Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Ví dụ: Xét tính đơn điệu và tìm cực trị nếu có của hàm số sau... Hàm số không có cực trị.. Bài tập rèn luyện: Xét tính đơn điệu và tìm cực trị nếu có của hàm số sau.. DẠNG 2: Tìm điều ki

CHƯƠNG I : KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

CHỦ ĐỀ 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ ( 8 tiết)

DẠNG 1: Xét tính đơn điệu và tìm cực trị (nếu có) của hàm số y = f(x).

1 Phương Pháp:

- Tìm TXD

- Tính đạo hàm cấp một y’, giải pt y’= 0

- Lập bảng biến thiên và kết luận

2 Ví dụ: Xét tính đơn điệu và tìm cực trị (nếu có) của hàm số sau.

a) y= −2x3 +3x2 +2 b) y x= 4 −2x2 +2 c) 1

2 1

x y x

−

= +

Giải

a) – TXD D=¡

1

x

x

=



′= − + ′= ⇔  =

- Bảng biến thiên

+ Kết luận: hàm số đồng biến trên khoảng ( )2;3 nghịch biến trên khoảng (−∞; 2 , 3;) ( +∞) Hàm số đạt cực đại tại x=1,y CD =3, đạt cực tiểu tại x=0,y CT =2

b) + TXD D=¡

+ 3

1

1

x

x

= −





′ = − ′ = ⇔ =

 =



X −∞ 0 1 +∞

y’ - 0 + 0

-Y −∞ 3

2 +∞

Bảng biến thiên

+ Kết luận: hàm số đồng biến trên khoảng (−1;0 , 1;) ( +∞) nghịch biến trên khoảng (−∞ −; 1 , 0;1) ( )

+ Hàm số đạt cực đại tại x=0,y CD =2, đạt cực tiểu tại x= ±1,y CT =1

2 1

x

y

x

−

=

+

+ TXD \ 1

2

 

 

¡ + ( )2

3

2 1

x

′ = > ∀ ∈

+

+ Bảng biến thiên

X −∞ -1 0 1 +∞

y’ - 0 + 0 - 0 +

Y +∞ 2 +∞

1 1

X −∞ 1

2 − +∞

y’ + +

Y +∞ 1

2 1 2 −∞

Kết luận: Hàm số đồng biến trên ; 1 , 1;

−∞   +∞

    Hàm số không có cực trị.

3 Bài tập rèn luyện: Xét tính đơn điệu và tìm cực trị (nếu có) của hàm số sau.

1 y=2x3 −3x2 −2, 2.y x= 3 −3x2 +1, 3 y= − −x3 3x+5

4 y= −x4 +2x2 −2, 5.y= −x4 +4x2 −4, 6.y= −x4 −2x2 +2, 7 y x= 4 +3x2 −2

8 2 1, 9 1, 10

DẠNG 2: Tìm điều kiện của tham số để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó 1.Phương Pháp:

* Hàm số 3 2

( 0)

3

′

∆ = −

+ hàm số (1) đồng biến trên tập xác định khi và chỉ khi 0 , 0

0

a

′ ≥ ∀ ∈ ⇔ ∆ ≤′



¡

+ hàm số (1) nghịch biến trên tập xác định khi và chỉ khi 0 , 0

0

a

′ ≤ ∀ ∈ ⇔ ∆ ≤′



¡

*Hàm số y ax b(ad bc 0)

cx d

+

ac bd y

cx d

−

′ = +

+ Hàm số (2) đồng biến trên từng khoảng xác định khi y 0, x d ad bc 0

c

′ > ∀ ≠ − ⇔ − >

+ Hàm số (2) nghịch biến trên từng khoảng xác định khi y 0, x d ad bc 0

c

′ < ∀ ≠ − ⇔ − <

2 Ví dụ: Tìm điều kiện của tham số m để hàm số sau:

a) y= −2x3 +3x2 +2(m+1)x−2m+3 nghịch biến trên tập xác định

b) 2

3 5

x m

y

x

+

=

− + đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.

Giải

+ TXD D=¡ , 2

6 6 2( 1),

y′ = − x + x+ m+ ta có ∆ = +′ 9 12(m+ =1) 21 12+ m

+ Để hàm số đồng biến trên ¡ khi y′ ≤ ∀ ∈0, x ¡

+ Do a = -2 < 0 nên hàm số nghịch biến trên ¡ khi 0 21 12 0 7

4

′

∆ ≤ ⇔ + ≤ ⇔ ≤ −

+ Vậy 7

4

m≤ − là kết quả cần tìm

b) 2

3 5

x m

y

x

+

=

− +

\ ,

m

x

+

  ′

+ Để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định khi 0, 10 3 0 10.

3

′ > ∀ ∈ ⇔ + > ⇔ > −

+ Vậy m> −10 là kết quả cần tìm

3 Bài tập rèn luyện: Tìm điều kiện của tham số để hàm số

3 2

1.y=2x −x +2(m+1)x−3m−1 đồng biến trên tập xác định của nó

2 y= − −x3 3(m−2)x2 +2(m−2)x−3m−1 nghịch biến trên tập xác định của nó

3 2( 1) 3

2

y

x

− +

=

− đồng biến trên tập xác định của nó.

y m x x m x m đồng biến trên tập xác định

7 Chứng minh rằng với mọi m hàm số 3 2 2

2( 1) 5 1

y x mx m x m luôn đồng biến

DẠNG 3: Tìm điều kiện của tham số để hàm số y =f(x) đạt cực trị tại điểm x 0.

1.Phương Pháp:

+ Tìm tập xác định

+ Tính y′, y′′ và y x′( ),0 y x′′( )0 .

• Để hàm số đạt cực trị tại x 0 thì 0

0

( ) 0 ( ) 0

y x

y x



 ′′ ≠



• Để hàm số đạt cực đại tại x 0 thì 0

0

( ) 0 ( ) 0

y x

y x



 ′′ <



• Để hàm số đạt cực tiểu tại x 0 thì 0

0

( ) 0 ( ) 0

y x

y x



 ′′ >



Chú ý: tùy yêu cầu bài toán mà ta chon một trong ba trường hợp ở trên

2.Ví dụ: Tìm điều kiện của tham số m để hàm số

a) y x= −3 mx2 +2(m+1)x−1 đạt cực trị tại điểm x = -1

Giải

+ TXĐ D=¡

+ y′=3x2−2mx+2(m+1), y′′=6x−2m

+ Để hàm số đạt cực trị tại x = -1 thì

5

4

m



 ′′ − ≠ − − ≠ 

+ Vậy 5

4

m= − là kết quả cần tìm

3 Bài tập rèn luyện: Tìm điều kiện của tham số m để hàm số

1 y= − 2x4 −mx2 −2m2đạt cực đại tại điểm x = 2

2

y

x m

+ +

=

+ Đạt cực tiểu tại x = 2.

3 y= −2x3−(m+1)x2 +2(m+1)x−1 có cực đại và cực tiểu

4 y x= 4 −mx2 −2m+1 có ba cực trị; 5 y x= 4 −mx2 −2m+1 có một cực trị

6 Chứng minh rằng với mọi m hàm số y= − −x3 mx2 + −2x 5m−1 luôn có cực đại và cực tiểu

7 Cho hàm số y=3(2m−1)x3−x2 +2(2m− −1)x 4m−1

a) Tìm m để hàm số có cực trị; b) Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu

CHỦ ĐỀ 2: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ (4 tiết)

DẠNG 1: Tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên một khoảng, một nửa khoảng.

1.Phương Pháp:

+ Tìm khoảng xác định nếu đề chưa cho khoảng xác định

+ Tình đạo hàm cấp một rồi lập bảng biến thiên

+ Từ bảng biến thiên suy ra kết luận

2.Ví dụ: Tìm GTLN, GTNH( nếu cĩ) của hàm số sau:

2 4 4

y

x

+ +

= trên (−∞;0)

+ TXD D=¡ \ 0{ } .

+

2

2

2 4

2

x x

x x

= −



−

′= ′= ⇔  =

+ Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta cĩ Maxy(−∞;0) = − =y( 2) 0 Hàm số khơng cĩ GTNN trên (−∞;0)

3.Bài tập rèn luyện: Tìm GTLN, GTNN ( nếu cĩ) của các hàm số sau

3

2 2

1

y

− +

=

− + , 4

4 1 ê ( 1; ) 2 y x tr n x = − + − +∞ + DẠNG2: Tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên một đoạn[ ]a b ; 1.Phương Pháp: + hàm số liên tục trên đoạn + tính ( ) 1 2 1 2 , 0 ; ; ; ; ính ( ); ( ); ( ); ; ( ); ( )

′ ′ = n n y gpt y giả sử có n nghiệm x x x thuộc a b T y a y x y x y x y b rồi so sánh đưa ra kết luận 2 Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm số sau a) y x= 3 −3x+6 trên đoạn [−2;0] X −∞ -2 0 2 +∞

y’ + 0 - - 0 +

Y 0 +∞ +∞

−∞ −∞ 8

Hàm số liên tục trên đoạn [−2;0]

1( )

= −



′= − ′= ⇔  =

( )2 4, ( )1 8, ( )0 6

y − = y − = y = vậy M y[−ax2;0] = − =y( 1) 8,Miny[−2;0] = − =y( 2) 4

1 Bài tập rèn luyện: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau.

2 1 ê 2; 4 à 1;5

y= −x + x − tr n − v 5 4 co ê ;

6 4

 

 

2 3 22 1

1

x x

y

x x

− +

=

− + trên [− −2; 1 à 1; 2] [ ]v 6 y= 2 sinx+ + 2 sinx−

3 4 cos ê 0;5

 

 

7 -2cos2x + cosx -3

2

y= − +x x 8 y = x(lnx – 2) Tr nê 1; e2

9 y= xlnx Tr nê 1;[ ]e 10 y x e Tr n= 2 2x ê (−∞; 0]

CHỦ ĐỀ 3: CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ (12 tiết)

I Sự tương giao của hai đồ thị

Phương pháp chung

Hàm số y = f(x) có đồ thị ( C ) và y = g(x) có đồ thị ( C’ )

Phương trình hoành độ giao điểm f(x) = g(x) ( 1 )

Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của ( C ) và ( C’ ) và ngược lại

Dạng 1: Bằng đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình f ( x, m ) = 0 (*)

1 Phương Pháp:

+ Đưa phương trình (*) về dạng f(x) = m (1)

+ số nghiệm của phương trình (1) là số gia điểm của đồ thị ( C ): y = f(x) và đường thẳng (d) y = m + Dựa vào số giao điểm của ( C ) và ( d ) suy ra số nghiệm của phương trình

2 Ví dụ: 1 Cho hàm số y x= 3 −3x+1

a) Khảo sát và vẽ đồ thị ( C )

b) Bằng đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình 3

− + + =

Giải

Câu a) hs tự giải

b) −x3+3x m+ = ⇔0 x3 −3x+ = +1 m 1 (1) số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của ( C ) và đường thẳng y = m + 1

Từ đồ thị ta có

+ > >

 + < −  < −

  thì phương trình có một nghiệm

 + = −  = −

  thì phương trình có hai nghiệm

+ < <

 + > −  > −

  thì phương trình có ba nghiệm.

Ví dụ 2 y= −x4 +2x2 +2

a) Khảo sát và vẽ ( C)

b) Xác định tham số m để phương trình 3x4 −6x2 − =m 0 có bốn nghiệm phân biệt

Giải

a) Học sinh tự làm

b) 3 4 6 2 0 4 2 2 2 2

3

m

x − x − = ⇔ − +m x x + = − số nghiệm của phương trình là số giao điểm của (C) và

đường thẳng 2

3

m

y= − Từ đồ thị ta có

3 3

0

3

m

m

 − <

 − >



thì phương trình đã cho có bốn

nghiệm phân biệt

3 Bài tập rèn luyện:

1 Cho hàm số y= − −x3 3x2 +1

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

b) Từ đồ thị hàm số biện luận số nghiệm của phương trình 3 2

3 1 2 3

− − + = −

c) Tìm m để phương trình 3 2

3 1 2 3

− − + = − có ba nghiệm phân biệt trong đó có đúng hai nghiệm lớn hơn -1

2 Cho hàm số 1 3 3 2 5

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

b) Tìm m để phương trình 3 2

x − x + =m có ba nghiệm phân biệt

c) Tìm m để phương trình 3 2

x − x + =m có ba nghiệm phân biệt trong đó có đúng hai nghiệm nhỏ hơn 2

3 Cho hàm số y x= 4 −4x2 +1

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

b) Từ đồ thị hàm số biện luận số nghiệm của phương trình 1 4 2

2x x m

c) Tìm m để phương trình 4 2

x − x + m= có số nghiệm nhiều nhất

Dạng 2: Xác định số giao điểm của hai đồ thị.

1.Phương Pháp:

+ Lập phương trình hoành độ giao điểm f(x) = g(x) ( 1 )

+ Số nghiệm củ pt (1) là số giao điểm của hai đồ thị.

2 Ví dụ:

Ví dụ 1 Cho hàm số 2 1

2 1

x y x

+

=

−

a) Khảo sát và vẽ đồ thị ( C )

b) Xác định tọa độ giao điểm của ( C ) và đường thẳng y = x + 2

Giải

a) Học sinh tự làm

b) Phương trình hoành độ giao điểm 2 1 2 (1)

2 1

x

x

x + = +

− điều kiện

1 2

x≠

( ) ( ) 2

1

2

x

x

=





 = −



Vậy ( C ) cắt đường thẳng y = x + 2 tại hai điểm ( )1;3 à 3 1;

2 2

Ví dụ 2 Cho hàm số y x x= ( −3)2 có đồ thị ( C) và đường thẳng ( d) y = kx

Xác định k để ( C ) cắt ( d) tại ba điểm phân biệt

Giải

Phương trình hoành độ giao điểm 2 ( 2 )

2

0

6 9 0 (*)

x

=



− = ⇔ − + − = ⇔  − + − =



Để ( C ) cắt ( d) tại ba điểm phân biệt thì pt (*) có hai nghiệm phân biệt khác 0

′

∆ = − + > >

 − + − ≠  ≠

  vậy 0< ≠k 9là kết quả cần tìm.

3 Bài tập rèn luyện

1 Cho hàm số y=2x x+11

+ có đồ thị ( C ) và đường thẳng ( d ) y = -x + m.

a) Chứng minh rằng với mọi m, ( d ) cắt ( C ) tại hai điểm phân biệt

b) Giả sử ( d ) cắt ( C ) tại hai điểm phân biệt A, B Tìm m để độ dài AB ngắn nhất

2 Cho hàm số 4 2

y x= − x + có đồ thị ( C ) và đường thẳng ( d ) y = 2mx -3 Tìm m để ( C ) cắt ( d ) tại bốn điểm phân biệt

II Tiếp tuyến của đường cong.

Dạng 1 Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong y = f(x) tại M(x0; y0)

1 Phương pháp.

+ Tính đạo hàm cấp một ( )f x′ , f x′( )0

+ Phương trình tiếp tuyến cần tìm y= f x′( )0 (x x− 0)+y0 với y0 = f x( )0

+ Làm gọn phương trình trên về dạng y = ax + b.

2.Các ví dụ.

Ví dụ 1 Cho hàm số y x= 3−3x2 +2 ( C )

a) Khảo sát và vẽ ( C );

b) Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại điểm M( -1; -2);

c) Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại điểm có hoành độ 2

Giải a) Học sinh tự giải

b) Ta có y′=3x2 −6 ,x y′( )− =1 9

phương trình tiếp tuyến cần tìm là y=9(x+ −1) 2hay y=9x+7

c) Giả sử M ( 2 ; y0) là tiếp điểm khi đó ta có y0 = −23 3.22+ = −2 2

( ) 2

phương trình tiếp tuyến cần tìm là y=0(x− −2) 2hay y= −2

Ví dụ 2 Cho hàm số y x= 2 −3x+2 ( C )

b) Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại điểm có tung độ là 6

Giải

a) Học sinh tự làm

b) Gọi M ( x0; 6) là tiếp điểm khi đó ta có 02 0 02 0 0

0

1

4

x

x

= −



= − + ⇔ − − = ⇔  =

2 3

+ Với M ( -1; 6) ta có y′ − = −( 1) 5 suy ra pttt là y= −5(x+ +1) 6hay y=−5x+1

+ Với M (4; 6) ta có y′( )4 =5suy ra pttt là y=5(x− +4) 6hay y=5x−14

Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm y = -5x + 1 và y = 5x – 14

Dạng 2 Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong y = f(x) khi biết hệ số góc k

1 Phương pháp.

Gọi M(x0; y0) là tiếp điểm khi đó f x′( )0 =k giải phương trình suy ra x0 suy ra y0

Đưa bài toán về dạng 1

Chú ý:

+ Phương trình tiếp tuyến tại M( x0; y0) có hệ số góc k = f’(x0)

+ Đường thẳng y = ax + b song song với đường thẳng y = cx + d khi a = c và b khác d

+ Đường thẳng y = ax + b vuông góc với đường thẳng y = cx + d khi ac = -1

2.Ví dụ

Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y= 2x x+11

+ biết tiếp tuyến có hệ số góc k

= 1

Giải

+ Gọi M ( x0; y0) là tiếp điểm với x0 ≠ −1

+ ( )2 ( )0 ( )2

0

;

0 0

0 1

2 1

x

x x

=



′ = ⇔ + = ⇒ + = ⇔  = −

+ Với x = 0 suy ra 0 y = 1 ta có phương trình tiếp tuyến y = 1( x – 0 ) + 1 0

hay y = x + 1

+ Với x = - 2 suy ra 0 y = 3 ta có phương trình tiếp tuyến y = 1( x + 2 ) + 3 0

Hay y = x + 5

Vậy có hai tiếp tuyến thỏa yêu cầu y = x + 1 và y = x + 5

Ví dụ 2 Cho hàm số 3 2

y x= − x + −x có đồ thị ( C )

a) Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng

y = x + 2012

b) Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng

2x + 16y – 2013 = 0

Giải

a) Gọi M ( x0; y0) là tiếp điểm

+ đường thẳng y = x + 2012 có hệ số góc k = 1 Do tiếp tuyến song song với đường thẳng y = x +

2012

nên ( ) 2 0

0

0

3

x

x

=







+ Với x = 0 suy ra 0 y = - 3 ta có phương trình tiếp tuyến y = 1(x – 0) - 3 hay y = x – 30

+ Với 0

4

3

x = suy ra 0

77 27

ta có phương trình tiếp tuyến y = 1( x – )- hay y = x 113

27

−

Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm y = x – 3 và y = x 113

27

− b) Gọi M ( x0; y0) là tiếp điểm

+ đường thẳng 2x + 16y – 2013 = 0 hay 1 2013

y= − x+ có hệ số góc k = 1

8

−

+ Do tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 2x + 16y – 2013 = 0 nên

0

1 1

8

3

x

x

= −



 =



+ Với x = -1 suy ra 0 y = -7 ta có phương trình tiếp tuyến y = 8( x + 1) – 7 hay y = 8x + 1.0

+ với 0 0

ta có phương trình tiếp tuyến 8 7 781 8 177

Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm y = 8x + 1 và 8 177

27

3 Bài tập rèn luyện:

1 Cho hàm số 2

2 3

y= −x − x+ có đồ thị ( C ) Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) trong các trường hợp sau

a) Tại M ( 3; -12); b) giao điểm của ( C ) với trục hoành

c) Tại điểm có hoành độ là -5.; d) song song với đường thẳng 2x -3y + 4 = 0

e) Vuông góc với đường thẳng 3x + 5y – 7 = 0

2 Cho hàm số 1

3

x y x

+

=

− có đồ thị ( C )

a) khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp đó song song với đường thẳng y= -4x + 2015

c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp đó vuông góc với đường thẳng y = 4x + 5