Tìm số phức nghịch đảo của các số phức sau đây : a.. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức : a.. Tìm một acgumen của mỗi số phức sau : 17.. Viết dạng lượng giác của mỗi số phức
Trang 1Bài SỐ PHỨC
1.Số i:
1
2 =−
i
2.Định nghĩa số phức:
*Biểu thức dạng a + bi ,a,b∈R;i2 =−1được gọi là một số phức Đơn vị số phức z = a +bi:Ta nói a là phần số thực,b là phần số ảo Tập hợp các số phức kí hiệu là C:
Ví dụ :z = 2 + 3i
z = 1+ (- 3i) = 1 - 3i
Chú ý: z =a+bi=a+ib
3:Số phức bằng nhau:
Định nghĩa:( SGK) a +bi = c +di⇔
=
=
d b
c a
Ví dụ:tìm số thực x,y sao cho: 2x+1 + (3y-2)i=x+2+(y+4)i
=
=
⇔
=
=
⇔
+
=
−
+
=
+
3
1 6
2
1 4
2
3
2
1
2
y
x y
x y
y
x
x
*Các trường hợp đặc biệt của số phức:
+Số a là số phức có phần ảo bằng 0, a=a+0i
+Số thực cũng là số phức
+Sồ phức 0+bi được gọi là số thuần ảo:bi=0+bi;i=0+i
M ath Compo ser 1.1.5 http://www.m athc omposer.com
M
a
b
-5 -4 -3 -2 -1
1 2 3 4 5
x y
4.Biểu diển hình học của số phức
Định nghĩa : (SGK)
Ví dụ :
+Điểm A (3;-1): được biểu diển số phức 3-i
+Điểm B(-2;2): được biểu diển số phức-2+2i
5 Mô đun của hai số phức :
Định nghĩa: (SGK) Cho z = a+bi
2
a bi
a
z = + = +
Ví dụ: 3−2i = 32 +(−2)2 = 13
Trang 26 Số phức liên hợp:
Cho z = a+bi Số phức liên hợp của z là:z=a−bi
Ví dụ :
1 z=4−i⇒z =4+i
2 z=−5+7i⇒z =−5−7i
Nhận xét:
PHÉP CHIA SỐ PHỨC
1/Tổng và tích của 2 số phức liên hợp
Cho số phức z = a + bi và z= a – bi Ta có z +z = 2a và z.z= a2 + b2
Vậy tổng và tích của hai số phức liên hợp là một số thực
2/ Phép chia hai số phức.
a/ Ví dụ
Tìm phần thực và phần ảo của các số phức
z1 = 3
1
i i
+
− và z2 =
3 5
2i i +i
Giải * z1 = ( 3 )(1 )2
1
i i i
+ +
− =
( 3 1) ( 3 1)
2
i
+ + + => a = b = 3 1
2
+
b/ Phép chia hai số phức (SGK)
Chú ý
Tính thương c di
a bi
+ + Ta nhân tử và mẫu cho số phức liên hợp c/ Ví dụ
1/ Tính 2 3
5
i
i
+
1
3 2i+ 3/ Tính
i i
+
2 3 2
i i
−
+ Bài tập làm thêm
Cho số phức z = a+ bi , a,b∈R Tìm phần thực và ảo các số phức sau
a/ z2 – 2z +4i b/
1
z i iz
+
− c) Thực hiện phép tính 2
2
i + 1
2
i
+
d) Thực hiện phép tính
1
z z
÷
biết z = 4+3i và z1 = 2i – 3 e) Tìm phần thực và ảo các số phức sau 1
3 2
z iz
+ + với z = 3+i f) Thực hiện phép tính (1 )(1 2 )i3+i i
+ −
Bài 1: a/ 2
3 2
i i
+
− =
13 13+ i b/ 1 2
i i
+ + =
2 3
i i
− =
15 10
13 13i
− +
Bài 2: a/ 1
1 2i+ =
1 2
2 9
2 3
i i
+
= +
11 11+ i c/ 1
1
i i i
−
= = −
25 3
i i
−
=
+
28− 28i
Trang 3Bài 3: a/ 2i(3+i)(2+4i) = 2i(2+14i) = - 28 +4i b/ (1 ) (2 )2 3 2 ( 8 )
i i i i
− + − + =
16( 2 ) 32 16
i
i
− − = − − c/ 3+2i+(6+i)(5+i) = 3+2i +29+11i = 32+13i
d/ 4-3i+5 4
3 6
i i
+
+ = 4-3i +
(5 4 )(3 6 ) 45
i i
= 4-3i +39 18 219 153
45 45− i= 45 − 45 i
Bài 4 : a/(3-2i)z +(4+5i)=7+3i (3-2i)z=3 – 2i z = 3 2
3 2
i i
−
− =1
b/ (1+3i)z-(2+5i)=(2+i)z (-1+2i)z=(2+5i) z= 2 5 8 9
i
i i
+ = −
− +
i+ − = − ⇔ i = + ⇔ = + − ⇔ = −
Bài 5: Tìm a,b ∈R sao cho (a – 2bi) (2a+bi) = 2+3
2i
Bài 6 : Cho z1 = 9y2 – 4 – 10xi3 và z2 = 8y2 +20i19 Tìm x,y∈R sao cho z1 = z2
1.Căn bậc 2 của số thực âm
Với a < 0 có 2 căn bậc 2 của a là ± i
Ví dụ :-4 có 2 căn bậc 2 là ±2i
II.Phương trình bậc 2
+ Δ>0:pt có 2 nghiệm phân biệt x1,2 =
+ Δ = 0: pt có nghiệm kép x1 = x2 =
+ Δ<0: pt không có nghiệm thực
Tuy nhiên trong tập hợp số phức, pt có 2 nghiệm phân biệt x1,2 =
Giải các pt sau trong tập hợp số phức
a).x² + 4 = 0 b).-x² + 2x – 5 = 0 c) x4 – 3x2 – 4 = 0 d) x4 – 9 = 0
Bài tập 2
a/ -3z² + 2z – 1 = 0 Δ΄= -2 < 0 pt có 2 nghiệm phân biệt z1,2 =
b/ 7z² + 3z + 2 = 0: Δ= - 47 < 0 pt có 2 nghiệm phân biệt z1,2 =
c/ 5z² - 7z + 11 = 0 Δ = -171 < 0 pt có 2 nghiệm phân biệt z1,2 =
3a/ z4 + z² - 6 = 0 z² = -3 → z = ±i z² = 2→ z = ±
3b/ z4 + 7z2 + 10 = 0 z2 = -5 → z = ±i z² = - 2 → z = ± i
BT 1: Giải pt sau trên tập số phức:
a/ z2 – z + 5 = 0 b/ z4 – 1 = 0 c/ z4 – z2 – 6 = 0
1 thực hiện các phép tính
a) (3-+5i) +(2+4i) = 5 +9i b) ( -2-3i) +(-1-7i) = -3-10i
c) (4+3i) -(5-7i) = -1+10i d) ( 2-3i) -(5-4i) = -3 + i
2.Tính α+β, α-β với
a)α = 3,β = 2i b)α = 1-2i,β = 6i c)α = 5i,β =- 7i d)α = 15,β =4-2i
giải
a)α+β = 3+2i α-β = 3-2i b)α+β = 1+4i α-β = 1-8i
c)α+β =-2i α-β = 12i d)α+β = 19-2i α-β = 11+2i
3.thực hiện các phép tính
a) (3-2i) (2-3i) = -13i b) ( 1-i) +(3+7i) = 10+4i
c) 5(4+3i) = 20+15i d) ( -2-5i) 4i = -8 + 20i
4.Tính i 3 , i 4 i 5
Nêu cách tính in với n là số tự nhiên tuỳ ý
giải
i3=i2.i =-i, i4=i2.i 2=-1, i5=i4.i =i
Trang 4Nếu n = 4q +r, 0 ≤ r < 4 thì in = ir
5.Tính
a) (2+3i)2=-5+12i, b) (2+3i)3=-46+9i
Thực hiện phép tính
a (58-i)+(2-17i) b (6+3i)(10+8i) c (4+2i)(4-2i)
Bài giải
a (58-i)+(2-17i)=58-i+2-17i=60-18i
b (6+3i)(10+8i)=60+48i+30i+24i2 =60+78i+24(-1)=36+78i
c (4+2i)(4-2i)=16-(2i)=16+42=20
Thực hiện phép tính
BÀI TẬP
1 Tìm các số thực x y , , biết rằng : ( 3 x − 2 y + + + 1 ) ( x 2 y − 3 ) ( i = − + x 4 y + 15 ) ( + − − + 5 x y 6 ) i.
2 Thực hiện các phép tính sau đây :
a ( 1 2 − i ) ( 3 5 + i ); b 3 2
3 4
i i
−
− ; c ( 4 ) ( 3 2 ) 5
1
i
d ( ) (2 )2
1 2 + i + − 3 i ; e ( )10
45
1 1
i i
+
− ÷
; g ( )20
3 Tìm modun của số phức z = + ( 2 3 1 i ) ( − i ).
4 Tìm phần thực, phần ảo và modun của số phức sau : 3 4 2
1
− − +
5 Tìm số phức liên hợp của số phức sau đây : ( ) ( )2
2 3 1 + i + i .
6 Chứng minh rằng số phức sau đây là một số thực : 3 ( 3 )
2
i
i i
− + + +
7 Chứng minh rằng số phức sau đây là một số ảo : ( ) (2 )
3 2 − i − − 5 6 i .
8 Chứng minh rằng số sau đây là số thực :
1
z z zz
+ + .
9 Cho số phức z = + 2 3 i Tìm phần thực, phần ảo của số phức 7
5
iz
+ +
Trang 510 Giải các phương trình sau :
a 3 x + − ( 3 2 i ) = + 6 7 i; b ( 5 2 + i x ) ( + − + = − 2 i ) 7 3 i c ( )2
4 2 − − − i 1 i z = 0.
11 Tìm số phức z, biết rằng :
a z2 = 2 i; b z + 2 z = + 6 2 i.
c iz + 3 z = + 7 5 i; d 3 z + 2 z = + 5 2 i.
12 Tìm số phức nghịch đảo của các số phức sau đây :
a z = + 2 i; b z = + ( 4 i ) ( 2 3 − i ) .
13 Tìm các căn bậc hai của mỗi số phức sau :
14 Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức :
a x2 + = 9 0; b x2 + 4 x + = 5 0; c 2 x2 − 5 x + = 4 0;
d − 2 x2 + 3 z − = 5 0; e x4+ 5 x2 + = 4 0; f x3 − 2 x2+ 10 x = 0;
g x3 + = 1 0; h ( x2 − 4 )( x2 + 2 x + = 5 ) 0.
15 Giải các phương trình sau :
a z2 + + = iz 2 0; b z2 − + ( i 3 ) z + 2 ( i + = 1 ) 0.
16 Tìm một acgumen của mỗi số phức sau :
17 Viết dạng lượng giác của mỗi số phức sau :
a 3i; b 5; c − 5; d − 2i.
18 Viết dạng lượng giác của mỗi số phức sau đây :
π − π
.
19 Viết dạng lượng giác của mỗi số phức sau :
a − 2 cos ( ϕ + i sin ϕ ) ; b − 3 cos ( ϕ − i sin ϕ ).
20 Tìm dạng lượng giác của số phức : 1 cos sin
z = + π + i π
.
21 Cho số phức 11 11
.
a Viết dạng lượng giác của z b Tính z6
22 Cho số phức z = + 1 i.
a Viết dạng lượng giác của z b Tìm các căn bậc hai của z.
23 Cho số phức 1 3
z = − i.
a Viết dạng lượng giác của z.
b Tìm các căn bậc hai của z.
24 Cho số phức z r = ( cos ϕ + i sin ϕ ) ( r > 0 ) Hãy tìm một acgumen của mỗi số phức sau đây :
Trang 6a iz; b i
z
z .
Dạng 1: Các phép toán về số phức
Câu1: Thực hiện các phép toán sau:
a (2 - i) + 1
2i 3
−
b ( 2 3i ) 2 5 i
3 4
− − − ữ
− + − + −
+ − − + + − −
Câu2: Thực hiện các phép tính sau:
a (2 - 3i)(3 + i) b (3 + 4i)2 c
3
1 3i 2
−
Câu3: Thực hiện các phép tính sau:
a 1 i
2 i
+
2 3i
4 5i
−
3
5 i − d ( 4 i 2 2i 2 3i ) ( )
+
Câu4: Giải phơng trình sau (với ẩn là z) trên tập số phức
3 2i − z i + = 3i
− = +
3 5i
2 4i z
+ = −
w 0
=
=
x i
+
− với x là số thực mà
ta phải xác định
Dạng 2: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa mãn điều kiện cho trớc
Câu1: Tìm tập hợp những điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn:
a z 3 1 + = b z i + = − − z 2 3i
Câu2: Tìm tập hợp những điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn:
a z + 2i là số thực b z - 2 + i là số thuần ảo
1
z i
+ là số thực
Dạng 1: tính căn bậc hai của số
Câu1: Tính căn bậc hai của các số phức sau:
i
3 2
− −
Dạng 2: Giải phơng trình bậc hai
Câu1: Giải các phơng trình sau trên tập số phức
a x2 + 7 = 0 b x2 - 3x + 3 = 0 c x2 + 2(1 + i)x + 4 + 2i = 0
d x2 - 2(2 - i)x + 18 + 4i = 0 e ix2 + 4x + 4 - i = 0 g x2 + (2 - 3i)x = 0
Câu2: Giải các phơng trình sau trên tập số phức
a ( z 3i z + ) ( 2− 2z 5 + = ) 0 b ( z2+ 9 z )( 2− + = z 1 ) 0
c 2z3− 3z2 + 5z 3i 3 0 + − =
Câu3: Tìm hai số phức biết tổng và tích của chúng lần lợt là:
a 2 + 3i và -1 + 3i b 2i và -4 + 4i
Trang 7Câu4: Tìm phơng trình bậc hai với hệ số thực nhận α làm nghiệm:
a α = 3 + 4i b α = 7 i 3 −
a z2 - mz + m + 1 = 0 điều kiện: z12+ z22 = z z1 2+ 1
b z2 - 3mz + 5i = 0 điều kiện: 3 3
Bài tập:
Câu1: Tính căn bậc hai của các số phức sau:
i
Câu2: Chứng minh rằng:
a Nếu x + iy là căn bậc hai của hai số phức a + bi thì x - yi là căn bậc hai của số phức a - bi
b Nếu x + iy là căn bậc hai của số phức a + bi thì x y
i
k + k là căn bậc hia của số phức
i
(k ≠ 0)
Câu3: Giải phơng trình sau trên tập số phức:
a z2 + 5 = 0 b z2 + 2z + 2 = 0 c z2 + 4z + 10 = 0
d z2 - 5z + 9 = 0 e -2z2 + 3z - 1 = 0 g 3z2 - 2z + 3 = 0
Câu4: Giải phơng trình sau trên tập số phức:
a (z + i)(z2 - 2z + 2) = 0 b (z2 + 2z) - 6(z2 + 2z) - 16 = 0
c (z + 5i)(z - 3)(z2 + z + 3) = 0 d z3 - (1 + i)z2 + (3 + i)z - 3i = 0
Câu5: Giải phơng trình sau trên tập số phức:
a (z + 2i)2 + 2(z + 2i) - 3 = 0 b
2
a) α = 2 - 5i b α = -2 - i 3 c α = 3 i 2 −
nghiệm của phơng trình đó
Hãy xác định điều kiện của tham số m sao cho phơng trình
a Chỉ có đúng 1 nghiệm phức b) Chỉ có đúng 1 nghiệm thực
c) Có ba nghiệm phức
Câu9: Giải phơng trình sau trên tập số phức:
a z2 + z + 2 = 0 b z2 = z + 2
c (z + z)(z - z) = 0 d 2z + 3z = 2 + 3i
Câu10: Giải phơng trình sau biết chúng có một nghiệm thuần ảo
a z3 - iz2 - 2iz - 2 = 0
b z3 + (i - 3)z2 + (4 - 4i)z - 4 + 4i = 0
Câu11: Giải các hệ phơng trình sau trên tập số phức:
x y 3 i
+ = −
+ = −
i
+ = −
+ = −
c
x y 5 i
+ = −
+ = −
x y 4
xy 7 4i
+ =
= +
e
x y 5 i
+ = −
+ = +
x y 1
+ =
+ = − −
+ = −
+ =
h
x y 3 2i
i
+ = +
+ = +
BÀI TẬP SỐ PHỨC TỪ SÁCH NGUYỄN HỮU NGỌC
Trang 81 Tìm phần thực, phần ảo, môđun số phức z
a) z= 3+ 2−i( 3− 2) b) z= 3 os2007c π −isin 2007π
c) z=( 3+i 2)( 2−i 3) d) ( )2
1 1
z
i
=
2
i z
i
−
= + ÷÷
f) ( ) ( )2
z i= +i + i
2 Tính: a) i2005, i2006, i2007 b)
i i i i
i i i i
+ + +
− + +
c) A = i2000+ i2001 + i2002 + i2003 + i2004 d) B = in – 2 + in – 1 + in + in +1 + in + 2
e) C = 1 + i + i2 + …+ in
3 Thực hiện phép tính
a) Cho z1= 3 2+ i và z2 = −2 i 3 Tính z z z= 1 2 và 1
2
z w z
=
b) Cho 2 số phức 1 3 2
1
i z
i
+
=
− và 2
1
3 2
i z
i
−
=
− Tính
1
2
z z z z z z
z
+
c) Cho số phức 1 3
; ; ; ; 1
z z z z + +z z
4 Số phức liên hợp
z= = +i − .Tính ; ; ; ;z
z z z z z z z
z
+ −
b) Cho số phức z = 1 + i Tính 1 ( ) 1
z z− z −
5 Tìm căn bậc hai của số phức đã cho
a) Tìm căn của số phức w = - 8 + 6i
b) Tìm căn bậc hai của số phức w + 1 với 3
i w
i
−
= +
c) z= −8 6i d) z= +3 4i e) 3
i i
−
z
i i
= + + −
f)
2 1 1
i z
i
+
= − ÷ g)
2
3
i z
i
−
= ÷÷
−
h) w= +5 12i
h) Gọi u1, u2 là hai căn bậc hai của số phức z = 3 + 4i; và v1, v2 là hai căn bậc hai của số phức w = 3 – 4i Tính u1 + u2 + v1 + v2
6 Giải phương trình bậc hai số phức sau:
a) 2iz2 −2( 3−i z) − 3− =i 0 b) z2−4iz+ =6 0
c) z2 + 2z + 1 + 2i = 0 d) ( 1 + 2i) z = 3z – i
e) z 1 2i
z
g) z2 – 2iz – (1 – 2i) = 0 h) z2 – (5 – 14i)z – 2(12 + 5i) = 0
i) z2 – 80z + 4099 – 100i = 0
Dạng lượng giác của số phức
7.Viết các số sau dưới dạng lượng giác của nó
a) z1 = 3+i b) z2 = 1 – i c) z3 = − −1 3i
8 Viết các số sau dưới dạng đại số
Trang 9a) 1 3 cos sin
z = π +i π
z = − π +i − π
c) 3
z = − π −i π
d) z4 =cosπ−isinπ
BÀI TẬP SỐ PHỨC LÂM THỊ HỒNG LIÊN – VÂN ANH
1 Tính z + z’ ; z – z’ và z.z’
a) z = 3 + 2i ; z’ = 4 + 3i b) z = 2 – 3i ; z’ = 5 + 4i
2 Thực hiện phép tính
a) (1 – i)2 b) (2 + 4i)2 c) (1 + i)3 + 13i
3 Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau:
a) A=(1 i) (14 3i)
+ − B=− +4 35 6+ i i C= 7 28 6−− i i D=2 5−1 i
1
E
i
=
−
3 2i
F i
−
4
i G
i
−
=
−
4 Tìm nghịch đảo của các số phức sau:
a) z = 3 + 5i b) Z = - 3 – 5i