Đáp án đề thi HSG vòng trường THPT Tràm Chim Năm học 2008 - 2009

SỞ GD & ĐT ĐỒNG THÁP KI THI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 12

Trường THPT Tràm Chim VÒNG TRƯỜNG NĂM HỌC 2008 – 2009

ĐÁP ÁN:

5

đ a)2

đ

Đk:

2 2

1 0

1 0

x







u

8

4

1 2

1

2

( ) 2

1

2

*

2 2

u

u u



 







  











  

  

  

b)

3

đ

(1)  (3x – 2y))2 + (x – 2z))2 + (y) – 3z))2 = 0

2 3







  

 



Thế x = 2z), y) = 3z) vào (2): 36z)3 = 288 hay) z) = 2 suy) ra x = 4, y) = 6 là nghiệm

nguy)ên của hệ đa cho

đ a)3

đ

2

1

1

2

1 1 2008

1 1 2008

2008

n

n

Ta co

u

u

u









* Cần CM:

1

1 0

n

khi n

Ta có: u1 < u2 < u3 < < un < un+1 < nên  u n là dãy tăng

Nếu  u n bị chặn trên thì  u n tồn tại một giới hạn hữu hạn giả sử giới hạn đĩ là L (L > 1)

 limun = L hay limun+1 = L

Mà :

2 1

2

2008

0 2008

n

u

L



   

L = 0 vơlí (vì u1 = 1 nên L >1)

Vậy  u n khơng bị chặn trên tức là

0 1

n

n n

hay

u

 



Suy ra :

1

1

n

n

u

 



b)

2đ

A = sin200.sin(600 – 200).sin(600 + 200).sin600

= sin200.1

cos 40  cos120 sin600

sin 20 1 2 sin 20 sin 60

= 3sin 200 4 sin 203 0 0

.sin 60 4



sin 3(20 ).sin 60

Bài 3

5

đ

a)

        

Xét:

3

2

2

9 3

Từ (*) suy ra: ( ) 3 1

VT a b c     

b)

2đ Gọi hai cạnh của hình chữ nhật là a, b (a, b > 0)

Ta có: P = 2(a+b), S = ab

Bất đẳng thức đã cho tương đương với: 2( ) 32

ab

a b

1 ( 1)( 1) ( )( 1)( 1) 8

a b

Ta có:

2

1 2



 





Dấu đẳng thức xãy ra khi: a = b = 1

Bài 4 Gọi S ;S là diện tích của ABC và A’B’C’

2 ' ' '

2 2

2 sin sin sin 4

' ' '

2 sin '.sin '.sin ' 4

2 cos cos cos

A BC

A B C

abc

R

a b c

R

R

R





Do đĩ:

' ' '

2

2 2

8sin sin sin

4 cos sin 4 sin

A BC

A B C

S





Vậy: S A BC S A B C' ' '

Dấu “=” xãy ra khi tam giác ABC đều

Bài 5

Gọi , , là độ dài các cạnh của tam giác , , , là độ dài các đường cao xuống

cạnh tương ứng và S là diện tích của tam giác

2 Theo đề bài

i

x



1 2 3

( 1,2,3) là nghiệm của phương trì nh

, , là nghiệm của phư

i

y i

Vậy x x x

4

Theo công thức Heron

2

Bài 6

1 2 3 4 5 6

Ta có các cạnh của tứ diện ACB'D' là các đường chéo của hì nh lập phương

nên ACB'D' là tứ diện đều cạnh bằng 1

Gọi h ,h ,h ,h ,h ,h là chiều cao của các khối chóp P.ABCD, P.A'

1 2 3 4 5 6

B'C'D', P.AA'D'D, P.BB'C'C, P,CDD'C', P.ABB'A'

Gọi V,V ,V ,V ,V ,V ,V là thể tích các khối chóp ABCD.A'B'C'D',P.ABCD, P.A'B'C'D', P.AA'D'D, P.BB'C'C, P,CDD'C', P.ABB'A'

Vì ABCA.A'B'C'D' là hì nh

1 2 3 4 5 6

1 lập phương nên diện tích các mặt của nó bằng nhau và bằng

2

2 1

3 2

h +h +h +h +h +h

2 Gọi d ,d ,d ,d ,d ,d là khoảng cách từ P đến các cạnh

BD, A'C', A'D, BC', C'D, A'B

3 2

2

3 2

2