giáo trình điện tử toán cao cấp A2 chương 3 3 2

giáo trình điện tử toán cao cấp A2 chương 3 3 2 , giáo trình điện tử toán cao cấp A2 chương 3 3 2 , giáo trình điện tử toán cao cấp A2 chương 3 3 2 , giáo trình điện tử toán cao cấp A2 chương 3 3 2 , giáo trình điện tử toán cao cấp A2 chương 3 3 2 , giáo trình điện tử toán cao cấp A2 chương 3 3 2

3.2 ĐỔI BIẾN TRONG TÍCH PHÂN KÉP

3.2.1 Công thức đổi biến

Giả sử miền D’ của mặt phẳng Ouv được biến đổi vào miền D của mặt phẳng Oxy nhờ công thức

( , ) ( , )

x x u v

y y u v









 thỏa mãn các điều kiện:

i) Các hàm x x u v y  ( , ),  y u v ( , ) liên tục và

có các đạo hàm riêng liên tục trên D’;

ii) Phép biến đổi xác định một song ánh từ D’ lên D;

iii) Định thức Jacobi

( , )

0 ( , )

x x

D x y u v J

y y

D u v

 

'

f x y dxdy  f x u v y u v J dudv

Ví dụ: Tính ( ) (3 )2

D

I x y x y dxdy Trong đó D được giới hạn bởi các đường

1,

x y   x y   3, x y   1, x y   1

1 ( ) 2

1 ( ) 2

v x y





 



 



1 1

1

2 2

2 2

J

 

 

 



 

'



3.2.2 Tích phân kép trong tọa độ cực

cos sin

x r

y r















( , )

sin cos ( , )

D x y

r

D r





'

( , ) ( cos , sin )

f x y dxdy  f r  r  rdrd

1

( )

( )

r







( ) 2

0 0

r

D

f x y dxdy d f r r rdr







Ví dụ: Tính x2 y2

D

I e  dxdy



, trong đó D là hình tròn

cos sin

x r

y r















Đổi biến

' ( , ) | 0 2 , 0 1

D   r       r

2

r

I d e rdr



  

D’ tương ứng với D là:

Ví dụ: Tính ( )

D

I x y dxdy , trong đó D là miền giới hạn bởi

x  y  y 

' : 0 , 0 1

1

( cos sin )



2 2

D

I x  y dxdy

Ví dụ: Tính , trong đó D là miền giới hạn bởi

(x  2)  y 4

cos sin

x r

y r















Đổi biến

Phương trình ( x  2)2  y2  4

trong hệ toạ độ cực:

4cos

, 0 4cos

D’:

cos 2 sin

x r

y r











Cách khác:

2 2

2 2 4

2

X x

Y y

 









cos sin

X r

Y r















Đổi biến:

2 2

1  x  y  4, x  0, y  0, y x 

Ví dụ: Tính 2 , trong đó D là miền giới hạn bởi

D

I x ydxdy

2 2

y  y x x   y 

Ví dụ: Tính ln(1 2 2) , trong đó D là miền giới hạn bởi

D

x y dxdy

 



2 2 2

x  y  y

Ví dụ: Tính 2 2 , trong đó D là miền

D

x y

dxdy







2 2 1,

Ví dụ: Tính , trong đó D là miền

D

x

y

trong đó D là miền giới hạn bởi ellipse

2 2

2 2 1

x y

a  b 

2 2

D

I   x y dxdy

Ví dụ: Tính

cos sin

x ar

y br















Đổi biến:

cos sin sin cos

