BÀI TẬP VỀ GÓC TRONG KHÔNG GIAN THẦY NGUYỄN THANH TÙNG

Cho hình chóp S ABC... Ta có SBC ABCBC... Cho hình chóp S ABC có.

Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | 1 -

Bài 1 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông t i B Bi t AB2 ,a ACB300 Hình

chi u vuông góc c a S trên m t ph ng (ABC) là trung đi m c a c nh BC và góc t o b i SA và m t đáy

b ng 0

60 Tính cosin c a góc t o b i AH và SC

Gi i:

G i H là trung đi m c a BC , khi đó: SH (ABC), suy ra góc t o b i

SA và m t đáy là 0

60

tan 30 tan

ACB

3 2

BC

7

AH  AB BH a

Xét tam giác SAH ta có: SH AH.tan 600 a 7 3a 21

G i M là trung đi m c a SB , suy ra HM//SC, khi đó:

AH SC,   AH HM,  (

Ta có

21 3

6

HM MB     a

Tam giác AMB vuông t i B nên ta có:

2 2 2 2 2 2

AM  AB MB  a  a  a

Xét tam giác AMH có:

cos

AHM

T (1) và (2) suy ra cosin c a góc t o b i AH và SC là cos 42

28

Bài 2 Cho hình chóp đ u S ABC có SA2 ,a AB3a

1. Tính góc gi a SA và m t ph ng đáy ABC

2. Tính tan c a góc t o b i hai m t ph ng (SBC) và (ABC)

Gi i:

G i H là hình chi u vuông góc c a S trên (ABC)

ÁP ÁN BÀI T P T LUY N

Giáo viên: NGUY N THANH TÙNG

ây là bài t p đi kèm v i bài gi ng gi ng Ph ng pháp xác đ nh và tính nhanh góc trong không gian thu c khóa h c:

Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Nguy n Thanh Tùng) t i website Hocmai.vn có th n m v ng

ki n th c ph n này, b n c n k t h p xem tài li u cùng v i bài gi ng này

600

300 2a

M

H

C

B A

S

Do S ABC là hình chóp đ u nên H là tr ng tâm tam giác ABC

(ABC đ u nên tr ng tâm, tr c tâm, tâm đ ng tròn ngo i ti p, n i ti p c a tam giác ABC trùng nhau)

1. Ta có SH (ABC), do đó HA là hình chi u c a SA trên (ABC)

Suy ra SA ABC, ( )(SA HA, )SAH

G i I là trung đi m c a BC , khi đó tam giác ABC đ u c nh 3a nên:

a

Xét tam giác SAH ta có:

0

V y   0

,( ) 30

SA ABC 

2. Ta có (SBC) (ABC)BC

Mà BC AI BC (SAI)

BC SH







M t khác: ( ) ( )

( ) ( )

SAI SBC SI SAI ABC AI







(SBC), (ABC) (SI AI, ) SIA

(2 ) 3

2 3 tan

3

2

SH a SIA

IH

HI







V y tan c a góc t o b i hai m t ph ng (SBC) và (ABC) là 2 3

3

Bài 3 Cho hình chóp đ u S ABCD, đáy tâm O và có c nh b ng a G i M N, l n l t là trung đi m c a ,

SA BC Bi t góc gi a MN và (ABCD) b ng 600 Tính sin c a góc t o b i MN và (SAC)

Gi i:

Do S ABCD là hình chóp đ u nên ta có SO(ABCD)

G i P là trung đi m c a AO

Khi đó MP/ /SOMP(ABCD)

MN ABCD MNP

Trong tam giác NCP theo đ nh lí cosin ta có:

2

2 cos 45

Trong tam giác vuông MNP ta có :

3a

2a S

H

I C

B A

N

M

P O

S

H

B A

Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | 3 -

1200

M

S

C

B

A

0

0

10

10 4

cos 60 2 cos

a

MN

MNP













G i H là trung đi m c a OC Suy ra NH/ /BD mà BD(SAC)NH(SAC)

Do đó MN SAC, ( )NMH

a

NH  OB Suy ra: sin 2: 10 5

NMH

MN

V y sin c a góc t o b i MN và (SAC) b ng 5

10

Bài 4 Cho hình chóp S ABC có SA(ABC), BAC1200, ABAC và a

2 3

a

SA Tính góc t o

b i hai m t ph ng (SBC) và (ABC)

Gi i:

G i M là trung đi m c a BC

BC SA







Suy ra (SBC), (ABC)SMA

Tam giác ABC cân t i A nên

0

2

a

Trong tam giác vuông SAM có :

0

1

2

SA a a

AM

(SBC),(ABC) 30

Bài 5 Cho hình l p ph ng ABCD A B C D c nh ' ' ' ' a Tính góc t o b i hai m t ph ng (BA C' ) và

(DA C' ).

Gi i:

G i O là tâm c a hình vuông ABCD H OHA C' (HA C' ) Khi đó:

'

' ( ) '

A C OH

A C BDH

A C BD



V y (BA C' ),(DA C' )(HB HD, )

Trong tam giác vuông A BC có '

'

A BC

S BC A B a a a

BH

A C A C a

3

a

DH  Trong tam giác BHD, áp d ng đ nh lí cosin ta có:

O

D'

C' B'

A'

H

D

C B

A

cos

2

BH DH BD BHD

BH DH



2 2

2

2

2 2

2

1

3 3

2

3

a a

a a

Suy ra BHD1200(HB HD, )600 V y   0

(BA C' ),(DA C' ) 60

Bài 6 Cho hình l ng tr đ u ABC A B C ' ' ', đáy có c nh b ng a , c nh bên có đ dài b ng b G i M là

trung đi m c a AB và  là góc t o b i đ ng th ng MC và m t ph ng ' (BCC B' ') Tính tan

Gi i:

G i M N', l n l t là trung đi m c a A B' ' và BC

G i P là trung đi m c a BN Ta có:

'

AN BC

AN BCC B

AN BB



M t khác MP//AN , nên suy ra MP(BCC B' ')

Do đó MC', (BCC B' ')  MC P'

Tam giác ABC đ u c nh a nên 3

2

a

AN

L i có

2

4

a

MC  MM M C  b 

Suy ra

PC  MC MP MC  b    b 

Trong tam giác vuông C PM ta có '

2 2

2 2

Bài 7 Cho hình chóp đ u S ABCD đáy có c nh b ng a G i M N, l n l t là trung đi m c a SA SC,

Bi t (BM ND, )600 Tính chi u cao c a hình chóp

Gi i:

G i O là tâm c a hình vuông ABCD và G là tr ng tâm tam giác SAC

ng th ng qua G song song v i BM c t BC F

ng th ng qua G song song v i DN c t AD E

2

2

EA ED

FC FB







Suy ra EF đi qua tâm c a hình vuông ABCD

và O là trung đi m c a đo n EF

T

0

0

60 ( , ) 60 ( , ) 60

120

EGF

EGF



*) V i EGF 600

M'

C'

N

M P

C

G

F

E N M

C B

A

O S

D

Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | 5 -

Ta có GEF cân t i G, suy ra GEF đ u 3

2

Hình vuông ABCD có c nh a nên ta d dàng tính đ c 10

3

a

EF 

Suy ra 3 3 3 10 30

a

*) V i EGF 1200

Ta có GEF cân t i G, suy ra 1 10 3 30

6

2 3 6 3

GO EF  SO GO

V y 30

2

a

SO ho c 30

6

a

Bài 8 Cho hình l p ph ng ABCD A B C D c nh ' ' ' ' a i m M thu c đo n BC , N thu' c đo n AB'

ng th ng MN t o v i m t ph ng (ABCD) góc  Ch ng minh r ng:

sin 2 cos

a MN



Gi i:

G i M N', ' l n l t là hình chi u

c a M N, lên m t (ABCD)

Không m t tính t ng quát gi s MM'NN'

và MN M N' ' P

Khi đó MN ABCD, ( )NPN' 

Ta có MM'BM'; NN' AN' a BN'

M t khác MNPN PM

( ') ' ( ' ') (1)

a BN BM a BN BM







M N  BN BM MN  (2)

T (1) và (2), suy ra    2 2

MN    a BN BM  BN BM  a (BN'BM')BN'BM'a (do 2(x2y2) (x y)2)

Suy ra

sin 2 cos

a MN



Bài 9 Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác vuông t i B, có SAABa BAC, ,SA(ABC) và góc gi a hai m t ph ng (SAC) và (SBC) là 

1. Ch ng minh r ng

2

1 cos tan tan

cos







2. Tam giác ABC th a mãn đi u ki n gì đ 0

60

 

P N'

M'

C'

B' A'

N

M

C

B A

D' D

Gi i:

1. G i H K, l n l t là hình chi u vuông góc c a A trên SB SC,

Ta có CB AB CB (SAB) CB AH AH (SBC)

CB SA







Suy ra AHSCSC(AHK)SCKH

90 AKH  )

Ta có tan tan BC AH AH BC

Do

~

~

AH SH ABH SAH

AB SA

CB SC SCB SHK

HK SH







(2)

M t khác

2

1 cos



Suy ra

2

1 cos cos

SC

SA







2

1 cos tan tan

cos







2. Do  600 nên tan tan   3 tan

2

Suy ra 3tan2 2 tan2tan  1

Do 00  900tan  1  450 V y tam giác ABC vuông cân t i B

Bài 10 Qua đ ng cao c a t di n đ u d ng m t ph ng c t 3 m t bên c a t di n theo 3 đ ng th ng t o

v i

tan tan tan  12

Gi i:

G i t di n đ u là SABC và các đi m xác đ nh nh hình v

Ta có: tan SH ; tan SH ; tan SH

G i   1, 2, 3 là góc t o b i MP v i các đ ng

vuông góc h t H xu ng AB BC CA, ,

( ng v i các chân đ ng vuông góc K I J, , )

K

C

B

A

H S

K

P

N M

C

B A

H S

Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | 7 -

12(cos cos cos )

Mà ta có:  1 2600 18002 12001 và  2 3 BCA6003 6002  1 600

cos 2 cos 2 cos 2 3

cos 2 cos 2(120 ) cos 2( 60 ) 3

        

 

cos 2 2 cos 60 cos(180 2 ) cos 2 cos 2

T (1) và (2) 1 2 1 2 1 2 182

MH NH PH a

    (2*)

Mà ta có:

2

SH SI HI    

    (3*)

2

2 18 tan tan tan 12

3

a a

Giáo viên : Nguy n Thanh Tùng

5 L I ÍCH C A H C TR C TUY N

 Ng i h c t i nhà v i giáo viên n i ti ng

 Ch đ ng l a ch n ch ng trình h c phù h p v i m c tiêu và n ng l c

 H c m i lúc, m i n i

 Ti t ki m th i gian đi l i

 Chi phí ch b ng 20% so v i h c tr c ti p t i các trung tâm

 Ch ng trình h c đ c xây d ng b i các chuyên gia giáo d c uy tín nh t

 i ng giáo viên hàng đ u Vi t Nam

 Thành tích n t ng nh t: đã có h n 300 th khoa, á khoa và h n 10.000 tân sinh viên

 Cam k t t v n h c t p trong su t quá trình h c

Là các khoá h c trang b toàn

b ki n th c c b n theo

ch ng trình sách giáo khoa

(l p 10, 11, 12) T p trung

vào m t s ki n th c tr ng

tâm c a kì thi THPT qu c gia

Là các khóa h c trang b toàn

di n ki n th c theo c u trúc c a

kì thi THPT qu c gia Phù h p

v i h c sinh c n ôn luy n bài

b n

Là các khóa h c t p trung vào

rèn ph ng pháp, luy n k

n ng tr c kì thi THPT qu c

gia cho các h c sinh đã tr i

qua quá trình ôn luy n t ng

th

Là nhóm các khóa h c t ng

ôn nh m t i u đi m s d a

trên h c l c t i th i đi m

tr c kì thi THPT qu c gia

1, 2 tháng