2 2
2
dt
t
a t b t c dt
t
a t bt c
B2: Tính các tích phân vừa tìm được
Bài tập áp dụng:
Tính các tích phân bất định sau:
1/
dx
x x x
dx
x x x
dx
x x x
4/
dx
x x x
dx
dx
x x x
7/
dx
x x x
dx
x x x
Dạng 4:
Tính tích phân bất định sau:
a x b
Trang 5B1:
Biến đổi: a x1 b1 a x2 b2
a2xb2
Đồng nhất hệ số: 2 1
( trong đó: a a b b1; 2; ;1 2 là các hằng số )
Giải hệ phương trình trên tìm ,
2
a x b
a x b ax bx c
dx
dx
B3: Tính 1
2
dx I
ax bx c
dx I
Dễ thấy I I1; 2 là hai dạng tích phân đã được nói đến ở phần trên
Bài tập áp dụng:
Tính các tích phân bất định sau:
x dx
x dx
2
x dx
x dx
x
dx
2
x
dx
x x
x dx
x x
x dx
BÀI TẬP PHẦN TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
1 23
5
2
4
x
x
dx
2 2
3
2 x x2 1
dx
3
2 1
2
1 ( 2x 3 ) 4x2 12x 5
dx
4 2
1 x x3 1
dx
2 1
2
2008dx
1 x2 2008
dx
7 1
0
2 2
1 x dx
0
3 2
) 1
1
2 2 2
1
1
dx x
x x
10 2
2
0 1
1
dx x
x
11 1
0 ( 1 x2)3
dx
12 2
2
0 ( 1 x2)3
dx
Trang 613 1
0
2
2
2
1 x
dx x
15 2
0 7 cos 2 cos
x xdx
0
2
cos cos
sin
dx x x
0 2 cos2 cos
x
xdx
18 2
0 1 3 cos
sin 2 sin
dx x
x x
19 7
3
1 x
dx
x
20 3
0
2 3
10 x dx
0 2x 1
xdx
22 1
3
1
x
x
dx
x
23 7
2 2x 1 1
dx
24 1x x dx
0
8 15
3 1
25 ln3
0 e x 1
dx
27
1
1 1 x x2 1
dx
28 ln2
0
2
1
x x e
dx e
29 1
4
5
2
8 4
x
x x
1
ln ln 3 1
31 3
0
2
3 5
1
dx x
x x
32 4 x x x dx
0
2 3
0 1
3 2
) 1
2 ln
2
1 ln
ln
dx x x x
0
2 2
cos
3 2 cos
2
cos
dx x
tgx x
x
36 ln2
0 ( x 1 )3
x
e
dx e
37 3
0 2 cos 2 cos
x xdx
38 2
0 1 cos2
cos
x
xdx
x
x
7
0
2
40 a x a dx
2 0
2 2