Trong bài viết này tôi xin được trao đổi về phương pháp giải đối với một lớp tích phân đặc biệt, nhưng thường xuất hiện trong các kì thi tuyển sinh vào Đại học và Cao đẳng.. Tích phân tổ[r]
Trang 1PHƯƠNG PHÁP GIẢI ĐỐI VỚI MỘT LỚP TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT
TRẦN XUÂN ĐƯỜNG (GV Trường sĩ quan Tăng thiết giáp, Tam Dương, Vĩnh Phúc)
Trong bài viết này tôi xin được trao đổi về phương pháp giải đối với một lớp tích phân đặc biệt, nhưng thường xuất hiện trong các kì thi tuyển sinh vào Đại học và Cao đẳng
Tích phân tổng quát có dạng:
a b R a b, ; , 0; m n p Q n p, , ; , 0
( Đối với các trường hợp đặc biệt khi a 0;b 0 ;n 0 hoặc p 0 tích phân trên suy biến thành các tích phân đơn giản Chúng ta dễ dàng tính được băng cách dùng bảng nguyên hàm )
Tùy thuộc vào tính chất và mối quan hệ qua lại của các lũy thừa m,n,p mà
chúng ta sử dụng phép đổi biến tương ứng
Dạng 1: Nếu p Z , thì gọi q là mẫu số chung nhỏ nhất của các phân số tối giản biểu thị bởi m và n, khi đó đặt x t q
Thật vậy: Trước hết ta xét tích phân tổng quát sau đây
m m n n1 , 2 , , 1 2 Z m n; 2 , 2 0
Gọi q là bội số chung nhỏ nhất của m n2, 2 khi đó k l Z k l, ; , 0 sao cho q km 2 ln2. Đặt x t q dx qt dt q 1
Khi x t 1; x= t 1. Từ đó ta có
1
1
1
q t a bt t dt
1 2 1 2 1
1
1
1
1
q t a bt t dt
1
1
Do m m k n l p Z1, 2, , , ,1 nên tích phân (1) là tích phân của hàm hữu tỉ, và dĩ nhiên việc tính tích phân mới này đơn giản hơn so với tích phân ban đầu
Trang 2 Thí dụ 1 Tính tích phân 4
dx I
Lời giải
1
2 (1 )
dx
Đặt x t 2 dx 2tdt
Khi x 1 t 1; x=4 t 2. Từ đó
2
1 4 2ln
3
I
dt dt
A
Dạng 2: Nếu m 1 Z , khi đó gọi r là mẫu số của p và đặt
n
a bx t
Xét tích phân tổng quát trong trường hợp này:
trong đó
m 1 Z; p s; ,s r Z s r; , 0.
Từ điều kiện m 1 Z
n
Đặt n r n t r a n 1 r r 1
Khi x t 1; x= t 1. Từ đó ta có
s
1
s m
n r n n
x
a bx x dx x
s
( 1) ( ) 1
s
1
1
1 1
r r
t t dt
1
1 1
(2).
k
k
r
nb
Do r k s Z, , nên tích phân (2) là tích phân của hàm hữu tỉ
Trang 3 Thí dụ 2 ( Đề thi Đại học Ngoại thương, 1996)
Tính tích phân 1 3 2
0
1
I x x dx
Lời giải
Ta có: 1 3 2 1 3 2 21
2
m
n
Đặt 1 x2 t2 x2 1 t2 xdx tdt
Khi x 0 t 1; x=1 t 0. Từ đó
1
3 5 0
2
t t
A
Nhận xét Trong trường hợp đặc biệt khi m 1 Z và phép đặt ẩn phụ
n
p Z trong tích phân trên có dạng a bx n t ta xét thí dụ sau đây:
Thí dụ 3 ( Đề thi Đại học Kinh tế quốc dân,1997)
Tính tích phân 1 5 3 6
0
(1 )
I x x dx
Lời giải Ta có m 5;n 3;p 6 do vậy p Z;m 1 Z.
n
Đặt 1 x3 t x3 1 t 3x dx2 dt
Khi x 0 t 1; x=1 t 0. Từ đó
1
0
(1 )
I x x dx 1 3 3 6 2
0
(1 )
x x x dx
0
1 (1 )
3 t t dt
0
1
3 t t dt
71 81
Dạng 3: Nếu m 1 p Z , khi đó gọi r là mẫu số của p và đặt
n
n
a bx
t x
Xét tích phân tổng quát trong trường hợp này
trong đó
Từ điều kiện m 1 p Z
n
sao cho 1
2
Khi x t 1; x= t 1. Từ đó
Trang 4( )
1
np n
x a bx
x x dx
p n
n
a bx
x
p n
n
a bx
x
1
2
rp
t
1
1 1
s
t
1
1
1
1 (3).
a r t
dt
Do r k s Z, , nên tích phân (3) là tích phân của hàm hữu tỉ
Thí dụ 4 Tính tích phân 2
dx I
Lời giải
2 1
n
2
2
5
3 2
2
7 5 8 2
I
x x
t dt
t t
A
Để kết thúc bài viết mời các bạn hãy thử tính các tích phân sau:
1
2010 0
1 I x(1 x) dx 1 3 2 20
0
2 I x (1 x ) dx 16 4
1
3
(1 )
dx I
1
5 4 0
4 I x(1 x dx) 1 2 3
0
5 I x 2 x dx 2 3 2
5
6
4
dx I
x x
7 3
0
7
1
x dx
I
x
1
1
8 I x dx
x
3 3
9
dx I
x