Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua M và cắt E tại hai điểm phân biệt A, B sao cho M là trung điểm AB.. Chứng minh rằng: OM ON OP AB + AC+AD không đổi.. - Tương tự ta dựng được M,N...
Trang 1ĐÁP ÁN THI HSG TOÁN 11
I
Giải hệ phương trình:
2 2
2 2
y xy
x
-Nhận thấy y = 0 không là nghiệm
-Đặt x = ky Được hệ:
2
2 2
1 2 ) 2
( (
+ +
k y
k y
k k
k
k x
2
k 3k 4 0 k 1; k 4
- Với k = 1 Khi đó x = y, thế vào (1) được: 4x2 = 4 ⇔ = ±x 1⇒y= ±1
Vậy (1; 1), (-1; -1) là nghiệm
- Với k = -4 Khi đó thế x = -4y vào (1) được: 14y2 = 4 y 2
7
⇔ = ±
Vậy (4 2; 2), ( 4 2; 2)
7 − 7 − 7 7 là nghiệm
KL Hệ có 4 nghiệm: (1; 1), (-1; -1), (4 2; 2), ( 4 2; 2)
7 − 7 − 7 7
0.25
0.50 0.50
0.50
0.25
II
Tìm tất cả các nghiệm x∈(2010; 2011)của phương trình:
| cos x |−| s inx | cos2x 1 sin 2x− + =0 (*)
2.00
Có: 1+sin2x = (sinx + cosx)2, cos2x=|cosx|2 - |sinx|2 = (|cosx – sinx|).(|cosx|+|sinx|)
- PT ⇔(| cos x |−| s inx |)[1 (| cos x |− +| s inx |) | cos x |+| s inx | ]=0
| cos x | | s inx | (1)
1 (| cos x | | s inx |) | s inx cos x |(2)
=
⇔
(1) ⇔ cos2x = 0
2 (2) 1 [(| cos x | | s inx |) | s inx cos x | ] (1 | sin 2x |)(1 sin 2x)
sin 2x | sin 2x | sin 2x | sin 2x | 0 (3)
- Nhận thấy sin2x = 0 là nghiệm
- Nếu sin2x > 0 ⇒ VT(3) > 0, (3) vô nghiệm
- Nếu sin2x <0 ⇒ VT(3) =-sin22x < 0, (3) vô nghiệm
Vậy (2) ⇔ sin2x = 0
- (*) ⇔ sin 4x = 0 x k , k Z
4
π
Với x (2010; 2011) 2010 k 2011 2561 k 2561
4
π
∈ ⇔ < < ⇔ ≤ ≤ Vậy k = 2561
PT có nghiệm duy nhất x 2561 (2010; 2011)
4
π
0.25
0.25 0.50
0.5
0.5
III Cho dãy số (un) xác định bởi: 1
u 1
u + u (u 1)(u 2)(u 3) 1, n 1
=
1 Chứng minh rằng (un) là dãy các số tự nhiên tăng vô hạn
- Dễ thấy : un ≥ ∀ ∈0, n N *
- Ta có: un 1+ = u (un n+1)(un+2)(un+ + =3) 1 [u (un n+3)][(un+1)(un+2)] 1+
0.25
Trang 2= (u2n+3u )n 2+2(u2n+3u ) 1n + =u2n+3un+1 (1)
Từ (1) ⇒un∈N; un 1+ >3un⇒un 1+ >u , nn ∀ ∈N * (2)
Vậy (un) là dãy các số tự nhiên tăng ⇒lim un = +∞ (3)
0.25
0.25 0.25
2. Đặt
n
n
i 1 i
1
u 2
=
=
+
Từ (1) có:
u u 3u 2 (u 1)(u 2)
u u 3u 2 u 1 u 2
+
+
, n N *
u 2 u 1 u + 1
- Khi đó:
n
n
∑
2 u + 1 2 u + 1 2
0.50
0.25
0.25
IV 1 Cho elip
x y (E) : 1
25+ 9 = và điểm M(2; 1) Viết phương trình đường thẳng (∆)
đi qua M và cắt (E) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho M là trung điểm AB
1.00
-Đặt A(x ; y ), B(x ; y )1 1 2 2 ∈(E)
x y
1 (1)
25 9
x y
1 (2)
25 9
⇒
- M là trung điểm AB ⇒x1+x2 =4; y1+y2 =2 (3)
- Từ (1),(2),(3) có:
x y x y (x x )(x x ) (y y )(y y )
2 1 2 1
4(x x ) 4(y y )
0 18(x x ) 25(y y ) 0
- Từ (4) suy ra AB(x 2−x ; y1 2−y )1 ⊥n(18; 25) ⇒n(18; 25)
là vtpt của (∆)
Pt (∆): 18( x- 2) + 25( y- 1) = 0 ⇔ 18x + 25y – 61 = 0
- Thử lại thấy (∆) cắt (E) tại hai điểm thỏa mãn điều kiện
Vậy: (∆∆∆∆): 18x + 25y – 61 = 0
0.25
0.25
0.25 0.25
2.a Chứng minh rằng: OM ON OP
AB + AC+AD không đổi.
- Gọi D1=OD∩BC, trong mp(ADD1)
đường thẳng đi qua O, song song với AD
cắt AD1 tại P
- Tương tự ta dựng được M,N
AB = BB AC= CC 1
1
OD OP
AD= DD
1.00
0.25
0.25
C1
B1
D
O
A
P
M N
Trang 31 1 1
OB OC OD
OM ON OP
AB AC AD BB CC DD
OCD OBD OCB
BCD BCD BCD
1
= + + = ( Do O nằm trong tam giác BCD)
2.b Tìm vị trí của M để tích OM.ON.OP đạt giá trị lớn nhất.
AB AC AD AB.AC.AD
OM.ON.OP AB.AC.AD
27
Dấu “=” OCD OBD OCB
BCD BCD BCD
⇔ O là trọng tâm tam giác BCD
Vậy OM.ON.OPmax AB.AC.AD
27
= ⇔ O là trọng tâm tam giác BCD
0.25
0.25 1.00
0.50
0.25
0.25
V
Cho a, b, c là ba cạnh một tam giác Chứng minh rằng:
a + + +b c 3abc≥a(b +c )+b(c +a ) c(a+ +b ) (*) 1.00
- Có:
a b c b c a c a b
cos A cos B cos C 3
2
⇔ + + ≤ (**)
- Có: cos A+cos B cos C+ =(cos A+cos B) cos(A− +B)
=(cos A+cos B).1 sin A sin B cos A cos B+ −
[(cos A cos B) 1] (sin A sin B) cos A cos B
Dấu “=” cos A cos B 1 A B A B C
=
Vậy (*) được chứng minh Dấu đẳng thức khi tam giác ABC đều
0.25
0.50
0.25
(Học sinh làm cách khác đúng cho điểm tối đa)
VT 02-2011 Soạn đề-đáp án
Nguyễn Minh Hải
Tổ trưởng:
Nguyễn Thị Hạnh