Phần dành chung cho tất cả các thí sinh: Câu 1.. Tính thể tích hình hộp theo a.. Phần dành riêng cho từng ban: Câu 5a... Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d và đi qua 2 điểm A, B.
Trang 1ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC MÔN TOÁN TRƯỜNG THPT BẮC TRA MY NĂM 2009
Môn: Toán - Khối A Thời gian làm bài: 180 phút
A Phần dành chung cho tất cả các thí sinh:
Câu 1 Cho hàm số y = x3 (m + 1)x + 5 m2
1) Khảo sát hàm số khi m = 2;
2) Tìm m để đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu, đồng
thời các điểm cực đại, cực tiểu và điểm I(0 ; 4) thẳng hàng
Câu 2 1) Giải phương trình: tan 2 cos cos
4
x y 11
Câu 3 1) Tính tích phân: I =
2
0
dx
1 2x
2) Cho x, y, z là các số không âm thay đổi thoả mãn điều kiện x + y +
z = 1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = xy + yz + zx 27xyz
Câu 4 Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, đáy ABCD là hình thoi cạnh a,
3
'
3
a
BAD BAA DAA Tính thể tích hình hộp theo a
B Phần dành riêng cho từng ban:
Câu 5a (Dành cho thí sinh thi theo chương trình chuẩn)
2 3
log log ( x 1 x ) log log ( x 1 x )
2) Trong không gian Oxyz cho 2 điểm A(1 ; 2; 2), B(3 ; 2; 0) và mặt phẳng () có phương trình 2x 2y z + 1 = 0
Trang 2a) Viết phương trình mặt phẳng () đi qua 2 điểm A, B và vuông góc với ();
b) Gọi d là giao tuyến của () và () Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d và đi qua 2 điểm A, B
Câu 5b (Dành cho thí sinh thi theo chương trình nâng cao)
log (4x 1) log (2 x 6) x
2) Trong không gian Oxyz cho hình chóp S.OACB có S(0; 0; 2), đáy OACB là hình vuông và A(1; 0; 0), B(0; 1; 0) Gọi A’, B’, C’ lần lượt là hình chiếu của O trên SA, SB, SC
a) Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm A’, B’, C’;
b) Chứng minh các điểm O, A, B, C, A’, B’, C’ cùng thuộc một mặt cầu Viết phương trình mặt cầu đó
Hết
Trang 3A Phần dành chung cho tất cả các thí sinh:
1(2đ) 1(1đ) Khảo sát hàm số khi m = 2
Khi m = 2, hàm số trở thành: y = x3 3x + 1
1) TXĐ: R
2) SBT
•BBT:
Có y’ = 3x2 3 = 0 x = 1
y’ + 0 0 +
y
3
1
+
Hàm số ĐB trên ( ; 1) và (1 ; +), nghịch biến trên (1 ; 1)
0,25
Hàm số đạt cực đại tại x = 1, yCĐ = y(1) = 3;
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1, yCT = y(1) = 1
0,25
3) Đồ thị:
Giao với Oy: (0 ; 1)
Đi qua: (2 ; 3), (2 ; 1)
2(1đ) Tìm m
2(2đ) 1(1đ) Giải phương trình
sin3x = cos3x sinx = cosx
4
x k
2(1đ) Giải hệ PT
Đặt x 1 u0; y 1 v 0
Ta có hệ mới:
uv u v
0,25
Đặt u + v = S, uv = P, ta có:
2
-2 -1
1 3
-1 -2
y
O
Trang 4S P
2 13
2
S
S
S3 15S 50 = 0
0,25
Từ đó tìm được: u = 2, v = 3 hoặc u = 3, v = 2
8
x y
3
x y
0,25
3 (2đ) 1(1đ) Tính tích phân
I = 3
1
1 2
u
u du u
3
1
2
du u
= 3
1
3 2
1
2
u u
0,5
2(1đ) Tìm giá nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
x y z
x y z
xy + yz + zx ≥ 9xyz BĐT này cũng đúng khi xyz = 0
Do đó: x, y, z ≥ 0, thì A ≥ 18xyz
0,25
27
xyz
A Hơn nữa x = y = z = 1/3 thì A = 2/3 Vậy min A = 2/3
0,25
+) Ta có: x2 ≥ x2 - (y - z)2 = (x + y - z)(x - y + z) = (1 - 2y)(1 - 2z) (1) Tương tự : y2 ≥ (1 2z)(1 2x) (2) ; z2 ≥ (1 2x)(1 2y) (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra xyz ≤ (1 2x)(1 2y)(1 2z)
xyz ≥ 1 2(x + y + z) + 4(xy + yz + zx) 8 xyz
4(xy + yz + zx) ≤ 1 + 9xyz
4
9
zx yz
xy
4
1 4
99 4
1
A
0,25
4(1đ) Tính thể tích hình hộp
Hạ đường cao A’H Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AD Theo định
lý 3 đường vuông góc suy ra A’E AB, A’F AD vuông A’AE bằng vuông A’AF (A’A chung và góc A’AE bằng góc A’AF) HE = HF H thuộc đường phân giác góc BAD H AC
0,25
6
a
AE , '
2
a
A E
F
E H
C'
C A
B
B' A'
D'
Trang 5Từ AHE HE = AE.tan300 =
6
a
2 '
0,25
Diện tích ABCD là
2 3 2
a
Suy ra thể tích hộp:
3 6 6
a
B Phần dành riêng cho từng ban:
5a(3đ) 1(1đ) Giải PT
1 3
2 log tlog t log2t log2t log2t t = 1 0 0,25
2
x
3
2(2đ) a) Viết phương trình mp( )
mp() có 1 vectơ pháp tuyến n (2; 2; 1)
; AB (4;0; 2)
0,25
mp() có 1 vectơ pháp tuyến là n n AB(4;0;8)
phương trình mp(): x + 2z 3 = 0
0,75
b) Viết phương trình mặt cầu
Gọi () là mp trung trực của AB thì ()đi qua trung điểm M(1 ; 2 ; 1) của AB
và có 1 vectơ pháp tuyến AB (4;0; 2)
Gọi I là tâm mặt cầu thì I là giao điểm của 3 mặt phẳng (), (), ()
toạ độ I là nghiệm của hệ:
x y z
x z
x z
I(1 ; 1 ; 1)
0,5
5b(3đ) 1(1đ) Giải phương trình
Đặt 2x = t > 0, ta có PT: t2 + 1 = t(8t2 6) = 0
8t3 t2 6t 1 = 0 (t 1)(8t2 + 7t + 1) = 0 t = 1
0,5
2(2đ) a) Viết phương trình mặt phẳng
Trang 6Có AC OA, AC SO AC (SOA) AC OA’, lại do OA’ SA nên OA’ (SAC) OA’ SC
Tương tự OB’ SC
Vậy OA’, OB’, OC’ cùng vuông góc với SC chúng thuộc mặt phẳng qua O
và vuông góc với SC A’, B’, C’
thuộc mặt phẳng đi qua O và vuông góc với SC
0,5
Vì OABC là hình vuông nên C(1 ; 1; 0) SC (1;1; 2)
PT mặt phẳng cần tìm: x + y 2z = 0
0,5
b) Chứng minh Viết PT mặt cầu
Vì OA’ (SAC) nên OA’ A’C Tương tự: OB’ B’C Như vậy: các điểm A, B, A’, B’, C’ nhìn đoạn AC dưới một góc vuông
O, A, B, C, A’, B’, C’ thuộc mặt cầu (S) đường kính OC
0,5
2 2
I
R OC Vậy phương trình mặt cầu (S):
2
0,5
C’
I
B’
C B
A’
