Bài 3 Một bản thảo cuốn sách dày 555 trang được giao cho 3 người đánh máy.. Hỏi mỗi người đánh máy được bao nhiêu trang bản thảo, biết rằng cả 3 người cùng nhau làm từ đầu đến khi đánh m
Trang 1Tr¦êng THCS ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI QU¶NG tiÕn Môn Toán Lớp 7
( Thời gian lám bài 150 phút- Thí sính không phải ghi
đề bài vào tờ giấy thi)
Bài 1
a) Tính: A =
b) Cho 3 số x,y,z là 3 số khác 0 thỏa mãn điều kiện:
yx z x zx y y xz y z
Hãy tính giá trị biểu thức: B = 1 x 1 y 1 z
Bài 2
a) Tìm x,y,z biết: 1 2 2
0
x y x xz
b)Chứngminh rằng :Với mọi n nguyên dương thì 3n 2 2n 2 3n 2n
chia hết cho 10
Bài 3 Một bản thảo cuốn sách dày 555 trang được giao cho 3 người đánh máy Để
đánh máy một trang người thứ nhất cần 5 phút, người thứ 2 cần 4 phút, người thứ
3 cần 6 phút Hỏi mỗi người đánh máy được bao nhiêu trang bản thảo, biết rằng cả
3 người cùng nhau làm từ đầu đến khi đánh máy xong
Bài 4 Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC Trên tia đối của tia MA lấy
điểm E sao cho ME = MA Chứng minh rằng:
a/ AC = EB và AC // BE
b/ Gọi I là một điểm trên AC, K là một điểm trên EB sao cho : AI = EK Chứng minh: I, M, K thẳng hàng
c/ Từ E kẻ EHBC (H BC) Biết góc HBE bằng 500; góc MEB bằng 250,
tính các góc HEM và BME ?
Bài 5: Tìm x, y N biết: 36 y2 8x 20102
M«n: To¸n - Líp 7
Trang 2Bµi ý Nội dung Điểm
1
4 ®iÓm
a
8
5 6
5 4
1 3
1 2 1
13
5 11
5 7
3 11
3 4 3
=
4
1 3
1 2
1 2 5
4
1 3
1 2 1
13
1 11
1 7
1 5
13
1 11
1 4
1 3
=
13 11 7
129
5.11.13 4
135 3
+
5 2
=
129 5
13 11 7 13 11 4
135 3
+
5
2
=
5
2 172
189
5 172
2 172 5
189
=
860 1289
2
b
Ta có: y z x x z x y y x y z z y z 1 z x 1 x y 1
2
2
x y z
y z z x x y
B
y z x x y y z z x .
y z x
x y z x y z 2.2.2 8
z y x
0,5 0,5 0,5 0,5
2
4 điểm
a
1 2 2
0
x y x xz
Áp dụng tính chất A 0
2
0 0
x x z
x xz
1 2 2 3 1 2
x y
z x
Vậy x = ½ y = -2/3 z = -1/2
0,25
1,5
0,25
b Ta có: 3n 2 2n 2 3n 2n
=(3n 2 3 ) (2n n 2 2 )n
3 3n 2 1 2 2n 2 1
3 10 2 5n n = 10.(3n – 2n-1)
Vì 10.(3n – 2n-1) chia hết cho 10 với mọi n nguyên dương
0,75 0,5 0,5 0,25
3
4điểm
Gọi số trang người thứ nhất, người thứ 2, người thứ 3 đánh máy được theo thứ tự là x,y,z
Trong cùng một thời gian, số trang sách mỗi người đánh được tỉ lệ nghịch với thời gian cần thiết để đánh xong 1 trang; tức là số trang 3 người đánh tỉ lệ nghịch với 5; 4; 6
Do đó ta có: : : 1 1 1: : 12 :15 :10
5 4 6
x y z Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
555 15
12 15 10 12 15 10 37
x y z x y z
180; 225; 150
Vậy số trang sách của người thứ nhất, thứ hai, thứ ba đánh được lần lượt là: 180, 225, 150
0,5 1,0 0,75
0,75 0,75 0,25
Trang 36 điểm
a
b
c
vẽ hình đúng cho 0,5 điểm (2điểm)
Xét AMC và EMB có :
AM = EM (gt )
C M
A ˆ =E ˆ M B (đối đỉnh )
BM = MC (gt ) Nên : AMC = EMB (c.g.c )
AC = EB
Vì AMC = EMB
=> Góc MAC bằng góc MEB (2 góc có vị trí so le trong được tạo bởi đường thẳng AC và EB cắt đường thẳng AE )
Suy ra AC // BE
(2 điểm)
Xét AMI và EMK có : AM = EM (gt) ; M ˆ A I = M ˆ E K ( vì
AI = EK (gt ) Nên AMI EMK ( c.g.c ) Suy ra A ˆ M I = E ˆ M K
Mà A ˆ M I +I ˆ M E = 180 o ( tính chất hai góc kề bù )
E ˆ M K + E ˆ M K = 180 o Ba điểm I;M;K thẳng hàng
(1,5 điểm ) Trong tam giác vuông BHE ( Hˆ = 90o ) có H ˆ B E = 50o
H ˆ E B= 90o - H ˆ B E = 90o - 50o = 40o
H ˆ E M = H ˆ E B- M ˆ E B = 40o - 25o = 15o
BME B ˆ M E là góc ngoài tại đỉnh M của HEM
NênB ˆ M E=H ˆ E M +M ˆ H E= 15o + 90o = 105o (đ/lýgóc ngoài của tam giác)
0,75 0,25 0,5
0,5
0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5
5
2 điểm
Ta có: 36 y2 8x 20102 y2 8x 20102 36
8
Vì 0 ( x 2010) 2 và x N , x 20102là số chính phương nên
2 (x 2010) 4
hoặc (x 2010) 2 1 hoặc (x 2010) 2 0
2008
x
x
4
2( )
y y
y loai
+ Với (x 2010) 2 1 y2 36 8 28 (loại) + Với (x 2010) 2 0 x 2010 và 2 6
36
6 ( )
y y
y loai
Vậy ( , ) (2012; 2); (2008; 2); (2010;6).x y
0,25 0,25 0,5
0,25 0,25 0,25 0,25
Chú ý : Nếu học sinh làm theo cách khác đúng vẫn chấm điểm tối đa.
K
H
E
M B
A
C I
