Môn thi: Toán.. 2 Tìm tất cả các giá trị của m để C có ba điểm cực trị và ba điểm cực trị đó tạo thành một tam m giác đều.. 3 điểm 1 Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có đáy ABC là tam giác
Trang 1ng uy
nh
nh
ĐỀ THI KHẢO SÁT LỚP 12 NĂM HỌC 2010 – 2011 LẦN THỨ NHẤT
Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1 (2 điểm)
Cho hàm số y = - + x4 2 m x2 2 + 1 ( ) Cm (m là tham số)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m = 1.
2) Tìm tất cả các giá trị của m để ( ) C có ba điểm cực trị và ba điểm cực trị đó tạo thành một tam m
giác đều
Câu 2 (3 điểm)
1) Giải phương trình:
2 4
2
1 tan
x
x
2) Giải phương trình: x2 - ( x + 2 ) x - = - 1 x 2
log x 4 log x 2 4 log x
Câu 3 (3 điểm)
1) Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh A Góc giữa AA’ và BC’ bằng 300 và khoảng cách giữa hai đường thẳng đó là a Gọi M là trung điểm AA’ Tính thể tích tứ diện MA’BC’
2) Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm E(-1;0) và đường tròn ( C ): x2 + y2 – 8x – 4y – 16 = 0 Viết phương trình đường thẳng đi qua E cắt ( C ) theo dây cung MN có độ dài ngắn nhất
3) Trong không gian Oxyz cho vectơ u r ( 1;6; 2 )
và mặt phẳng ( ) P x : + 4 y z + - = Viết phương 11 0 trình mặt phẳng (Q) song song hoặc chứa giá của vectơ u r ( 1;6; 2 )
và vuông góc với (P), đồng thời tiếp xúc với mặt cầu ( ) S x : 2 + y2 + z2- 2 x + 6 y - 4 z - = 2 0.
Câu 4 (2 điểm)
1) Tính tích phân:
2
0
sin 2
3 4sin cos 2
x dx
p
2) Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: 1 3
ï í
……HẾT……
Trang 2ng uy
nh
nh
ĐÁP ÁN CHÍNH THỨC MÔN TOÁN ĐỀ THI THỬ LẦN 1
điểm
Với m = 1 ta có hàm số: y = - + x4 2 x2+ 1
1 Tập xác định: R
2 Sự biến thiên
a) Giới hạn: lim lim
®-¥ = ®+¥ = -¥
b) Bảng biến thiên:
1
x
x
= é
0,25
x -¥ - 1 0 1 +¥
y’ + 0 - 0 + 0 -
y 2 2
-¥ 1 -¥
0,25
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( -¥ - ; 1 ) và
( ) 0;1 , nghịch biến trên ( - 1;0 ) và ( 1;+¥ )
Hàm số đạt cực đại tại x = ± 1; yCD= y ( ) ± = 1 2,
đạt cực tiểu tại x = 0; yCT = y ( ) 0 = 1
0,25
1
1)
3 Đồ thị
- Giao điểm của đồ thị với Oy: ( ) 0;1 - Giao điểm
của đồ thị với Ox: (- +1 2;0 ; 1) ( + 2;0)
Nhận xét: Đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng
0,25
Ta có: y ' =- 4 x3+ 4 m x2 ; y ' 0 = Û- 4 x3+ 4 m x2 = 0
Û - = Hàm số có 3 cực trị khi và
chỉ khi y ' 0 = có 3 nghiệm phân biệt
0,25
Tức là phương trình x2- m2 = 0có 2 nghiệm phân
biệt khác 0 Điều kiện là m ¹ 0.
y
x m
= é
I
2)
Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị là: A ( ) 0;1 ;
B m m - + C m m + Dễ thấy AB AC =
nên tam giác ABC cân tại A Để tam giác ABC đều
ta phải có AB BC = hay là:
0,25
( )
6
0
3
m loai
m
é = ê
ê = ± ë
g
Vậy m = ±63
2 4
2
1 tan
x
x
Điều kiện:
2
x p k p
¹ +
( ) 1 1 cos 2 2 cos2 sin2 cos2
2
0,25
1 sin 2 x cos2 1 sin 2 x x
( 1 sin2 )( 1 sin2 os2 ) 0 sin2 1
1 2cos 2
4
x
x p
= é ê
Û ê = æ ç - ö ÷
ë
0,25
II
1)
4
x k
p p p
é = + ê
Û ê
= ë
Kết hợp điều kiện ta có: ;
4
x k x p k
x - x + x - = - x (2) Điều kiện: x ³ 1 Đặt t = x - 1, ( t ³ 0 ), ta có phương trình: ( 2 ) (2 2 ) 2
t + - t + t t =
-4 3 2 3 2 0
t t t t
Û - + - + =
0,25
( )2( 2 )
t t t
( )
2
1
1
2 0
t
t
= é
II
2)
Với t = 1 ta có x - = Û = 1 1 x 2 Vậy x = 2. 0,25
Điều kiện x > 0 Bất phương trình đã cho tương
log x + 2log x £ 2 4 log - x
Đặt t = log2xta có: t2+ 2 t £ 2 4 ( - t )
0,25
( )
2
2 2
2 2 4
t t t
ì + ³ ïï
Û í - ³ ï
-ïî
0,25
II
3)
2
2
; 2 0;
t
t t
ì Î -¥ - È +¥
ì + ³
ï ï
0,25
Trang 3ng uy
nh
nh
0 t 2
Û £ £ hoặc t £ - 2
Với 0 £ £ t 2 ta có 0 log £ 2x £ Û £ £ 2 1 x 4
4
x £ - Û < £ x
Vậy 1 £ £ x 4 hoặc 1
0 4
x
< £
0,25
M
I
C'
B'
C
A'
Gọi I là trung điểm BC, O là trung điểm BC’
ABC.A’B’C’ là lăng trụ đứng và tam giác ABC
vuông cân tại A nên ta có: AA '/ / ( BCC B ' ' )và
' ' ' ',
AI AA
AI BC
AI BCC B
AI BB
^ ì
^
ï
suy ra AI d AA BC = ( '; ' ) = a,
do đó AB AI = 2 = a 2 và BC = 2 AI = 2 a
0,25
Ta có góc giữa AA’ và BC’ bằng góc giữa BB’ và
BC’ Do đó: · B BC ' ' 30 = 0
0
' ' 'cot30 2 3
0,25
2 ' '
' ' ' 3 2
MA C
a
S MA A C a a
AA'
BA AC
BA ACC A BA
^ ì
î
d B MA C BA a
0,25
III
1)
Ta có I ( ) 4;2 , R = 6lần lượt là tâm và bán kính
của (C) Thay tọa độ điểm E(-1; 0) vào vế trái của
phương trình đường tròn (C) ta được số -23 < 0 Do
đó E nằm trong đường tròn (C)
0,25
Gọi d là đường thẳng đi qua E cần tìm, H là hình
chiếu của I trên d, A, B là các giao điểm của d với
(C) Ta có:
2
2 2; 2
AB
R IH IH IE
0,25
III
2)
suy raAB bé nhất khi và chỉ khi IH lớn nhất, khi
và chỉ khi H º E,
0,25
Khi đó d là đường thẳng qua E và vuông góc với IE nên d có phương trình:
5 x + + 1 2 y - = Û + 0 0 5 x 2 y + = 5 0
0,25
(S) có tâm I ( 1; 3;2 - ) bán kính R = 4 (P) có vectơ pháp tuyến là n r ( 1;4;1 )
Ta có:
4 1 1 1 1 4
6 2 2 1 1 6
a é n u ù æ ö
r r r
0,25 III
Vì (Q) vuông góc với (P) và song song hoặc chứa giá của u r
nên a r ( 2; 1;2 - )
là một vectơ pháp tuyến của (Q), (Q) có phương trình dạng:
2 x y - + 2 x D + = 0
0,25
Vì (Q) tiếp xúc với (S) nên: d I Q ( ; ( ) ) = 4 0,25
3)
( ) ( )2
4
21
D
= Û ê = -ë
Vậy có hai mặt phẳng cần tìm là:
2 x y - + 2 z + = 3 0; 2 x y - + 2 z - 21 0 =
0,25
2
sin 2 2sin cos
I
( )
1 sin
x d x d x d x
x
-+
IV
1)
2 2
0
0
x
x
p p
Điều kiện: - £ £ - £ £ 1 x 3; 1 y 3 Trừ phương trình một cho phương trình hai theo vế
ta có: x + - 1 3 - = x y + - 1 3 - y (*) 0,25
Xét hàm số f t ( ) = t + - 1 3 - t trên[ - 1;3 ]
-Suy ra f t ( ) đồng biến trên [ ] 1;3 Phương trình (*)
có dạng f x ( ) = f y ( ), do đó x y = thế vào hệ ta
có phương trình: x + + 1 3 - = x m (**)
0,25
IV
2)
Bài toán trở thành tìm m để phương trình (**) có nghiệm Xét hàm số g x( )= x+ +1 3-x trên
[ - 1;3 ] Ta có: ' ( ) 1 1
g x
-( )
g x = Û = x Ta có bảng biến thiên:
x -1 1 3 g’(x) + 0 -
2 2
0,25
Trang 4ng uy
nh
nh
Dựa vào bảng biến thiên ta có
[ 1;3] ( ) [ 1;3] ( )
max g x 2 2; min g x 2
Hệ có nghiệm khi và chỉ khi:2 £ £ m 2 2
Vậy 2 £ £ m 2 2
0,25
TỔNG 10,0
CHÚ Ý: HS giải theo cách khác mà vẫn đúng thì
vẫn được điểm tối đa
HẾT
