Đề thi và đáp án toán 2002-2014

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD.. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, mặtbên SBC là tam giác đều cạnh a và mặt phẳng SBC vuông góc với

Trang 2

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2014

ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số y = x3

− 3mx + 1 (1), với m là tham số thực

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1

b) Cho điểm A(2; 3) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị B và C sao chotam giác ABC cân tại A

Câu 2 (1,0 điểm) Giải phương trình √2(sin x − 2 cos x) = 2 − sin 2x.

Câu 3 (1,0 điểm) Tính tích phân I =

a) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 2z + 3(1 − i) z = 1 − 9i Tính môđun của z

b) Để kiểm tra chất lượng sản phẩm từ một công ty sữa, người ta đã gửi đến bộ phậnkiểm nghiệm 5 hộp sữa cam, 4 hộp sữa dâu và 3 hộp sữa nho Bộ phận kiểm nghiệmchọn ngẫu nhiên 3 hộp sữa để phân tích mẫu Tính xác suất để 3 hộp sữa được chọncó cả 3 loại

Câu 5 (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 0; −1) và đườngthẳng d : x − 1

Câu 7 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD Điểm

M(−3; 0) là trung điểm của cạnh AB, điểm H(0; −1) là hình chiếu vuông góc của B trên

rb

c2(a + b).

Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh:

Trang 3

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM

(Đáp án - Thang điểm gồm 03 trang)

Các khoảng đồng biến: (−∞; −1) và (1; +∞); khoảng nghịch biến: (−1; 1).

- Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = −1, y CĐ = 3; đạt cực tiểu tại x = 1, yCT = −1.

- Giới hạn tại vô cực: lim

Đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị ⇔ phương trình y 0

= 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ m > 0 0,25 Tọa độ các điểm cực trị B, C là B(−√m; 2 √

1

WWW.ToanCapBa.Net

Trang 4

Câu Đáp án Điểm

2 Phương trình đã cho tương đương với 2 sin x cos x − 2√2 cos x + √

(1,0đ) a) Đặt z = a + bi (a, b ∈ R) Từ giả thiết suy ra 5a − 3b = 13a + b = 9 0,25

b) Số phần tử của không gian mẫu là: C 3

(1,0đ) Mặt phẳng (P) cần viết phương trình là mặt phẳng qua A và nhận −→u làm vectơ pháp tuyến,

nên (P) : 2(x − 1) + 2(y − 0) − (z + 1) = 0, nghĩa là (P) : 2x + 2y − z − 3 = 0. 0,25Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên d, suy ra H(1 + 2t; −1 + 2t; −t) 0,25

Trang 5

Câu Đáp án Điểm7

(1,0đ) với BC Suy ra −−→Gọi E và F lần lượt là giao điểm của HM và HGH M = −−→M E và −−→ H G = 2 −−→GF,

Do đó E(−6; 1) và F(2; 5).

2x + y + 1 = 0 Suy ra B(−2; 3).

0,25

Do M là trung điểm của AB nên A(−4; −3).

Gọi I là giao điểm của AC và BD, suy ra −→ GA = 4 −→GI Do đó I

0;32

2 Đối chiếu điều kiện (∗) và kết hợp trường hợp trên, ta được nghiệm (x; y) của hệ đã cho là (3; 1) và 1 + √

5

−1 +√5 2

i

−12

Trang 6

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số y = x3

− 3x − 2 (1)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1)

b) Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M có hệ số góc bằng 9

Câu 2 (1,0 điểm) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (3z − z)(1 + i) − 5z = 8i − 1.Tính môđun của z

π 4

Z

0

(x + 1) sin 2x dx

Câu 4 (1,0 điểm)

a) Giải phương trình log2(x − 1) − 2 log4(3x − 2) + 2 = 0

b) Cho một đa giác đều n đỉnh, n ∈ N và n ≥ 3 Tìm n biết rằng đa giác đã cho có 27đường chéo

Câu 5 (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng(P ) : 6x + 3y − 2z − 1 = 0 và mặt cầu (S) : x2

+ y2

+ z2

− 6x − 4y − 2z − 11 = 0 Chứngminh mặt phẳng (P ) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là một đường tròn (C) Tìm tọađộ tâm của (C)

Câu 6 (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, mặtbên SBC là tam giác đều cạnh a và mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt đáy Tínhtheo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, BC

Câu 7 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có chânđường phân giác trong của góc A là điểm D(1; −1) Đường thẳng AB có phương trình3x + 2y − 9 = 0, tiếp tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có phươngtrình x + 2y − 7 = 0 Viết phương trình đường thẳng BC

Câu 8 (1,0 điểm) Giải bất phương trình (x + 1)√x + 2 + (x + 6)√x + 7 ≥ x2

+ 7x + 12.Câu 9 (1,0 điểm) Cho hai số thực x, y thỏa mãn các điều kiện 1 ≤ x ≤ 2; 1 ≤ y ≤ 2.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

−−−−−−Hết−−−−−−

Trang 7

Các khoảng đồng biến: (−∞; −1) và (1; +∞); khoảng nghịch biến: (−1; 1).

- Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = −1, y CĐ = 0; đạt cực tiểu tại x = 1, y CT = −4.

- Giới hạn tại vô cực: lim

Tọa độ điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán là M(2; 0) hoặc M(−2; −4) 0,25

2 Đặt z = a + bi (a, b ∈ R) Từ giả thiết ta được [3(a + bi) − (a − bi)](1 + i) − 5(a + bi) = 8i − 1 0,25 (1,0đ)

Trang 8

π 4

0 +12

π 4

0 +1

4sin 2x

π 4

Tâm của (C) là hình chiếu vuông góc H của I trên (P) Đường thẳng ∆ qua I và vuông góc

với (P) có phương trình là x− 3

Gọi K là hình chiếu vuông góc của H trên SA, suy ra

H K ⊥ SA Ta có BC ⊥ (SAH) nên BC ⊥ HK.

Do đó HK là đường vuông góc chung của BC và SA. 0,25

Trang 9

3x + 2y − 9 = 0

EB < EC) Ta có \ EAB = \ ACB và \ BAD = \ DAC, suy ra

\ EAD = \ EAB + \ BAD = \ ACB + \ DAC = \ ADE.

Do đó, tam giác ADE cân tại E.

x + y

x + y + 1 +

1 4(x + y − 1).

8 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 7

Trang 10

−−−−−−−−−− Môn: TOÁN; Khối A và Khối A1

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số y = x+ 2

x − 1 (1).

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1)

b) Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng y = −x bằng√2.Câu 2 (1,0 điểm) Giải phương trình sin x + 4 cos x = 2 + sin 2x

Câu 3 (1,0 điểm) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = x2

− x + 3 và đườngthẳng y = 2x + 1

Câu 4 (1,0 điểm)

a) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z + (2 + i) z = 3 + 5i Tìm phần thực và phần ảo của z.b) Từ một hộp chứa 16 thẻ được đánh số từ 1 đến 16, chọn ngẫu nhiên 4 thẻ Tính xác suấtđể 4 thẻ được chọn đều được đánh số chẵn

Câu 5 (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : 2x+y−2z−1 = 0và đường thẳng d : x − 2

Câu 7 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có điểm Mlà trung điểm của đoạn AB và N là điểm thuộc đoạn AC sao cho AN = 3NC Viết phươngtrình đường thẳng CD, biết rằng M(1; 2) và N(2; −1)

Câu 8 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình

= 2.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Trang 11

P P P P P P P

Trang 12

Câu Đáp án Điểm

2 Phương trình đã cho tương đương với sin x + 4 cos x = 2 + 2 sin x cos x 0,25

2 1

0,25

= 1

4

(1,0đ) a) Đặt z = a + bi (a, b ∈ R) Từ giả thiết suy ra 3a + b = 3a− b = 5 0,25

⇔ a = 2, b = −3 Do đó số phức z có phần thực bằng 2, phần ảo bằng −3 0,25 b) Số phần tử của không gian mẫu là: C 4

d có vectơ chỉ phương − →u = (1;−2; 3), (P ) có vectơ pháp tuyến −→n = (2; 1; −2).

Mặt phẳng (α) cần viết phương trình có vectơ pháp tuyến [ − →u , −→n] = (1; 8; 5). 0,25

Ta có A(2; 0; −3) ∈ d nên A ∈ (α) Do đó (α) : (x − 2) + 8(y − 0) + 5(z + 3) = 0,

Gọi K là hình chiếu vuông góc của H trên BD và

E là hình chiếu vuông góc của H trên SK Ta có

4 Suy ra HE = √ H S.H K

Trang 13

4 , nên MN 2

+ (y − 2) 2

= 16 (x − 2) 2 + (y + 1) 2 = 2 ⇔ h

x = 1; y = −2

x = 17

5 ; y = −65.

• Với x = 1; y = −2 ta có I(1; −2) và −−→IM = (0; 4).

Đường thẳng CD đi qua I và có vectơ pháp tuyến là −−→ IM, nên có phương trình y + 2 = 0. 0,25

5 , nên f(t) ≤ 59 khi 0 ≤ t ≤√6.

Do đó P ≤ 59 Khi x = y = 1 và z = 0 thì P = 5

9 Do đó giá trị lớn nhất của P là 5

Trang 14

−−−−−−−−−− Môn: TOÁN; Khối A và khối A1ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)

Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số y = −x3

+ 3x2+ 3mx − 1 (1), với m là tham số thực

b) Tìm m để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng (0; + ∞)

Câu 2 (1,0 điểm) Giải phương trình 1 + tan x = 2√2 sinx+π

4

.Câu 3 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình

− 6y + 1 = 0 (x, y ∈ R)

2Z1

Câu 6 (1,0 điểm) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện (a + c)(b + c) = 4c2 Tìm giá trịnhỏ nhất của biểu thức P = 32a

3(b + 3c)3 + 32b

3(a + 3c)3 −

√

a2+ b2

II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)

A Theo chương trình Chuẩn

Câu 7.a (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm C thuộcđường thẳng d: 2x + y + 5 = 0 và A(−4; 8) Gọi M là điểm đối xứng của B qua C, N là hình chiếuvuông góc của B trên đường thẳng MD Tìm tọa độ các điểm B và C, biết rằng N(5; −4)

Câu 8.a (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆: x − 6

−3 = y+ 1

−2 = z+ 2

1và điểm A(1; 7; 3) Viết phương trình mặt phẳng (P ) đi qua A và vuông góc với ∆ Tìm tọa độ điểm

M thuộc ∆ sao cho AM = 2√30

Câu 9.a (1,0 điểm) Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm ba chữ số phân biệt được chọn từcác chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 Xác định số phần tử của S Chọn ngẫu nhiên một số từ S, tính xác suấtđể số được chọn là số chẵn

B Theo chương trình Nâng cao

Câu 7.b (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng ∆ : x − y = 0 Đườngtròn (C) có bán kính R =√10 cắt ∆ tại hai điểm A và B sao cho AB = 4√2 Tiếp tuyến của (C)tại A và B cắt nhau tại một điểm thuộc tia Oy Viết phương trình đường tròn (C)

Câu 8.b (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P ): 2x + 3y + z − 11 = 0và mặt cầu (S): x2

+ y2+ z2

− 2x + 4y − 2z − 8 = 0 Chứng minh (P ) tiếp xúc với (S) Tìm tọa độtiếp điểm của (P ) và (S)

Câu 9.b (1,0 điểm) Cho số phức z = 1+√3 i Viết dạng lượng giác của z Tìm phần thực và phần ảocủa số phức w = (1 + i)z5

−−−−−−Hết−−−−−−Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Trang 15

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

Khoảng đồng biến: (0; 2); các khoảng nghịch biến: ( −∞ ; 0) và (2; + ∞ ).

- Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, yCT = −1; đạt cực đại tại x = 2, y CĐ = 3

Trang 16

Mà g(1) 0, = nên (4) có hai nghiệm không âm là y= và 0 y= 1.

Với y= 0 ta được nghiệm ( ;x y) (1; 0); = với y= ta được nghiệm ( ; ) (2; 1) 1 x y =

Vậy nghiệm ( ; )x y của hệ đã cho là (1; 0) và (2; 1).

Tam giác ABC vuông tại A và H là trung điểm của BC nên

HA = HB Mà SH ⊥ (ABC), suy ra SA = SB = a Gọi I là

Trang 17

Khi a= =b c thì P= − 1 2 Do đó giá trị nhỏ nhất của P là 1− 2 . 0,25

Do C d∈ nên ( ; 2C t − −t 5). Gọi I là tâm của hình chữ nhật ABCD, suy ra I là trung điểm của AC

+ ⎞⎟

⎠ 1.

t

⇔ = Suy ra C(1; 7).−

0,25

Do M đối xứng với B qua C nên CM = CB Mà CB = AD

và CM||AD nên tứ giác ACMD là hình bình hành Suy ra

AC||DM Theo giả thiết, BN ⊥ DM, suy ra BN ⊥ AC và

CB = CN Vậy B là điểm đối xứng của N qua AC

Trang 18

Đường thẳng IM qua M và vuông góc với Δ nên có phương

trình x + − = Do đó tọa độ điểm H thỏa mãn hệ y 8 0.

Trang 19

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số y = 2x3

− 3mx2+ (m − 1)x + 1 (1), với m là tham số thực

b) Tìm m để đường thẳng y = −x + 1 cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt

Câu 2 (1,0 điểm) Giải phương trình sin 3x + cos 2x − sin x = 0

Câu 3 (1,0 điểm) Giải phương trình 2 log2x+ log1

2 1 −√x = 1

2log√2 x − 2√x+ 2

1Z0

(x + 1)2

x2+ 1 dx.

Câu 5 (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, cạnh bên SA vuông gócvới đáy, \BAD = 120◦, M là trung điểm của cạnh BC và \SM A= 45◦ Tính theo a thể tích củakhối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBC)

Câu 6 (1,0 điểm) Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện xy ≤ y − 1 Tìm giá trị lớnnhất của biểu thức P = x+ y

px2

− xy + 3y2 − x − 2y

6(x + y).

Câu 7.a (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có điểm M

−9

2;

32

là trung điểm của cạnh AB, điểm H(−2; 4) và điểm I(−1; 1) lần lượt là chân đường cao kẻ từ Bvà tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Tìm tọa độ điểm C

Câu 8.a (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(−1; −1; −2), B(0; 1; 1)và mặt phẳng (P ) : x+y+z−1 = 0 Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A trên (P) Viết phươngtrình mặt phẳng đi qua A, B và vuông góc với (P )

Câu 9.a (1,0 điểm) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (1 + i)(z − i) + 2z = 2i Tính môđun củasố phức w = z − 2z + 1

z2

Câu 7.b (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : (x−1)2

+(y −1)2

= 4và đường thẳng ∆ : y − 3 = 0 Tam giác MNP có trực tâm trùng với tâm của (C), các đỉnh Nvà P thuộc ∆, đỉnh M và trung điểm của cạnh MN thuộc (C) Tìm tọa độ điểm P

Câu 8.b (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(−1; 3; −2) và mặt phẳng(P ) : x − 2y − 2z + 5 = 0 Tính khoảng cách từ A đến (P ) Viết phương trình mặt phẳng đi qua

A và song song với (P )

Câu 9.b (1,0 điểm) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = 2x2− 3x + 3

x+ 1trên đoạn [0; 2]

−−−−−−Hết−−−−−−

Trang 20

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM

ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2013

Môn: TOÁN; Khối D

(Đáp án - thang điểm gồm 04 trang)

Các khoảng đồng biến: ( −∞ ; 0) và (1; + ∞ khoảng nghịch biến: (0; 1) );

- Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1, yCT = 0; đạt cực đại tại x = 0, yCĐ = 1

Trang 21

7π 2π 6

x x

dx x 1

1

1 2

0

2

d ln( 1) ln 2 1

a AM

2

ABCD

a S

SAM

Δ vuông tại A có n SMA= 45 o ⇒ ΔSAM

Trang 22

6( 1) 3

Trang 24

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số y = 2x3

− 3(m + 1)x2+ 6mx (1), với m là tham số thực

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = −1

b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A và B sao cho đường thẳng AB vuông góc vớiđường thẳng y = x + 2

Câu 2 (1,0 điểm) Giải phương trình sin 5x + 2 cos2

x= 1

Câu 3 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình

(2x2+ y2

− 3xy + 3x − 2y + 1 = 04x2

− y2+ x + 4 =√

2x + y +√

x+ 4y (x, y ∈ R).Câu 4 (1,0 điểm) Tính tích phân I =

1Z0

x√

2 − x2dx

Câu 5 (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giácđều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Tính theo a thể tích của khối chópS.ABCD và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD)

Câu 6 (1,0 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

a2+ b2+ c2

(a + b)p(a + 2c)(b + 2c).

Câu 7.a (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang cân ABCD có hai đườngchéo vuông góc với nhau và AD = 3BC Đường thẳng BD có phương trình x + 2y − 6 = 0 và tamgiác ABD có trực tâm là H(−3; 2) Tìm tọa độ các đỉnh C và D

Câu 8.a (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(3; 5; 0) và mặt phẳng(P ) : 2x + 3y − z − 7 = 0 Viết phương trình đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P ) Tìm tọađộ điểm đối xứng của A qua (P )

Câu 9.a (1,0 điểm) Có hai chiếc hộp chứa bi Hộp thứ nhất chứa 4 viên bi đỏ và 3 viên bi trắng,hộp thứ hai chứa 2 viên bi đỏ và 4 viên bi trắng Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra 1 viên bi, tính xácsuất để 2 viên bi được lấy ra có cùng màu

Câu 7.b (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có chân đường cao hạtừ đỉnh A là H17

5 ; −15, chân đường phân giác trong của góc A là D(5; 3) và trung điểm của cạnh

AB là M(0; 1) Tìm tọa độ đỉnh C

Câu 8.b (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1; −1; 1), B(−1; 2; 3) vàđường thẳng ∆ : x+ 1

2 log3(x − 1) − log√

3(y + 1) = 0

−−−−−−Hết−−−−−−

Trang 25

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2013

Môn: TOÁN; Khối B

(Đáp án - thang điểm gồm 04 trang)

Các khoảng đồng biến: ( −∞ − ; 1) và (1; + ∞ khoảng nghịch biến: (−1; 1) );

- Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1, yCT = −4; đạt cực đại tại x = −1, yCĐ = 4

Trang 26

x+ ≥y x+ y≥ Điều kiện: 2 0, 4 Từ (1) ta được y= + hoặc x 1 y 2x 1

⎟ Khi đó ta được nghiệm ( ; )x y là (0 ; 1).

Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm ( ; )x y của hệ đã cho là (0;1) và (1;2).

0,25

Đặt t= 2 −x2 ⇒t td = −x xd Khi x= thì 0 t= 2, khi x= thì 1 t= 1. 0,25

Suy ra

2 2 1

Trang 27

Gọi I là giao điểm của AC và BD⇒ IB=IC

Mà IB IC⊥ nên ΔIBC vuông cân tại I ⇒nICB= 45 o

BH ⊥ AD ⇒ BH ⊥ BC⇒ ΔHBC vuông cân tại B

⇒ I là trung điểm của đoạn thẳng HC

Số cách chọn 2 viên bi đỏ, mỗi viên từ một hộp là: 4.2 8 = 0,25

Số cách chọn 2 viên bi trắng, mỗi viên từ một hộp là: 3.4 12 = 0,25

0

f '( ) t

Trang 28

Phương trình đường thẳng AD là y − = Gọi N là điểm đối xứng 3 0.

của M qua AD Suy ra N AC∈ và tọa độ điểm N thỏa mãn hệ

1

3 0 2

Ta có JJJGAB= −( 2;3;2 ,) vectơ chỉ phương của Δ là uJG= − ( 2;1;3). 0,25

Đường thẳng vuông góc với AB và Δ, có vectơ chỉ phương là vJG= ⎡⎣JJJG JGAB u, ⎤⎦. 0,25

Trang 29

bộ giáo dục và đào tạo Kỳ thi tuyển sinh đại học, cao ĐẳnG năm 2002 - Môn thi : toán

Đề chính thức (Thời gian làm bài: 180 phút)

3 Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1)

Câu II.(ĐH : 1,5 điểm; CĐ: 2,0 điểm)

Cho phương trình : log log2 1 2 1 0

3

2

3 x+ x+ ư mư = (2) (m là tham số)

1 Giải phương trình (2) khi m=2

2 Tìm m để phương trình (2) có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn [1 ; 3 3]

Câu III (ĐH : 2,0 điểm; CĐ : 2,0 điểm )

1 Tìm nghiệm thuộc khoảng (0 ; 2π) của phương trình: cos2 3

2sin21

3sin3cos

x

5

2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y =|x2 ư4x+3| , y=x+3

Câu IV.( ĐH : 2,0 điểm; CĐ : 3,0 điểm)

1 Cho hình chóp tam giác đều S ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy bằng a Gọi M và Nlần lượt

là các trung điểm của các cạnh SB và SC Tính theo a diện tích tam giác AMN, biết rằng mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC)

2 Trong không gian với hệ toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz cho hai đường thẳng:

ư+

=

ư+

ư

0422

042

:

z y x

t y

t x

212

1:

2

a) Viết phương trình mặt phẳng (P)chứa đường thẳng ∆1 và song song với đường thẳng ∆2

b) Cho điểm M(2;1;4) Tìm toạ độ điểm H thuộc đường thẳng ∆2 sao cho đoạn thẳng MH

có độ dài nhỏ nhất

Câu V.( ĐH : 2,0 điểm)

1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Đêcac vuông góc Oxy , xét tam giác ABC vuông tại A,

phương trình đường thẳng BC là 3x ư yư 3=0, các đỉnh A và B thuộc trục hoành và

bán kính đường tròn nội tiếp bằng 2 Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC

2 Cho khai triển nhị thức:

n x n n

n x x

n n x

n x n

n x x

C C

1 1 3

1 2

1 1 2

1 0 3

2

1

22

Ghi chú: 1) Thí sinh chỉ thi cao đẳng không làm Câu V

2) Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh: Số báo danh:

Trang 30

"

,066

"=− x+ = y = ⇔ x=

y

B¶ng biÕn thiªn

∞+

y

Trang 31

≠

⇔

0 2 1

3 0 0

) 4 4 )(

1 (

3 0

2

k k

31

k k

k

Cách II Ta có

)(03

−+

>

++

31

033

0963

2 2

2

k k

k k k k

k k

∑0 đ,50,25 đ0,25 đ

-0,25đ

0,25 đ

∑0 đ,50,25 đ0,25 đ

2

1 '

m x

m x y

Ta thấy x1 ≠ x2 và 'y đổi dấu khi qua x và 1 x2 ⇒ hàm số đạt cực trị tại

1

x và x 2

23)

m x

m m x

y=2 − 2 +

Cách II y' =−3x2 +6mx+3(1−m2)=−3(x−m)2 +3, Ta thấy

0'09)1(99'= 2 + − 2 = > ⇒ =

m m x m mx

-0,25 đ

0,25 đ0,25 đ0,25 đ

∑1,0 đ

0,25 đ

0,25 đ0,25 đ

-0,25 đ

0,25đ0,25 đ0,25 đ

∑0 đ,50,25 đ

∑1 đ,00,5 đ

Trang 32

x thỏa mãn điều kiện x>0.

(Thí sinh có thể giải trực tiếp hoặc đặt ẩn phụ kiểu khác)

0,25 đ 0,5 đ

2.

0121log

3log

0]3,1

3 3

22222)2(

22)1(

f

m f

0,25 đ -

3sin3cos

2

12

x

x x

x

2sin21

3sin3cos

+

x

x x

x x x

2sin21

3sin3cos2sinsin2sin

−+

x

x x

x

2sin21

3sin3cos3coscos

sin

x

x x

cos52

sin21

cos)12sin2

Vậy ta có: 5cosx=cos2x+3⇔2cos2 x−5cosx+2=0

cosx=2 (loại) hoặc 2 ( )

32

1cosx= ⇒ x=±π + kπ k∈Z

∑1,0 đ

0,25 đ

0,25 đ0,25 đ

∑1,0 đ

0,25 đ

0,25 đ0,25 đ

Trang 33

sin x≠− VËy c¸c nghiÖm cÇn t×m lµ:

5

0

| 3

1 2 1

0

5 3

2 3 3

1

2 3 1

0

2 3

2

53

16

2

33

12

53

223

266

0-1

y

3

32

18

-1

Trang 34

1

=

⇒ // BC ⇒ lµ trung ®iÓm cña SK vµ MN I

Ta cã ∆SAB=∆SAC⇒ hai trung tuyÕn t−¬ng øng AM = AN

AMN AI

MN AMN

SBC

AMN SBC

244

2 2

BK SB

4

108

4

32

2 2 2

2 2

SA SI

2

AI MN

a C

a B

6

3

;0,0

;2

3

;0,0

;0

;2,0

;0

;2),

Trang 35

u

n P

2 2

01

;2

;1

2'3

'2:

'

t z

t y

t x t

21

;12

11

;22

12

0,25 ®

-0,25 ®0,25 ®

∑1 ®,00,5 ®

0,5 ®

-0,5 ®0,5 ®

-0,25 ®0,25 ®

∑1 ®,00,5 ®0,5 ®

-0,5 ®0,5 ®

Ta cã BCIOx=B( )1;0 §Æt x A = ta cã a A ( o a; ) vµ

.3

=

++

=

C B A G

y y y y

x x x x

;3

Trang 36

12

3

|3

|1

|3

13

−+

−

=++

=

a a

a BC

AC AB

S

13

|1

|

=+

;3

1341

.30: y=tg 0 x− = x− ⇒x I = ±

TH1 Nếu A và O khác phía đối với B⇒x I =1+2 3 Từ d(I,AC)=2

.323

2= ++

;3

134

Trang 37

)2)(

1(

!1

!5

n n

n

⇒ n1 =−4 (lo¹i) hoÆc n2 =7

Víi n=7 ta cã

.44

21402

.2.351402

3 3

0,25 ®0,25 ®

0,5 ®

Trang 38

Bộ giáo dục và đào tạo kỳ thi tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2003

- Môn thi : toán khối A

đề chính thức Thời gian làm bài : 180 phút

x

m x mx

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = ư1

2) Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và hai điểm đó có hoành

2cos1

11

3

x y

y

y x

x

Câu 3 (3 điểm)

1) Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' Tính số đo của góc phẳng nhị diện [B ,A'C,D]

2) Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Ox cho hình hộp chữ nhật

có trùng với gốc của hệ tọa độ,

yz

; 0; 0 ' ' ' '

ABCD A B C D A B a( ), (0; ; 0), '(0; 0; )D a A b

Gọi (a>0, b>0) M là trung điểm cạnh CC'

a) Tính thể tích khối tứ diện BDA M theo ' a và b

3(7

1

2

2 2

z

z y

y x

x

ưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưư HếT ưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưư

Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh: ……… …… Số báo danh: ………

Trang 39

Bộ giáo dục và đào tạo kỳ thi tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2003

đề thi chính thức Môn thi : toán Khối A

x x

Trang 40

x

m x mx

y cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt có hoành độ dương ⇔ phương trình f x( ) =mx2 + + = có 2 nghiệm dương phân biệt khác 1 x m 0

1 2

0

2 0

m m

sin cos

1 sin

x x x x

x

x x

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

ĐỀ THI TUYỂN... GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

ĐỀ THI TUYỂN... data-page="14">

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2013

−−−−−−−−−− Mơn: TỐN; Khối A khối A1ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

Định dạng
Số trang	261
Dung lượng	6,04 MB