CÁC CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10

Bài 6: Cho biểu thức... Đồ thị : Là một đường cong Parabol nhận trục tung là trục đối xứng, tiếp xúc với trục hoành tại gốc toạ độ... Vẽ đồ thị trong trường hợp đó... Khi đó hãy tìm toạ

A A

A A

=+

+

−

−

23

2)3(36

11

2

12

12

1

a

a a

a a

a a

1

a

a M

510

3

25:

125

25

a

a a

a a

a

a a

a a

a) Rút gọn M

b) Tìm giá trị của a để M < 1

c) Tìm giá trị lớn nhất của M

Giảia) ĐK: a ≥ 0; a ≠ 4; a ≠ 25

−+

−

−

5

22

52

5

25:

155

5

a

a a

a a

a

a a

a

a a

+

−

−+

−

25

425

25

a a

a a

a

2

54

25

+

−

a a

a a

012

⇔

a

a a

2

5

+

a lớn nhất ⇔ a+2 nhỏ nhất ⇔ a = 0Vậy với a = 0 thì M đạt giá trị lớn nhất

3x2x-1

2x33x2x

11x15

+

+

−

−+

−+

− a) Rút gọn P

b)Tìm các giá trị của x sao cho P =

2 1

c) Chứng minh P ≤

3 2

Bài 5 : Cho biểu thức

P =

a

2 a 2 a

1 a 2

a a

3 9a 3a

1−

− + +

+

−

− +

− +

a) Rút gọn P

b) Tìm các giá trị nguyên của a để P nguyên

Bài 6: Cho biểu thức

Bài 7: Cho biểu thức

−

−

2 1 a

1 : a a

1 1

a a

a) Rút gọn P

b) Tính giá trị P khi a = 3 + 2 2

c) T ìm các giá trị của a sao cho P < 0

Bài 8: Cho biểu thức

1 x : x 4

8x x

2

x 4

a) Rút gọn P

b) Tính x để P = -1

c)T ìm m để với mọi giá trị x >9 ta có m( x - 3)P > x + 1

Bài 9: Cho biểu thức

++

xy

yxxxy

yy

xy

x:yx

xy

y x

a) Tìm x, y để P có nghĩa

b) Rút gọn P

c) Tìm giá trị của P với x = 3, y = 4 - 2 3

Bài 10: Cho biểu thức :

a) Rút gọn A

b) Tìm x có giá trị nguyên để A nhận giá trị nguyên

Bài 11: Cho biểu thức

x

++ + -

11

x x

+

−a) Rút gọn P

2 x 1

10x3

x4x

1x52x3x

2x

++

++

++

++

++

Không phụ thuộc vào biến số x.

Bài 14: Cho biểu thức

11

1

x

x x

x

x x

x x

với x>0 vàx≠1 a) Rút gọn A

−

+

ab

b a ab

b a

1

+++

ab

ab b a

1

21

a) Rút gọn M

b) Tính giá trị của M với a =

32

2

− c) Tìm giá trị lớn nhất của M

Bài 16: Cho biểu thức

P =

1x

)12(xx

x2x1xx

x

x2

−

−+

+

−++

x 1

x 2x

1 x 1

x

x x 1

x x

x x x 2x

−

+

− +

535

310

53

−+

−

−++

1

12:1

14

3

−

++

−

x

x x x

x x

x x

11

1

x x

c) Giải phương trình theo x khi A = -2

Bài 23: Cho biểu thức

) 1

1 1

2

(

x x

x x

x

x

x x

A

a) Rút gọn A

b) Tính giá trị của A khi x=4+2 3

Bài 24: Cho biểu thức

x x x x x

x

x A

−+

+

+

a) Rút gọn biểu thức A

b) Coi A là hàm số của biến x, vẽ đồ thị hàm số A

Bài 25: Cho biểu thức

b) Tính giá trị của A khi x = 7 4 3+

c) Với giá trị nào của x thì A đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 26: Cho biểu thức

c) Với giá trị nguyên nào của a thì M có giá trị nguyên

Bài 27: Cho biểu thức

Bài 28 :Cho biểu thức

a a

41

11

b) Tính giá trị của P khi A = 9

Bài 30: Cho biểu thức

P =

x x

x

x x

x

x

+

++++

+

−+

−+

−

−+

1

11

1

111

1

11a) Rút gọn P

3 1

1

+

−

+ +

a a

−

−

3

12

2

36

5

92

4 Sự tương giao của hai đồ thị hàm số bậc nhất:

Cho hai hàm số : y = ax + b (d)

y = a’x + b’ (d’) + Nếu a ≠ a’  (d) cắt (d’)

+ Nếu a = a’; b ≠ b’  (d) // (d’)

+ Nếu a = a’; b = b’ (d) ≡ (d’)

- Hàm số nghịch biến nếu x > 0

2 Đồ thị : Là một đường cong (Parabol) nhận trục tung là trục đối xứng, tiếp xúc với trục hoành tại gốc toạ độ

+ Nằm phía trên trục hoành nếu a > 0

+ Nằm phía dưới trục hoành nếu a < 0

3 Sự tương giao của đồ thị hàm số bậc nhất y = ax + b (d) với đồ thị hàm số y = a’x2 (P):+Nếu (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt  a’x2 = ax+b có hai nghiệm phân biệt

+ Nếu (d) Tiếp xúc (P)  a’x2 = ax + b có nghiệm kép

+ Nếu (d) và (P) không có điểm chung  a’x2 = ax+b vô nghiệm

III Các bài toán về lập phương trình đường thẳng:

1.Bài toán 1: Lập phương trình đường thẳng có hệ số góc k cho trước và đi qua điểm M (x 0 ; y 0 ):

 Cách giải:

- Nêu dạng phương trình đường thẳng : y = ax + b

- Thay a = k và toạ độ điểm M (x0; y0) vào phương trình đường thẳng để tìm b

 Phương trình đường thẳng cần lập

Ví dụ: Lập phương trình đường thẳng đi qua M (2;-3) và song song với đường thẳng y = 4x

Giả sử phương trình đường thẳng cần lập có dạng

y = ax + b ,

song song với đường thẳng y = 4x  a = 4

Đi qua M( 2;-3) nên ta có : -3 = 4.2 + b  b = -11

Vậy phương trình đường thẳng cần lập là y = 4x – 11

2.Bài toán 2: Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(x 1 ;y 1 )và B (x 2 ; y 2 ):

 Cách giải:

+ Nêu dạng phương trình đường thẳng : y = ax + b

+ Thay toạ độ điểm A và B vào phương trình đường thẳng :

b ax y

2 2

1 1

+ Giải hệ phương trình tìm a và b

 Phương trình đường thẳng cần lập

Ví dụ : Lập phương trình đường thảng đi qua A (2; 1) và B(-3; - 4)

- Giả sử phương trình đường thẳng cần lập có dạng:

Giải-y = ax + b

Đi qua A (2; 1) nên : 1 = a.2 + b (1)

Đi qua B (-3; -4) nên : -4 = a.(-3) + b (2)

Thay vào (d) ta được phương trình đường thẳng cần lập

Ví dụ : Lập phương trình đường thẳng song song với đường thẳng y = 2x + 1 và tiếp xúc với parabol y = -x2

- Giải –Giả sử phương trình đường thẳng cần lập có dạng:

y = ax + b song song với đường thẳng y = 2x + 1  a = 2

Tiếp xúc với parabol y = -x2 nên phương trình :

-x2 = 2x + b có nghiệm kép

 x2 + 2x +b = 0 có nghiệm kép

 Δ’ = 1 – b ; Δ = 0  1 – b = 0  b = 1Vậy phương trình đường thẳng cần lập là y = 2x + 1

4.Bài toán 4: Lập phương trình đường thẳng đi qua một điểm M(x 0 ; y 0 ) và tiếp xúc với đường cong y = a’x 2 (P)

 Cách giải:

+ Nêu dạng phương trình đường thẳng : y = ax + b (d)

+ Đi qua M (x0; y0) nên  y0 = a.x0 + b (1)

+ Tiếp xúc với y = a’x2 nên phương trình :

a’x2 = ax + b có nghiệm kép  Δ = 0 (2)Giải hệ hai phương trình (1) và (2) tìm a, b

 phương trình đường thẳng cần lập

Ví dụ : Lập phương trình đường thẳng đi qua M(-1; 2) và tiếp xúc với parabol y = 2x2

-Giải- Giả sử phương trình đường thẳng cần lập có dạng:

y = ax + b Đi qua M (-1; 2) nên ta có: 2 = -a + b (1)

Tiếp xúc với đường cong y = 2x2 nên phương trình :

Thay a = -4 vào (*) ta được b = -2

Vậy phương trình đường thẳng cần lập là y = -4x – 2

Phần II :Các bài tập về hàm số :

Bài tập 1 : Cho hàm số y = (m2 – 6m + 12)x2

a) CMR hàm số nghịch biến trong (-∞; 0), đồng biến (0; +∞) với mọi m

b) Xác định giá trị của m để đồ thị hàm số đi qua (1; 5)

Bài tập 2: Cho hàm số y = ax2 (P)

a) Xác định a để đồ thị hàm số đi qua (-4; 8) Vẽ đồ thị trong trường hợp đó

b) Xác định a để đường thẳng y = 2x + 3 cắt (P) tại hai điểm phân biệt

Bài 3: Cho hàm số y = 2x2 (P)

a) Vẽ đồ thị hàm số

b) Tìm trên đồ thị các điểm cách đều hai trục toạ độ

c) Tuỳ theo m, hãy xác định số giao điểm của (P) với đường thẳn (d) có phương trình:

y = mx – 1

d) Viết phương trình đường thẳng tiếp xúc (P) và đi qua A(0; -2)

Bài 4: Cho parabol y =

2

1

x2 (P)a)Viết phương trình đường thẳng đi qua A(-1; 3) và B(2; 6)

b)Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng AB với (P)

Bài 5: Cho đường thẳng có phương trình :

2(m - 1)x + (m - 2)y = 2 (d)a) Xác định m để đường thẳng cắt parabol y = x2 tại hai điểm phân biệt

b) CMR đường thẳng đã cho luôn đi qua một điểm cố định với mọi m

Bài 6: Cho parabol y =

2

1

x2 (P)a) Vẽ đồ thị hàm số

b) Xác định m để đường thẳng y = x – m cắt (P) tại hai điểm phân biệt Tìm toạ độ giao điểm với m = -2

c) Viết phương trình đường thẳng tiếp xúc với (P) và đi qua A (2; -1)

Bầi 7: Cho hàm số y = (m - 2)x + n (d)

a) Tìm các giá trị của m và n để đường thẳng (d) đi qua hai điểm A (-1; 2) và B (3; -4)b) Xác định m và n để đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ 1 - 2 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là 2 + 2

Bài 8: Cho parabol y = ax2 (P)

a) Xác định a để đồ thị hàm số đi qua A(-2; 8)

b) Tìm các giá trị của a để đường thẳng y = -x + 2 tiếp xúc với (P)

Bài 9: Cho parabol y = x2 – 4x + 3 (P)

a) Viết phương trình đường thẳng đi qua A (2; 1) và có hệ số góc k

b) CMR đường thẳng vừa lập luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của k

Bài 10: Cho parabol y = x2 (P) và đường thẳng y = mx -1 d)

Hãy tìm các giá trị của m để đường thẳng (d) tiếp xúc với (P) Khi đó hãy tìm toạ độ tiếp điểm

Bài 11: Cho hàm số y = (m2 + 1)x – 1

a) Hàm số đã cho đồng biến hay nghịch biến? vì sao?

b) Chứng tỏ rằng đồ thị của hàm số đã cho luôn đi qua một điểm cố đinh với mọi giá trị của m

c) Biết rằng điểm (1; 1) thuộc đồ thị hàm số Xác định m và vẽ đồ thị của hàm số ứng với

a) Vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng mặt phẳng toạ độ

b) Tìm toạ độ giao điểm của hai đồ thị

a) Với giá trị nào của m thì đường thẳng y = -x + m cắt (P) tại hai điểm phân biệt

b) Xác định toạ độ giao điểm trong trường hợp m =

23

c) Viết phương trình đường thẳng tiếp xúc với (P) và đi qua A (1; -4) Tìm toạ độ tiếp điểm

Vậy hàm số đồng biến với mọi m

b) Đồ thị hàm số đi qua (1; 5) nên ta có:

23

m m

23

b)Đường thẳng y = 2x + 3 cắt (P) tại hai điểm phân biệt

 phương trình : ax2 = 2x + 3 có hai nghiệm phân biệt

 ax2 – 2x -3 =0

3

10

b)Giả sử điểm M(x; y) cách đều hai trục toạ độ ⇒ x = y

Vậy tập hợp các điểm cách đều hai trục toạ độ thuộc đồ thị hàm số y = 2x2 phải là nghiệm của hệ:

x y

x y

x y

)(

II I

0

x x

Với x = 0 thay vào (P) ta được y = 0

Vậy các điểm cách đều hai trục toạ độ là (0; 0), (

2.2

m

m

⇒ cắt nhau

+ ∆ = 0  m = ±2 ⇒ Tiép xúc

+ ∆ < 0  −2 2 <m<2 2 ⇒ không giao nhau

d)Lập được hai phương trình là : y = 4x – 2 và y = -4x -2

=+

''

a

c by ax

a

Hệ có nghiệm duy nhất

''

c b

b a

a

Hệ vô nghiệm

''

c b

b a

- Thay biểu thức của x vào phương trình còn lại để tìm y

- Thay y vừa tìm được vào biểu thức của x để tìm x

KL : Nghiệm của hệ là cặp giá trị (x; y) vừa tìm được

Ví dụ 1 : Giải các hệ phương trình sau :

3

632

y x

y x

)2(

)1(

Từ phương trình (2) ta có: x = 3 – y (*)

Thay x = 3 – y vào phương trình (1) ta được :

2(3 - y) + 3y = 6

6 – 2y + 3y = 6 ⇒y = 0

Thay y = 0 vào phương trình (*) ta được : x = 3

Vậy nghiệm của hệ là:

354

52

y x

y x

)2(

)1(

Thay x = 2 vào (*) ta được : y = 5 – 2.2 ⇒ y=1

Vậy nghiệm của hệ là :

2 Phương pháp cộng :

- Biến đổi các hệ số của cùng một ẩn sao cho có giá trị tuyệt đối bằng nhau

- Cộng hoặc trừ từng vế của hệ để khử đi một ẩn

- Giải phương trình tìm ẩn chưa khử

- Thay giá trị vào một phương trình của hệ để tìm ẩn còn lại

KL : nghiệm của hệ là cặp giá trị (x; y) vừa tìm được

Ví dụ 2: Giải các hệ phương trình sau :

−

=+

93

142

y x

y x

)2(

)1(

=+

−

345

1143

y x

y x

)2(

)1(

=+

''

a

c by ax

+Nếu a = a’ hoặc b = b’ ta nên sử dụng phép cộng từng vế

+Nếu a = -a’ hoặc b = -b’ ta nên sử dụng phép trừ

+Nếu các hệ số a; a’; b; b’ bằng 1 hoặc -1 thì ta nên dùng phương pháp thế

+ Nếu các hệ số a; a’; b; b’ khác ±1và không có giá trị tuyệt đối bằng nhau thì ta đi tìm BCNN (a;a’) hoặc BCNN (b; b’)

Ví dụ 3: Giải các hệ phương trình sau :

1223

134

y x

y x

((21))Nhân phương trình (1) với 2, nhân phương trình (2) với 3 ta được :

3669

268

y x

y x

Cộng từng vế của hệ ta được : 17x = 34 ⇒ x= 2

Thay x = 2 vào phương trình (1) ta được :

4.2 + 3y = -1

39

645

y x

y x

)2(

)1(

Nhân phương trình (2) với 2 ta được :

645

y x

y x

83

=

−

456

1757

y x

y x

145

9

5712

y x

y x

 Chú ý : Với bài tập dạng tìm điều kiện của tham số để nghiệm của hệ thoả mãn một điều kiện α nào đó ta làm như sau:

+ Coi tham số như số đã biết

+ Giải hệ phương trình tìm nghiệm (x; y).Nghiệm (x; y) phụ thuộc vào tham số

+ Giải các phương trình (Bất phương trình) của biểu thức chứa tham số

02

y mx

y x

)2(

)1(

a) Giải hệ với m = -2

b) Tìm m để hệ có nghiệm dương

Giải a) Với m = -2 ta có hệ :

02

y x

y x

Vậy nghiệm của hệ là :

y x

b)Từ (1) ta có : x = 2y (*) thay vào phương trình (2) ta được:

m.2y – 3y = 2

32

22

)32(

y

Thay vào (*) ta được :

32

4

−

=

m x

03240

0

m

m y

x

⇒ 2m – 3 > 0

⇒ m >

23

Vậy với m >

2

3

thì hệ phương trình có nghiệm dương

Bài 2: Cho hệ phương trình

15

32

y x

a y x

a) Giải hệ phương trình với a = 2

−

=

−

85

634

ay x

y x

a) Giải hệ phương trình với a = 3

b) Tìm giá trị của a để hệ co nghiệm âm duy nhất

Bài 4: Cho hệ phương trình







=+

=

−

53

2

my x

y mx

Tìm giá trị của m để hệ có nghiệm x = 1; y = 3−1

Bài 5: Cho hệ phương trình







=+

−

=

−+

2412)1(

12)1(3

y x m

y m x

a) Giải và biện luận hệ phương trình

b) Tìm m để hệ có một nghiệm sao cho x < y

Bài 6: Cho hệ phương trình







=+

=

−+

a y ax

y x

(

a) Giải hệ với a = 2

b) Xác định giá trị của a để hệ có nghiệm x + y > 0

Bài 7: Cho hệ phương trình

8050)4

(

16)4(2

y x m

y m x

a) Giải và biện luận hệ phương trình

b) Tìm m để hệ có một nghiệm x +y >1

Bài 8 : Cho hệ phương trình







=+

−

−

=+

0)

1

(

3

y x m

my mx

a) Giải hệ với m = 2 b)Tìm m để hệ có nghiệm âm

Bài 9: Cho hệ phương trình







+++

−

=

−++

2)2()2

(

1)()(

y b a x b a

y b a x b a

a) Giải hệ với a = 2 và b = 1

b) Tìm tất cả các cặp giá trị nguyên của a và b để hệ có nghiệm nguyên

Bài 10: Cho hệ phương trình:

−

=+

1

13

a ay

x

a y ax

a) Giải và biện luận hệ phương trình trên

b) Tìm giá trị nguyên sao cho nghiệm của hệ có gia strị nguyên

Bài 11: Cho hệ phương trình:

+

=+

a by

ax

b ay x

98

42

5

42

ay bx

by x

Đáp án : Phương trình : b, c là các phương trình bậc hai

II Công thức nghiệm và công thức nghiệm thu gọn:

a) Công thức nghiệm:

Với phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)

Δ = b2 – 4.a.c+ Δ < 0  phương trình vô nghiệm

a

b x

2

1

∆+

−

=

a

b x

Nếu b chẵn Đặt b = 2b’, ta có

Δ’ = b’2 – a.c+ Δ’ < 0  phương trình vô nghiệm

+ Δ’ = 0  Phương trình có nghiệm kép : x1 = x2 =

a

b'

−+ Δ’ > 0  phương trình có hai nghiệm phân biệt :

12 =c) -2x2 +5x + 3 = 0

Δ = 52 – 4 (-2) 3 = 25 + 24 = 49; ∆ =7

⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt

2

14

75

b) Áp dụng : Tính nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai:

Cho phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0)

+ Nếu a + b + c = 0 th ì x1 = 1; x2 =

a c

Ví dụ : a) Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 17 và tích của chúng bằng 72

Giải Gọi x1, x2 là hai số cần tìm Ta có: x1 + x2 = 17

x1 x2 = 72

Vậy x1, x2 phải là nghiệm của phương trình : X2 – 17X + 72 = 0

Δ = (-17)2 - 4.72 = 289 – 288 = 1

x1 = (17+ 1) : 2 = 9; x2 = (17 - 1) : 2 = 8Vậy hai số cần tìm là 8 và 9

b) Lập một phương trình bậc hai có hai nghiệm là -3 và 7

- Giải –

Ta có : x1 + x2 = -3 + 7 = 4

X1 x2 = -3 7 = -21

Vì 42 – 4 (-21) ≥ 0

Vậy x1 , x2 là nghiệm của phương trình : x2 – 4x – 21 = 0

III CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

1 Bài tập về số nghiệm của phương trùnh bậc hai:

Với phương trình : ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)

Δ = b2 – 4.a.c + Phương trình có hai nghiệm phân biệt  Δ > 0 (Δ’ > 0)

0

;0

a

b a

Ví dụ 1: Tìm các giá trị của m để các phương trình sau có hai nghiệm phân biệt :

b)Ta có : Δ = 42 – 4.2.(-m) = 16 + 8m

Δ = 16 + 8m > 0  m > -2

Vậy với m > - 2 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt

Ví dụ 2 : Tìm các giá trị của m để các phương trình sau có nghiệm kép.

 m = 1 hoặc m = -3 (thoả mãn)Vậy với m = 1 hoặc m= - 3 thì phương trình có nghiệm kép

b) Ta có :

Δ’ = 452 – 15m = 2025 – 15m

Δ’ = 0  2025 – 15m = 0

 m = 135Vậy với m = 135 thì phương trình có nghiệm kép

Ví dụ 3: : Tìm các giá trị của m để các phương trình sau vô nghiệm

a) 3x2 – 2x + m = 0

b) x2 + mx + 3 = 0

-Giải-a) 3x2 – 2x + m = 0

Để phương trình vô nghiệm  ∆ < 0

Ta có : ∆ ' = 1 − 3m ;

3

10

310'< ⇔ − < ⇒ >

12

0⇔ 2 < ⇒− < <

<

Vậy với - 12 <m< 12 thì phương trình vô nghiệm

Ví dụ 4: Tìm các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm duy nhất:

a b a

4()2(

04

40

2

04

m

m

m m

Vậy với m = 4 hoặc m = 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất.

2.Bài tập về dấu các nghiệm của phương trình bậc hai:

b) Điều kiện để phương trình có hai nghiệm cùng dấu dương : 

a b a c

c) Điều kiện để phương trình có hai nghiệm cùng dấu âm:

a b a c

d) Điều kiện để phương trình có hai nghiệm trái dấu:

 a.c < 0

Ví dụ : Xác định giá trị của m để các phương trình sau có hai nghiệm cùng dấu:

a) x2 – 3x + m – 1 = 0