05/09/2009 – 01/12/2010
TÌM HIỂU LỚP TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT
Khi ta làm toán về tích phân Ắt các bạn đã từng tính những con tích phân
cơ bản sau đây :
−
+ +
=
+ + +
∫
x 2 1
ln x x 1
Ví duï 1:TínhI dx
x 1 x 1
=∫1 3− 2− +
2 0
Ví duï 2 : Tính I 2x 3x x 1dx
π
=∫2 3 −3
3 0
Ví duï 3 : Tính I sinx cosx dx
−
=
+
∫1 2
x
Ví duï 4 : Tính I dx
2 1
π
=
+
∫2 6
sin x
Ví duï 5 : Tính I dx
π
=∫4 +
6 0
Ví duï 6 : Tính I ln 1 tanx dx
π
=∫2
sinx
Ví duï 7 : Tính I dx
sinx+cosx
π
=
+
∫2
sinx
Ví duï 8 : Tính I dx
sin x cos x
π
+
=
+
1 sin x
Ví duï 9 : Tính I ln dx
1 cos x
Vấn đề dặt ra : Tích phân tổng quát của các con tích phân trên là gì ?
Ta nhận thấy các tích phân trên đều có 1 dạng chung đó là :
( )
Vậy phương pháp tính các tích phân có dạng trên là gì ?
Ở đây ta hoàn toàn làm được theo 1 phương pháp chung Đó là đổi biến số bằng phép đặt x= a+b- t
Thật vậy :
=
∫
∫
∫
∫
a
a
b
a
1
2
x
Bởi vậy :
Trang 205/09/2009 – 01/12/2010
−
−
−
+
+ − + − = + +
+ +
+ +
+
+
=
∫
∫
∫
2
x 2
1 1
x 2 1
1 2
ln x x 1
Ví dụ
Tacó: f x f 1 1 x x ln x x 1
ln x x 1 1 Nên theo công thức tổng quát I dx x ln x x 1 dx ?
2
x 1 x 1 Tích phân này hoàn toàn tính được bằng phương pháp tích phân
từng pha
π
π π
+ − =
+ + − =
=
∫
∫
∫
∫1 3 3
1 3 3 2
2 0
2
2
2
3 0
Ví dụ 2 : I 2x 3x x 1dx
Ví du
àn
Ta có : f x f 1 x 0
Nên theo công thức tổng quát I 2x 3x 1dx 0
Ta có : f x f 0 x 0
Nên theo công thức to
ï 3 : Tính I s
ån
inx cosx dx
g quát : I sinx cosx dx 0
Trang 305/09/2009 – 01/12/2010
( )
π
π
−
+
=
=
+
+
+
=
∫
∫
2 1
6 2
2
2
6
x
sin x
Ví d
2
sin x Nên theo công thức tổng quát
sin x cos
sin
x
I
x
π
6
1
Trang 405/09/2009 – 01/12/2010
( )
π
π
π
π
π
π
−
=
∫
∫
4 6 0
2
6
1 t anx
1 Nên theo công th
sinx
sinx
ức tổng quát I ln 1 t
+cosx
2
1
π
π
=
+
+
2
2
2
2
4
4
4
Trang 505/09/2009 – 01/12/2010
( )
( )
2
3 2
9
0
3
0
0
1
sinx
sin x cos x
1 sin x
Ví dụ 9 :
1
T
s
í
in
nh
xcosx
1
Ta có :
1 cos x
2
π
π
π
π
π
π
=
−
+
+
+
=
+
∫
∫
∫
∫
9
Nên theo công thức tổng quát I 0
+
=