giáo án điện tử toán A2 chương 1 1 3

giáo án điện tử toán A2 chương 1 1 3 giáo án điện tử toán A2 chương 1 1 3 giáo án điện tử toán A2 chương 1 1 3 giáo án điện tử toán A2 chương 1 1 3 giáo án điện tử toán A2 chương 1 1 3 giáo án điện tử toán A2 chương 1 1 3 giáo án điện tử toán A2 chương 1 1 3 giáo án điện tử toán A2 chương 1 1 3

1.3 CHUỖI SỐ CÓ DẤU BẤT KỲ

Nếu chuỗi số

1.3.1 Định lý

1

n n

u

∞

=

∑ hội tụ thì chuỗi

1

n n

u

∞

=

∑ hội tụ và

≤

1.3.2 Định nghĩa

Nếu chuỗi

1

n n

u

∞

=

∑ hội tụ thì chuỗi

1

n n

u

∞

=

∑ đ.g.l hội tụ tuyệt đối

Nếu chuỗi

1

n n

u

∞

=

∑ hội tụ mà chuỗi

1

n n

u

∞

=

∑ phân kỳ thì ta nói

n

u

∞

∑ bán hội tụ chuỗi

Chú ý:

Để xét sự hội tụ tuyệt đối ta có thể áp dụng các tiêu chuẩn hội tụ đối với chuỗi số dương

1

n n

u

∞

=

∑

1

n n

u

∞

=

∑

 Nếu chuỗi hội tụ

1

n n

u

∞

=

⇒ ∑ hội tụ tuyệt đối

1

n n

u

∞

=

∑

 Nếu chuỗi phân kỳ

1

?

n n

u

∞

=

Nói chung là chưa biết

Tuy nhiên, nếu chuỗi

1

n n

u

∞

=

∑

xét theo tiêu chuẩn D’Alembert hoặc Cauchy

phân kỳ

thì kết luận được chuỗi

1

n n

u

∞

=

∑ phân kỳ

Ví dụ 1: Xét sự hội tụ của chuỗi

1

sin (ln 3)n

n

nx

∞

=

∑

Ví dụ 2: Xét sự hội tụ của chuỗi 1

1

3.5.7 (2 1) ( 1)

2.5.8 (3 1)

n n

n n

∞

−

=

+

−

−

∑

Ví dụ 3: Xét sự hội tụ của chuỗi

1

( 1) ln

2 1

3 1

n

n n

n n

n

∞

=

−

+

∑

Ví dụ 4: Xét sự hội tụ của chuỗi

1

( 1)

sin

1

n

n

n

∞

=

−

+

∑

Ví dụ 5: Xét sự hội tụ của chuỗi

1 1

( 1)

n

n n

−

∞

=

−

−

∑

1.3.3 Chuỗi đan dấu

1

n

a > ∀ ≥ n

1 2 3 ( 1)n n

Hoặc

Định lý (Leibnitz):

Nếu dãy { }a n n≥1 đơn điệu giảm và lim n 0

n a

thì chuỗi đan dấu hội tụ và tổng S của nó thỏa | | S ≤ a1

1

| Rn | ≤ an+

Nhận xét: { }a n n≥1 đơn điệu giảm

{ } an n n≥ 0 đơn điệu giảm

Điều kiện

Có thể thay bằng điều kiện mở rộng hơn

{ }a n n n≥ 0 đơn điệu giảm

?

 Cách 1: Chứng tỏ an+1 − < an 0, ∀ ≥ n n0

1

0

1,

n n

a

n n a

 Cách 2: Chứng tỏ

Lấy hàm số

 Cách 3: y = f x ( ) thỏa ( )f n = a n,∀n

và chứng tỏ rằng f x '( ) 0, < ∀ ∈ x (n ,0 +∞ )

Ví dụ 1: Xét sự hội tụ của chuỗi

1 1

( 1)

n

n n

−

∞

=

−

−

∑

Ví dụ 2: Xét sự hội tụ của chuỗi 2

1

6

n n

n n

∞

=

+

∑

Ví dụ 3: Xét sự hội tụ của chuỗi

1

1 ( 1)

1

n

n

n n

∞

=

+ −

+

∑

Ví dụ 4: Với giá trị nào của α > 0 , chuỗi số

1 1

( 1) (2 1)

n

n n α

+

∞

=

−

−

∑

a) Hội tụ tuyệt đối?

b) Bán hội tụ?

Ví dụ 5: Cần lấy tổng riêng thứ mấy của chuỗi 3

1

cos

n

n n

π

∞

=

∑

để sai số của nó với tổng của chuỗi đã cho không vượt quá

2

10