Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ABC tại A, lấy điểm S sao cho SA = 2BC.. Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB, SC.. Chứng minh rằng mặt phẳng AMN vuông góc v
Trang 1TRƯỜNG THPT CHUYÊN TRẦN PHÚ
TỔ TOÁN - TIN
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 3 NĂM HỌC 2012-2013 Môn thi: TOÁN - Khối: A, A 1 , B
Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề
Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số y4x3 6x2mx (1), với m là tham số thực
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m 0
b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng 2x 4y 5 0
Câu 2 (1,0 điểm) Giải phương trình 2sin 3 1 8sin 2 os 22
4
Câu 3 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình
1
4 3
1
2
x
x y
Câu 4 (1,0 điểm) Tính tích phân
2 5 1
1 1
x dx
Câu 5 (1,0 điểm) Cho tam giác ABC có BAC 600, nội tiếp đường tròn đường kính AI Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại A, lấy điểm S sao cho SA = 2BC Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB, SC Chứng minh rằng mặt phẳng (AMN) vuông góc với đường thẳng SI
và tính góc giữa hai mặt phẳng (AMN) và (ABC)
4
, , , 0
x y z
x y z
Câu 7 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm A(0; 2) và đường thẳng d:
x y Tìm trên d hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông tại A và AB = 2AC
Câu 8 (1,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d:
và mặt phẳng (P):x y z 6 0 Gọi M là giao điểm của d và (P) Viết phương trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P), vuông góc với d đồng thời thoả mãn khoảng cách từ M tới bằng 2 2
Câu 9 (1,0 điểm) Giải phương trình sau trên tập số phức: x46x39x2100 0
-Hết -Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Trang 2BIỂU ĐIỂM CHẤM
ĐỀ THI THỬ TOÁN LẦN III – KHỐI A, A 1 , B – NĂM 2013
1
(2.0
điểm)
a (1.0 điểm) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
* m = 0 thì y4x3 6x2
* TXĐ:D R
* limx y, limx y
0.25
* ' 12 2 12 , ' 0 0
1
x
x
* Bảng biến thiên…
Hàm số đồng biến trên ;0 ; 1; Hàm số nghịch biến trên 0;1
Hàm số đạt cực đại tại x0,y0 Hàm số đạt cực tiểu tại x1,y2
0.25
Điểm uốn: '' 24 12, '' 0 1, 1
2
y x y x y
2
y x v x Giao Oy: x 0 y0
0.25
b (1.0 điểm) Tìm m để đồ thị có …
y f x x x m Hàm số có hai cực trị ' 36 12 m 0 m3
Gọi hai điểm cực trị của đths làA x y 1, 1;B x y ( 2, 2 x x là hai nghiệm của pt ' 01, 2 y )
0.25
yf x f x x x
Do f x' 1 f x' 2 0nên 1 1
2 2
y x
2 2
y x
Vậy pt đt AB là 2 2
y x
0.25
A, B đối xứng nhau qua d: 2x – 4y – 5 = 0
1 2
AB d
I d
(I là trung điểm AB)
m
m
0.25
Trang 3I có toạ độ:
2
I
x x x
2 2.1 4 1 5 0
2
Vậy A, B đối xứng nhau qua d khi và chỉ khi m = 0
0.25
2.
(1.0
điểm)
Giải phương trình lượng giác…
Pt
4 4sin 3 1 8sin 2 os 2 2
4
x
0.25
2 2 1 os 6 1 4sin 2 (1 os4 )
2
2 2sin 6x 1 4sin 2x 2sin 6x 2sin 2x
0.25
sin 2
5 2
12
x
- Với
12
- Với 5
12
x k : 1 sin 3 3 0 2 1 17 2
0.25
3.
(1.0
điểm)
Giải hệ phương trình…
2 1
4 3
1
2
x
x y
x y
1 3
x y
0.5
1
2
x
1
2
t t
0.25
Trang 4Với t = 1
1 4 3
x y
, Với t =
2 2
log 5 1 2
7
3
x y
0.25
4.
(1.0
điểm)
Tính tích phân…
1 2
1
1
x
t
1
1 2
2
1
5
1
1
t t
2 1
2
5
1
x x
6ln 2 ln 33
5.
(1.0
điểm)
Tính thể tích và khoảng cách
N
C A
B
I
S
M
IBAB (do AI là đường kính đtròn (ABC)), IBSA (do SA(ABC)) nên IB(SAB) IBAM mà AM
SB nên AM(SBI)
AMSI Chứng minh tt: ANSI Vậy SI(AMN)
0.5
Có SA(ABC); SI(AMN)
ABC , AMN SA SI,
SAI có: tan AS I AI
SA
(1)
0.25
AI là đường kính của đtròn (ABC) nên: 2 . 2
3
BC
1
0.25
6.
(1.0
Chứng minh bất đẳng thức …
Trang 5 z x x y 2 x y y z 2 y z z x 2 4
2
y z z x x y 2 y z 1 yz y z y z yz y z 2yz
(1)
0.25
Chứng minh tt có:
2
2
Từ (1), (2), (3) có: P 2x y z 2 yz zx xy
0.25
Áp dụng bđt: a2b2c2 ab bc ca , có:
x y z
x y z x y y z z x (5)
Từ (4), (5) P4x y z Dấu bằng xảy ra khi x = y = z
0.25
7.
(1.0
điểm)
Tìm hai điểm B,C…
Gọi H là hình chiếu của A lên d ta có AH = d(A, d) = 0 2.2 22 2
5
1 2
Tam giác ABC vuông tại A nên
0.25
Khi đó C thuộc đường tròn (A,1): x2y 22 1
Toạ độ C là nghiệm hệ 2 22 1
1, 0
,
0.25
+ Với C(0;1): đt AB qua A(0;2) có vtpt AC (0; 1)
có pt: y 2 0
Toạ độ B là nghiệm hệ 2 2 0 2 (2;2)
B
0.5
Trang 6+ Với C(4 7;
5 5): đt AB qua A(0;2) có vtpt
4 3 ( ; )
5 5
AC
có pt: 4x 3y 6 0
Toạ độ B là nghiệm hệ
6
( ; )
5
x
B
y
8.
(1.0
điểm)
Viết phương trình đường thẳng …
Toạ độ M là nghiệm hệ 1 2 3 1; 2;3
6 0
M
x y z
Gọi d’ là hình chiếu của d lên mp(P) d' ( ) ( ) P Q , với (Q) là mp chứa d và vuông góc
(P) Mp(Q) qua M và có vtpt n Q u n d, P
= (-1; 2; -1)
(Q) có pt: x 2y z 0 d’ có pt: 6 0
x y z
2 4
x t y
0.5
Vì nằm trong (P), d nên d’
Gọi H(t; 2; 4 – t) là giao điểm của và d’ ta có Md’ nên MH
1
t t
t
0.25
+ Với t = 3 thì H(3; 2; 1): qua H, có vtcp u n Q
nên có pt: 3 2 1
x y z
+ Với t =-1 thì H(-1; 2; 5): qua H, có vtcp u n Q
nên có pt: 1 2 5
x y z
0.25
9.
(1,0
điểm)
Giải phương trình…
2 2
3 10 0 (1)
3 10 0 (2)
0,25
(1) có =9 40i có một căn bậc hai là 5 4i (1)có nghiệm 1 2
4 2
(2) có =9 40i có một căn bậc hai là 5 4i (2)có nghiệm 1 2
4 2
Trang 7Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số
2
x m y
x
(C)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m 1
2 Tìm số thực dương m để đường thẳng d : 2x2y1 0 cắt (C) tại hai điểm A và B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 1 trong đó O là gốc tọa độ
Câu II (1,0 điểm) Giải phương trình
sin sin 3
tan 2 sin sin 3 cos cos3
Câu III (1,0 điểm) Giải hệ phương trình
2 2
6
x y xy x y
Câu IV (1,0 điểm) Tính tích phân sau
2
4
1 cos 2
1 sin 2
x
x
Câu V (1,0 điểm) Chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Gọi M và N lần lượt là trung
điểm các cạnh AB và AD, H là giao điểm của CN và DM Biết hai mặt phẳng (SHC) và (SHD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH a 3 Tính thể tích khối chóp S.CDNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SB
Câu VI (1,0 điểm) Cho các số thực x, y phân biệt thỏa mãn x 22 y22 2xy8 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 3 3 4
x y
Câu VII (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C1): x22y12 1 có tâm O1, đường tròn C2 bán kính bằng 4, có tâm O2 nằm trên đường thẳng d :x y 4 0 và cắt (C1) tại hai điểm A và B sao cho tứ giác O1AO2B có diện tích bằng 2 3 Viết phương trình đường tròn (C2) biết O2 có hoành độ dương
Câu VIII (1,0 điểm) Viết phương trình đường thẳng đi qua A3; 2; 4 , song song với mặt phẳng P : 3x 2y 3z 7 0 và cắt đường thẳng : 2 4 1
Câu IX (1,0 điểm) Tìm mô đun của số phức z biết 3
12
z i z và z có phần thực dương
Môn thi: TOÁN – Khối D
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề
Trang 8Hết
-Họ và tên thí sinh:……… Số báo danh: ………
BIỂU ĐIỂM CHẤM
ĐỀ THI THỬ TOÁN LẦN III – KHỐI D – NĂM 2013
I.
(2.0 điểm)
1. (1.0 điểm) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số…
2
x y x
* TXĐ: D = R\{2}
* Tiệm cận đứng x , tiệm cận ngang 2 y 1
0.25
* 2
3
2
x
, nên hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định 0.25
Giao Ox: y 0 x1
Giao Oy: 0 1
2
Đồ thị
0.25
2. (1.0 điểm) Tìm m để đường thẳng …
Phương trình hoành độ giao điểm:
2
1
x m
x
0.25
Trang 9(d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt và khác 2
0 1 4.2 2 2 0
16
0.25
Với điều kiện trên giả sử đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại hai điểm có hoành độ
A B
x x Ta có 1; 1
2
x x x x m d(O; AB) = d(O; d) = 1
2 2 .
0.25
II
(1.0 điểm)
Giải phương trình lượng giác…
Điều kiện cosx 0, cos3x 0, cos 2x 0
sinx tan 2x tanx sin 3 tan 3x x tan 2x
0.25
cos 2 cos cos3 cos 2 sin tan 3 tan 0
0.25
sin 0
2
x k
x k
0.25
Kết hợp điều kiện, phương trình có nghiệm S k|k Z 0.25 III.
(1.0 điểm)
Giải hệ phương trình…
Nếu xy = 0 thì phương trình tương đương với x = y = 0 (thỏa mãn) 0.25
Nếu xy 0 thì hệ phương trình đã cho tương đương với
2
2 2
5
3
xy
xy
xy
hoặc
2
2 3
xy
x y
0.25
Trang 10Nếu
7 17
8
x
y
hoặc
7 17 8
9 17 8
x y
0.25
Nếu
7 13
6
x
y
hoặc
7 13 6
11 13 6
x y
0.25
IV
(1.0 điểm)
Tính tích phân…
2
4
1 cos 2
1 sin 2
x
x
2
1 sin 2 sin cos
xdx dx
x
1
1 sin 2
x
2
4
4
d x
1 ln 2 2
V
(1.0 điểm)
Tính thể tích và khoảng cách…
P H N
A
D
C
S
K I
(SHC) và (SHD) cùng vuông góc với (ABCD) nên SH vuông góc với (ABCD)
CDNM ABCD BCM AMN
0.25
Suy ra
.
S CDNM CDNM
Gọi P là trung điểm của CD Khi đó DM // (SBP) nên
d DM SB d DM SBP d H SBP
Trong (ABCD), CN cắt BP tại K Trong (SHK) hạ HI vuông góc với SK
0.25
Trang 11Chứng minh được CN vuông góc với BP và HI vuông góc với (SHK).
Khi đó d H SBP ; HI
Tính 2 5
5
5
a
4
VI.
(1.0 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức …
Từ điều kiện đầu tiên suy ra x y 2 4x y 0 0 x y4xy 0.25
Ta luôn có 4xy x y 2 nên
0.25
Xét 3 2 4
7
t
trên (0; 4]
Suy ra: 2
2
4
t
f t' 0 t 2
Tìm được min(0;4] 2 8
0.25
Vậy min P khi 8 x1;y 1 0.25
VII
(1.0 điểm)
Viết phương trình đường tròn…
Đường tròn (C1) có bán kính R 1 1 và tâm O 1 2;1, đường tròn O t2 ; 4 t
O AO B O AO O AO B
Nên suy ra
0
1 2
1 2
60 3
sin
O AO
O AO
O AO
0.5
Trường hợp 1 O1AO 2 600 thì 2 2 2
1
t
t
Chọn t = 1 suy ra O2(1; 3)
Vậy (C2): x12y 32 16
0.25
Trường hợp 2 O1AO 2 1200 thì O O1 22 21 t223 t2 21
2t 2t 8 0 t
Suy ra 2
1 17 7 17
;
0.25
Trang 12Vậy (C2):
16
VIII
(1.0 điểm)
Ta có n P3; 2; 3
Giả sử B(2 + 3t ; –4 – 2t ; 1 + 2t) là giao điểm của và d 0.25 Khi đó AB 1 3 ; 2 2 ;5 2t t t
, AB|| P ABn P AB n P 0 t 2
Vậy B(8; 8;5) và AB5; 6;9
0.5
Vậy phương trình đường thẳng : 3 2 4
IX
(1.0 điểm)
Tìm mô đun của số phức z…
Đặt z a bi a b R , , có z312i z tương đương với
0.25
1
b
Do đó z 2 i z 5 0.25