ĐỀ ÁN TỐT NGHIỆP-CÁC MÔ HÌNH VŨ TRỤ

Em xin cảm ơn các thầy cô trong khoa Vật lý trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội, đặc biệt là các thầy cô trong tổ Vật lý Đại cương, cùng bạn bè đãtạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ em trong quá

Đại Học Sư Phạm Hà Nội

Khoa Vật Lý

− − − ? − − −

Các mô hình Vũ trụ

Khóa Luận Tốt Nghiệp

Sinh viên thực hiện: Đoàn Kiều Anh

Lớp: A K53 Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Quỳnh Lan

Hà Nội, 5 / 2007

C¸c m« h×nh Vò trô

Th¸ng 5 - 2007

Lời cảm ơn

Em xin chân thành bày tỏ lời cảm ơn tới cô Nguyễn Quỳnh Lan, người

đã quan tâm, tận tình hướng dẫn, chỉ bảo, cung cấp tài liệu, phương thứcnghiên cứu cho em trong suốt quá trình thực hiện đề tài khóa luận tốt nghiệp

Em xin cảm ơn các thầy cô trong khoa Vật lý trường Đại Học Sư Phạm

Hà Nội, đặc biệt là các thầy cô trong tổ Vật lý Đại cương, cùng bạn bè đãtạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ em trong quá trình hoàn thiện khóa luận này.Con xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới bố mẹ, gia đình và người thân vì đãluôn bên con, ủng hộ con để con đạt được kết quả như ngày hôm nay.Bản khóa luận hoàn thành trong sự cố gắng, nỗ lực của em, song do đặc

điểm thiên văn học ở Việt Nam chưa phát triển, tài liệu nghiên cứu khôngnhiều mà chủ yếu là tài liệu nước ngoài, bên cạnh đó thời gian nghiên cứu,kinh nghiệm nghiên cứu khoa học còn hạn chế nên khóa luận này không thểtránh khỏi những thiếu sót Vì vậy, em kính mong nhận được sự đóng góp ýkiến của các thầy cô và các bạn để đề tài này của em được hoàn thiện hơn

Mục lục

1.1 Phương trình 6

1.2 Hệ số giãn nở Vũ trụ (scale factor) 10

2 Mô hình Vũ trụ chuẩn 12 2.1 Mô hình Big Bang 12

2.2 Phương trình Friedmann 13

2.3 Mật độ năng lượng tổng cộng 16

2.3.1 Phương trình trạng thái 16

2.3.2 Xét mối quan hệ với hệ số giãn nở Vũ trụ 17

2.3.3 Sự giãn nở theo thời gian 18

2.4 Quan sát sự giãn nở của Vũ trụ 19

2.4.1 Vũ trụ giãn nở 19

2.4.2 Số phận của Vũ trụ 22

2.4.3 Hạt chân trời 24

2.4.4 Khoảng cách Vũ trụ 25

2.5 Tuổi của Vũ trụ 27

2.5.1 Tính tuổi Vũ trụ qua scale factor a(t) 27

2.5.2 Tính tuổi Vũ trụ qua độ dịch chuyển đỏ z 29

3 Mô hình năng lượng tối 33 3.1 Bằng chứng về sự gia tốc của Vũ trụ 33

3.1.1 Đo khoảng cách 33

3.1.2 Thăm dò sự giãn nở của Vũ trụ 34

3.2 Giới thiệu năng lượng tối 34

3.3 M« h×nh vò trô víi qu¸ tr×nh r· vËt chÊt tèi 36Phô lôc · · · 43

Mở đầu

Ngày nay Vũ trụ học công nhận rằng Vũ trụ của chúng ta bắtnguồn từ vụ nổ lớn Big Bang Từ đó Vũ trụ tiến triển theo thời gian cho đếnbây giờ Với sự phát triển mạnh mẽ của Vật lý học, khoa học luôn muốn tìmhiểu các loại tương tác và sự thống nhất giữa chúng Vũ trụ học và Thiênvăn vật lý cũng vậy Vũ trụ còn rất nhiều bí mật chưa được khám phá, conngười cần phải đi tìm những chiếc chìa khóa để mở từng cánh cửa nhằm tiếnsâu hơn nữa vào Vũ trụ, cố gắng giải thích những điều kì bí nằm trong đó.Các mô hình Vũ trụ lần lượt ra đời

Có rất nhiều mô hình Vũ trụ Từ xa xưa con người đã đưa ra mô hình

Vũ trụ thần linh, mô hình Vũ trụ thần thoại (chính vì thế mà ta mới có nhữngcâu chuyện thú vị về các vì sao) Rồi xa hơn khi con người có những nhận xétqua quan sát chuyển động của các thiên thể, mô hình địa tâm của Ptoleme vàmô hình nhật tâm của Copernic xuất hiện [1] Và đây chính là những bước

đệm thúc đẩy, khích lệ loài người bước chân vào nghiên cứu Vũ trụ bao la

ước lượng tuổi của Vũ trụ trong mỗi mô hình, đối chiếu kết quả thu được vớinhững thông tin hiện nay ta có thể đánh giá những gì đã đạt được và chưa

đạt được của từng mô hình Bản khóa luận cũng giới thiệu một cách cơ bản

về năng lượng tối - một thành phần chiếm tỉ lệ không nhỏ trong Vũ trụ hiệnnay (chiếm 73% năng lượng Vũ trụ [2])

Từ mục đích đó, tôi lựa chọn phương pháp nghiên cứu là phương phápgiải tích và tính số

Khóa luận trình bày với bố cục ba phần: phần mở đầu, phần nội dungchính, phần kết luận

Mô hình đơn giản nhất , đó là cho vế phải của phương trình trên bằngkhông (coi như không có sự đóng góp của tenxơ năng xung lượng Tàν = 0),một mô hình không vật chất, không bức xạ, chỉ có năng lượng chân không.Chương 2: Mô hình Vũ trụ chuẩn

Giới thiệu về mô hình Big Bang [3]- mô hình giải thích nguồn gốc Vũtrụ đang được khoa học thừa nhận

Tổng quát hơn mô hình de Sitter, mô hình Vũ trụ chuẩn có xét đến cả

sự có mặt của vật chất và bức xạ ngoài năng lượng chân không Mô hình nàytìm sự phụ thuộc giữa các yếu tố như mật độ năng lượng, hệ số giãn nở Vũtrụ, các thông số Vũ trụ và sự phụ thuộc của chúng vào sự giãn nở của Vũtrụ Từ đó tùy thuộc sự đóng góp của các thành phần mà Vũ trụ sẽ thể hiệnmột cách riêng tương ứng Qua đó ta có thể thiết lập được biểu thức tính tuổicủa Vũ trụ

Sử dụng mô hình Vũ trụ chuẩn để tìm mối quan hệ giữa các thông số

Vũ trụ, hệ số giãn nở, mật độ năng lượng , và sự thay đổi của các đại lượng

đó khi Vũ trụ giãn nở Từ đó ước lượng tuổi Vũ trụ

Chương 3: Năng lượng tối

Giới thiệu về năng lượng tối và các bằng chứng cho sự tồn tại của nănglượng tối cũng như các mô hình cho năng lượng tối

Chương 1

Mô hình Vũ trụ de Sitter

Mô hình Vũ trụ là những giả thuyết được xây dựng trên những lý thuyết

đã được khoa học công nhận là đúng Thuyết tương đối rộng của Einstein

ra đời đã cung cấp nền tảng lý thuyết cho Vũ trụ học, nguyên lý tương đốirộng được khoa học thừa nhận là một lý thuyết tổng quát nhất cho mọi vật.Vì thế các mô hình Vũ trụ đều được xây dựng dựa vào cơ sở lý thuyết vữngchắc này

Phương trình Einstein là nguồn gốc hình thành của các mô hình Vũ trụ

1.1 Phương trình

Phương trình hấp dẫn Einstein:

Ràν − 1

2gàνR = 8ΠGTàν (1.1)Trước đây có ý kiến cho rằng Vũ trụ của chúng ta là tĩnh tại Nhưngphương trình Einstein cho ta thấy Vũ trụ là đồng nhất và đẳng hướng, nókhông tĩnh mà luôn giãn nở hoặc co lại Einstein cho rằng nhất thiết số hạng

gàν phải có mặt trong phương trình đầy đủ của ông (tức là phải có thành phầnkhông gian ở trong phương trình tổng quát) Như thế phương trình đầy đủcủa Einstein là:

Ràν − 1

2gàνR − Λgàν = 8ΠGTàν (1.2)trong đó:

Ràν là tenxơ độ cong Ricci;

Trong trường hợp không có vật chất hoặc bức xạ (có nghĩa là Tàν = 0),

ta có phương trình de Sitter:

Ràν − 1

2gàνR = Λgàν . (1.5)Nguyên lý Vũ trụ cho ta biết Vũ trụ của chúng ta là đồng nhất và đẳnghướng Để mô tả Vũ trụ ta sử dụng metric Robertson - Walker:

ds2 = dt2 − a2(t)( dr

2

1 − kr2 + r2dθ2 + r2sin2θdφ2) (1.6)trong (1.5) Ràν là tenxơ Ricci:

Ràν = Rαàαν , (1.7)với:

R00 = Rα0α0 = ∂Γ

α 00

∂xα − ∂Γ

α 0α

∂x0 + ΓααλΓλ00− Γα0λΓλα0 Thay c¸c kÝ hiÖu Christoffel võa tÝnh vµo ta suy ra:

R00 = −3¨

a .b) Thµnh phÇn 11:

R11 = Rα1α1 = ∂Γ

α 11

∂xα − ∂Γ

α 1α

∂x1 + ΓααλΓλ11− Γα1λΓλα1

Thay các giá trị vừa tìm được của các kí hiệu Christoffel ta suy ra:

R11 = −3ă

a ,c) thành phần 22:

R22 = Rα2α2 = ∂Γ

α 22

∂xα − ∂Γ

α 2α

∂x2 + ΓααλΓλ22− Γα2λΓλα2Thay các giá trị vừa tìm được của các kí hiệu Christoffel ta suy ra:

R22 = (ăaa + 2 ˙a2 + 2k)r2d) thành phần 33:

R33 = Rα3α3 = ∂Γ

α 33

∂xα − ∂Γ

α 3α

∂x3 + ΓααλΓλ33− Γα3λΓλα3Thay các giá trị vừa tìm được của các kí hiệu Christoffel ta suy ra:

a2]Phương trình de Sitter ứng với những thành phần thời gian và khônggian:

+) Với thành phần 00:

Phương trình tương ứng là:

R00 − 1

2g00R = Λg00tương đương:

3(˙a

a)

2+ 3k

+) Với thành phần 11:

R11 − 1

2g11R = Λg11suy ra:

+) Với thành phần 22:

R22− 1

2g22R = Λgsuy ra tương tự:

Cũng thay vào như trên:

R33 − 1

2g33R = Λg33suy ra:

1.2 Hệ số giãn nở Vũ trụ (scale factor)

Theo định luật Hubble thì:

mà ta biết:

r(t) = a(t)r0với r(t) là bán kính Vũ trụ, a(t) là hệ số tỉ lệ (scale factor), còn r0 là toạ độ

đồng chuyển động (comoving coordinate) (thường chọn r0 =1)

a(t) = exp(Ht) = exp(

rΛ

Ta thấy a(t) tăng nhanh theo hàm số mũ của thời gian, điều này dùng

để giải thích cho sự lạm phát của Vũ trụ, Vũ trụ giãn nở rất nhanh nên trông

nó như một mặt phẳng (ta gọi là Vũ trụ phẳng) [4]

Mô hình de Sitter đã dựa trên phương trình tương đối rộng của stein đi tìm mối quan hệ của hệ số giãn nở Vũ trụ vào thời gian Tuy nhiênmô hình này mới chỉ xét đến Vũ trụ một thành phần, hoàn toàn bỏ qua sự cómặt của các thành phần quan trọng khác mà chúng ta đã biết đến Nên môhình de Sitter chỉ giải quyết được một phần nhỏ trong sự tiến hóa của Vũ trụ

Ein-mà thôi Ta cần phải tìm một mô hình tổng quát hơn, đó chính là mô hình

Vũ trụ chuẩn

Trong năm 1922, Friedmann đã tìm ra một nghiệm của phương trìnhEinstein, cho rằng Vũ trụ là không tĩnh tại mà hoặc giãn nở hoặc co sập lại.Năm 1929 có một khám phá vĩ đại của Hubble, rằng những tinh vân ở

xa là những thiên hà nằm ngoài Thiên hà của chúng ta Bằng việc quan sát

sự dịch chuyển về phía đỏ của những thiên hà này, Hubble thấy rằng Vũ trụkhông ở trạng thái tĩnh mà nó đang giãn nở, sau đó ông khái quát thành địnhluật mang tên ông, định luật Hubble:

v = HrNăm 1946, làm việc trên lý thuyết về sự dư dật các yếu tố nhẹ, Gamov

đề xuất rằng Vũ trụ trong thời gian đầu là rất nóng và đậm đặc Tiếp tục côngviệc của Gamov, Alpher và Herman đã viết ra một chương trình dự đoán rằng

Vũ trụ bị lấp đầy bởi bức xạ vô tuyến với quang phổ vật đen ở khoảng 5K[5]

Tất cả những ý kiến này dẫn chúng ta tới một bức tranh: mọi thiên hà

đều bắt đầu từ một điểm cực nóng và độ đậm đặc là vô cùng, sau đó thì giãn

nở, dần dần hạ nhiệt độ khi giãn nở Khái niệm đó được gọi là "The hot BigBang" (Vụ nổ lớn nóng)

Có những bằng chứng chứng tỏ cho mô hình "Hot Big Bang", đó là [6]:+) Sự dịch chuyển đỏ của những thiên hà xa xôi: là chứng cứ đầutiên của Vũ trụ đang giãn nở

+) Sự tổng hợp hạt nhân nguyên thủy: Những dự đoán về sự dưdật nguyên tố nhẹ từ sự tổng hợp hạt nhân trong Big Bang đã được đề xuất,

và đã được chấp nhận với những quan sát thiên văn học

+) Việc tìm ra bức xạ nền Vũ trụ CMB năm 1965 bởi Penziad

và Wilson Quang phổ của CMB rất gần với lý thuyết dự đoán, nó dườngnhư rất đẳng hướng trong toàn không gian với nhiệt độ khoảng 2,7K, rất gầnvới tiên đoán của Alpher và Herman Việc khám phá ra CMB cung cấp mộtbằng chứng cụ thể cho lý thuyết Big Bang, chống lại lý thuyết trạng thái tĩnh

∗

Cũng như mô hình de Sitter dựa trên yếu tố đường dạng (1.6) nhưng môhình chuẩn của Vũ trụ tổng quát hơn vì nó có chứa những dạng năng lượngkhác năng lượng chân không như là vật chất và bức xạ Mô hình chuẩn cungcấp nền tảng cho mô hình Big Bang - một mô hình thành công trong việcgiải thích nhiều đặc tính quan trọng trong quan sát Vũ trụ

Trong chất lưu Vũ trụ, ta đưa ra hệ đồng chuyển động, nơi mà chất lưu

là hoàn toàn đẳng hướng

2.2 Phương trình Friedmann

Trong mô hình Friedmann - Lemaitre - Robertson - Walker đồng nhất

và đẳng hướng (FLRW), có yếu tố đường trong hệ toạ độ đồng chuyển động

(xét trong hệ toạ độ cầu) là:

ds2 = dt2 − a2(t)( dr

2

1 − kr2 + r2d2θ + r2sin2θd2φ) (2.1)Trong mô hình chuẩn ta có xét đến sự có mặt của vật chất, bức xạ nghĩa

là có sự đóng góp của tenxơ năng xung lượng Tàν từ vật chất và bức xạ

Đối với hạt đứng yên trong hệ toạ độ đồng chuyển động thì nó thoảmãn phương trình trắc địa (phương trình chuyển động của hạt trong khônggian):

d2xi

ds2 + Γiàνdx

àds

dx0

ds = 0(điều này hoàn toàn đúng vì Γi

00 =0) )

Điều đó chỉ ra rằng một hạt có một vận tốc đặc biệt nào đó liên quan

đến hệ đồng chuyển động sẽ đứng yên khi Vũ trụ giãn nở Vũ trụ là đẳnghướng ở mọi điểm trong hệ đồng chuyển động Từ đó sẽ dẫn tới một đặc

điểm rất thú vị của mô hình đồng nhất như mô hình FLRW là: mọi quan sátviên đều thấy một Vũ trụ đẳng hướng từ bất cứ nơi đâu (do vậy, mỗi người

đều thấy mình là trung tâm của Vũ trụ), nếu như họ đứng yên trong hệ đồngchuyển động địa phương (r, θ, φ không đổi)

Như ta đã biết tenxơ năng xung lượng:

Tàν = (p + ρ)uàuν − pgàν (2.3)trong đó p là áp suất chất lưu; ρ là mật độ năng lượng tổng cộng; uà là vectơvận tốc 4 chiều

Điều kiện đạo hàm hiệp biến:

với:

T;αàν = T,αàν + ΓàαρTρν + ΓναρTρà

Như vậy phương trình Einstein bây giờ là:

Ràν − 1

2gàν = 8ΠGTàν. (2.5)Gọi ρ là mật độ năng lượng tổng cộng của vật chất, bức xạ,năng lượngchân không thì:

ρ = ρm + ρrad+ ρvac (2.6)Trong chương trước chúng ta chỉ xét mô hình Vũ trụ không có vật chấthay bức xạ, còn ở trong chương này chúng ta xét mô hình FLRW có sự đónggóp của vật chất và bức xạ

a2]

=⇒ ˙ρ = 3

8πG[2

˙aa

a2)]+a3 3

2ăaa+ 3

4πG(a ˙aăa − ˙a

3 − k ˙a)

3) = p d

dta

3+ ˙pa3 + d

dt(ρa

3)

(đây chính là phương trình liên tục của chất khí lí tưởng [7])

Qua phương trình (2.10) ta thấy rằng sự biến thiên mật độ năng lượngtổng cộng trong yếu tố thể tích dV = da3 cân bằng với −pd

+) Năng lượng chân không chi phối thì α = −1 =⇒ p = −ρ (gây ra

sự lạm phát, giải thích sự giãn nở tăng tốc của Vũ trụ nguyên thủy)

2.3.2 Xét mối quan hệ với hệ số giãn nở Vũ trụ

Mật độ năng lượng ρ sẽ thay đổi như thế nào khi Vũ trụ giãn nở, nghĩa

là ta đi tìm mối quan hệ giữa mật độ năng lượng tổng cộng ρ với hệ số giãn

nở a(t) (scale factor)

Ta thay phương trình trạng thái vào phương trình (2.11) thu được:

d

dt(ρa

3) = −αρd

dta3

⇐⇒ ρa˙ 3 = −(1 + α)ρ d

dta3

(việc này xảy ra trong vài trăm nghìn năm sau vụ nổ lớn Big Bang)

+) Khi Vũ trụ bị thống trị bởi vật chất, nghĩa là α = 0 thì ta có:

2.3.3 Sự giãn nở theo thời gian

Hệ số giãn nở Vũ trụ thể hiện khác nhau ứng với từng trường hợp Vũtrụ bị chi phối bởi những thành phần khác nhau

+) Khi Vũ trụ chi phối bởi vật chất: α = 0

+) Khi Vũ trụ chi phối bởi năng lượng chân không: α = −1

Như ta đã biết từ (1.17) thì hệ số giãn nở tăng theo hàm e mũ:

Qua đó ta thấy rằng Vũ trụ với một tỉ lệ bất kì của vật chất, bức xạ,năng lượng chân không thì luôn luôn giãn nở (luôn tỉ lệ với thời gian) nênkhông bao giờ tồn tại ở một thể đóng (Xem hình 1 và hình 2 (trước Phụ lục)thể hiện sự tiến triển của hệ số giãn nở Vũ trụ vào thời gian)

2.4 Quan sát sự giãn nở của Vũ trụ

Những quan sát của Hubble về dịch chuyển đỏ đã chỉ ra rằng các thiên

hà chuyển động ra xa nhau Nếu gọi a(t0) là khoảng cách giữa thiên hà củachúng ta (Milky Way) với một thiên hà khác thì khoảng cách này đang tănglên, hay ˙a > 0 Ta mô tả Vũ trụ bằng một mô hình đồng nhất và đẳng hướngnhư mô hình FLRW:

ds2 = dt2 − a2(t)( dr

2

1 − kr2 + r2dθ2 + r2sin2θdφ2) (2.23)Với một mô hình đầy đủ và rõ ràng thì ta cần phải biết các thông sốnhư độ cong k, mật độ năng lượng ρ(t), hệ số giãn nở a(t), những đóng gópcủa các thành phần Vũ trụ (vật chất thường, vật chất tối, bức xạ, năng lượngchân không ) Đây là một nhiệm vụ quan trọng của mô hình Vũ trụ

2.4.1 Vũ trụ giãn nở

Vũ trụ là đồng nhất và đẳng hướng, có nghĩa là mọi người sẽ quan sátnhư nhau ở cùng một thời điểm Đó là, một người ở thiên hà cách chúng tahàng tỉ năm ánh sáng cũng quan sát thấy những gì mà Hubble đã quan sát:tất cả các thiên hà khác đều chuyển động ra xa thiên hà đó với vận tốc làmột hàm tuyến tính phụ thuộc vào khoảng cách (như công thức Hubble)

Ta đưa ra một hệ hay được sử dụng đó là hệ đồng chuyển động, mà ởtại mỗi nơi bức xạ nền viba là đẳng hướng

Metric (2.23) có ý nghĩa: với những vùng có nhiệt độ ổn định t = t0trong Vũ trụ thì Vũ trụ giống như một trong những mô hình cơ bản với k =

1, 2, 3 Trường hợp đặc biệt ta liên kết từng thiên hà có tọa độ (ri, θi, ϕi) ởthời điểm ban đầu các thiên hà đều có cùng tọa độ (ri, θi, ϕi), có một điềuxảy ra là tất cả các khoảng cách của Vũ trụ đều bị kéo giãn bởi hệ số tỉ lệa(t) Tại thời điểm t1 ta có hệ số a(t1), tại thời điểm t2 ta có hệ số a(t2),nghĩa là mọi khoảng cách đều bị giãn nở với hệ số tỉ lệ a(t1)

a(t2) Ta thấy rằng

Vũ trụ giãn nở theo đúng định luật Hubble: