giáo án điện tử toán a2 chương 1 1 4

giáo án điện tử toán a2 chương 1 1 4 ,giáo án điện tử toán a2 chương 1 1 4 ,giáo án điện tử toán a2 chương 1 1 4 ,giáo án điện tử toán a2 chương 1 1 4 ,giáo án điện tử toán a2 chương 1 1 4 ,giáo án điện tử toán a2 chương 1 1 4 ,giáo án điện tử toán a2 chương 1 1 4 ,giáo án điện tử toán a2 chương 1 1 4

1.4 CHUỖI LUỸ THỪA

1.4.1 Các định nghĩa

• Chuỗi hàm số:

• Chuỗi lũy thừa là chuỗi hàm số có dạng:

0

(1)

n n n

a x

∞

=

∑

0 0

( )n (2)

n n

a x x

∞

=

−

∑

hay tổng quát, nó có dạng:

1

( )

n n

u x

∞

=

∑

( 1) 3

!

n n

n n

x n

∞

=

−

n

−

=

1

n

n n

n

x n

∞

=

+

n a

n

+

=   ÷ 

2

2

1

1! x 2! x

0

n n n

∞

=

1 .3

n

n n

x n

∞

=

∑

Tại x = 2, chuỗi hội tụ hay phân kỳ? hội tụ

Với x thoả − < < 2 x 2, chuỗi hội tụ hay phân kỳ? hội tụ

0

n n n

a x

∞

=

( − x0 , x0 ) ?

Nếu biết chuỗi luỹ thừa

thì kết luận được gì về tính hội tụ của nó trong

?

n n n

a x

∞

=

Nếu chuỗi luỹ thừa

thì nó hội tụ tuyệt đối tại mọi x thoả

1.4.2 Định lý Abel

0

x < x

0

x

Niels Henrik Abel (1802 – 1829), Norway

0 0

n n

n

a x

∞

=

∑ hội tụ hay phân kỳ?

0

lim n n 0

n a x

→∞

⇒ = ⇒ ∃ > M 0 : a xn 0n ≤ M , ∀ ≥ n 0

0

n

n

x M

x

∞

=

∑

0

x < x

hội tụ

0

| n n |

n

a x

∞

=

0

n n n

a x

∞

=

⇒ ∑ hội tụ tuyệt đối

Chứng minh

Hệ quả

0

n n n

a x

∞

=

Nếu chuỗi luỹ thừa

thì nó phân kỳ tại mọi x thoả x > x1

1

x

Nhận xét từ định lý Abel và hệ quả?

Hội tụ tuyệt đối Phân kỳ Phân kỳ

O

0

r =

r = +∞

Hội tụ

Hội tụ tuyệt đối

1 .3

n

n n

x n

∞

=

∑

Chuỗi có bán kính hội tụ r = ? 3

Quy tắc tìm bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa

?

1.4.3 Quy tắc tìm bán kính hội tụ

1

| | lim

| |

n n

n

a

→∞ = lim |n |

n

Xét chuỗi luỹ thừa

0

n n n

a x

∞

=

∑

Khi đó, bán kính của chuỗi luỹ thừa được xác định bằng công thức:

1

0,

khi

khi

ρ

ρ

ρ ρ

 < < +∞







Cách tìm miền hội tụ của chuỗi luỹ thừa

?

Bước 1: Tính bán kính hội tụ r

Trường hợp r = 0 X = { } 0

r = +∞ X = ¡

0 r < < +∞ Chuyển qua bước 2

Bước 2: Xét sự hội tụ tại điểm

mút

,

x r = x = − r

0 0

( )n

n n

a x x

∞

=

−

∑

Trường hợp chuỗi dạng

0

x x

t = −

0

n n n

a t

∞

=

∑

Trường hợp

Trường hợp

rồi kết luận

Ví dụ 1: Tìm miền hội tụ của các chuỗi luỹ thừa sau

( )

1

.3

n n

n n

x a

n

∞

=

−

−

∑

2

1

) 2n n

n

b ∞ x

=

∑

2

2n

n

a =

n

ρ

{ } 0

X =

Vậy MHT là

2 1

1 ) ( 1)

2 1

n

n n

n

n

∞

=

+

  +

 + ÷

 

∑

2

t = + x ≥

2

( 1)

   

⇒  ÷ + =  ÷

   

2 1

1 1 )

1

2 1

n

n

x d

x n

∞

=

−

 

 + ÷ +  

∑

1 1

x t

x

−

=

+

Đặt

Đặt

Ví dụ 2: Tính tổng của chuỗi 1

1

( 1)

, 3

n

n n

n x

∞

+

=

+

∑

với x thuộc miền hội tụ của nó

Hướng dẫn:

Tìm MHT X = − ( 3,3)

1 1

( 1) ( )

3

n

n n

=

+

Gọi

Theo Tính chất 3 (ở mục 8.6.3), ta có:

1 0

3

n n

t

=

1

n n

q

∞

=

⇒ ∑ =

Với − < < 1 q 1

1

q q

−

2

3 ( )

x

S x

′

1

0 3

n n

x +

∞

=

 

 

3

−

−