Bất phương trình - Hệ bất phương trình ĐS

Lê Trinh Tường Trường THPT Trưng VươngChủ đề 4: BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BPT MỘT ẨN I- TĨM TẮT VÀ BỔ SUNG KIẾN THỨC: Vấn đề 1: Đại cương về bất phương trình – Hệ bất phương trình.. + Nghiệm

Lê Trinh Tường Trường THPT Trưng Vương

Chủ đề 4: BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BPT MỘT ẨN

I- TĨM TẮT VÀ BỔ SUNG KIẾN THỨC:

Vấn đề 1: Đại cương về bất phương trình – Hệ bất phương trình.

A- Dạng: f(x) < g(x), f(x) ≤ g(x), f(x) > g(x), f(x ≥ g(x)

+ Nghiệm của một bất phương trình; + Tập nghiệm của một bất phương trình

B- Hệ bất phương trình là hệ gồm nhiều bất phương trình một ẩn

+ Nghiệm của hệ bất phương trình; + Tập nghiệm của hệ bất phương trình

1 Điều kiện của một bất phương trình là điều kiện mà ẩn số phải thõa mãn để các biểu thức ở hai vế đồng thời cĩ nghĩa

2 Hai bất phương trình ( hệ bất phương trình) gọi là tương đương với nhau nếu chúng cĩ chung tập nghiệm ( kể cả tập rỗng)

3 Kí hiệu D là tập hợp các số thực thõa mãn điều kiện của bất phương trình P(x) < Q(x)

a) Nếu f(x) xác định trên D thì P(x) < Q(x) ⇔ P(x) + f(x) < Q(x) + f(x)

b) Nếu f(x) > 0, ∀x ∈ D thì P(x) < Q(x) ⇔ P(x).f(x) < Q(x).f(x)

Nếu f(x) < 0, ∀x ∈ D thì P(x) < Q(x) ⇔ P(x).f(x) > Q(x).f(x)

c) Nếu P(x) ≥ 0 và Q(x) ≥ 0, ∀ x ∈ D thì P(x) < Q(x) ⇔ P2(x) < Q2(x)

d) Nâng lên lũy thừa bậc lẻ P(x) < Q(x) ⇔ P3(x) < Q3(x)

(Các bất phương trình dạng : >, ≤ , ≥ cũng làm tương tự)

4 Dấu của nhị thức bậc nhất:

f(x) = ax + b (a ≠ 0) cĩ nghiệm là x b

a

= −

5) Nếu a > 0 thì x < ⇔ − < <a a x a; x a x a

 >

> ⇔  < −

Bài tập:

1- Tìm điều kiện xác định của các bất phương trình sau:

a) x− <1 1−x b) x + 1 2 1

3−x ≥ +3−x c)

1 2x 3 5

3

x x

+

− + ≤

− d)

2

x

x− > x− 2- Tìm tập nghiệm của mỗi bất phương trình sau:

a) 2x 1 3− + − > − + −x x 3 3 x b) 4x 3 1 1

2 5x x 2 5x

− − c)

( ) ( )

x x

− ≤

3- Lập bảng xét dấu các biểu thức sau:

A(x) = 4 3x

2x 3

−

+ B(x) = 4 -

2 4x 3

x

−

− Q(x) = ( ) (2 )

x x−2 3−x P(x) = (3x 1 2( ) ( 3) )

x x

x

−

Vấn đề 2: Giải và biện luận bất phương trình dạng : ax + b < 0.

Phương pháp: Biến đổi bất phương trình dạng: ax + b < 0 ⇔ ax < – b

* a > 0 , ax + b < 0 ⇔ x< −b a. tập nghiệm S= −∞ − − ; b a÷

* a < 0 , ax + b < 0 ⇔ x> −b a. tập nghiệm S= − +∞ b a; ÷

* a = 0, BPT viết lại: 0x < – b

Nếu b ≥ 0 thì S = Φ ; Nếu b < 0 thì S = R

(Các bất phương trình ax + b ≤ 0, ax + b > 0, ax + b ≥ 0 được giải tương tự.)

Lê Trinh Tường Trường THPT Trưng Vương

Bài tập:

1- a) 2x 3 2 1

3

x+

−

x− > + +x

x− 2 − ≥5 x− 2 +1 e) ( )3 3 2

x+ + <x + − g) |2x - 5| ≤ x + 1 2- Giải các hệ bất phương trình sau:

a) 2x 1 4 3

5x 6 4x+3

x

 − < +

 + ≤

1

2 8x 3 2x 25 2

x

 + < −



 +



c)

6x 1 3 4x 3x 7 2x 11

2x 5 x 1

 + ≤ −

 − > −



 − < +



d)

( ) 2

 − <





b

3- Tìm nghiệm nguyên của hệ bpt:

a) 2 3 1 4 (1)

− < −



 + ≥ −



( 1)( 2) 0 (1)

(2)

3 1 2

+ − >







5

7 1 (8 3) 2 25 2

 + > +





 + < +



4- Giải và biện luận BPT: mx + 9 > 3x + m2, rồi suy ra tập nghiệm của BPT mx + 9 ≥ 3x + m2 5- Giải và biện luận các bpt sau

a) m(x + 2) ≤ 2x + m2 b) k(x – k) > 1 – 3x c) a(x -2) ≥ 4x + 4 d) k(x +1)+x + 3 ≥ 4x + 1 6- Tìm m để bất phương trình mx > 2m +1 được thõa mãn với mọi x ∈ (–1; 1)

7- Tìm m để hai bất phương trình sau đây là tương đương: (m−1) x m− + >3 0; (m+1)x m− + >2 0 HD: * Cách 1: Xét trường hợp m = 1, m = -1, m > 1, m <-1, -1 < m < 1 ĐS: m = 5

* Cách 2: Dựa vào ý nghĩa hình học

Hai bất phương trình bậc nhất tương đương ⇔

m và m cùng dấu





⇒ ⇒ m =5 8- Tìm m để hệ bất phương trình sau đây là vơ nghiệm: 2x( 2 1 0)4 0

m

m x

 − + >



 − + <

Vấn đề 3: Giải bất phương trình hữu tỉ

Phương pháp:

+ Biến đổi đưa bất phương trình hữu tỉ về dạng: <  ≤ > ≥ 

( ) 0 ( ) 0, ( ) 0, ( ) 0

+ Lập bảng xét dấu : ( )

( )

P x

Q x và chọn miền nghiệm thích hợp dấu BPT tương ứng.

Bài tập:

1- Giải các bất phương trình sau: a) a) < −

x

x c)

3x 1 2x 1

x+ ≥ x−

2- Giải các bpt sau:

− + > −

− −

2 2

x

+

− >

x

e) 2 32 − 13>0

− x x−

Lê Trinh Tường Trường THPT Trưng Vương

Vấn đề 4: Dấu của tam thức bậc hai – Bất ph.trình bậc hai:

1- Dấu của tam thức bậc hai: Cho tam thức bậc hai: f(x)= ax2 + bx +c ( a ≠ 0)

* Nếu ∆ < 0 thì af(x) > 0, với mọi x * Nếu ∆ = 0 thì af(x) > 0, với mọi

2a

b

x≠ −

* Nếu ∆ > 0 thì f(x) có hai nghiệm x1, x2 giả sử x1< x2 Thế thì:

1

2

af ( ) 0

x x x

x x

< ⇔ ∈





<





> ⇔ 





2- Một số điều kiện tương đương: Nếu ax2 + bx + c là một tam thức bậc hai (a ≠0) thì:

a) ax2 + bx + c > 0, ∀x ∈R ⇔ ∆ <a>00 b) ax2 + bx + c ≥ 0, ∀x ∈R ⇔ a∆ ≤>00

 c) ax2 + bx + c < 0, ∀x ∈R ⇔∆ <a<00 d) ax2 + bx + c ≤ 0, ∀x ∈R ⇔ a∆ ≤<00

 e) ax2 + bx + c < 0 vô nghiệm ⇔ ax2 + bx + c ≥ 0, ∀x ∈R

3- Giải và biện luận bất phương trình bậc hai:

Phương pháp: + Biến đổi đưa bpt về dạng quen

+ Xét dấu biệt thức ∆ và hệ số của x2, rồi áp dụng định lí về dấu tam thức bậc hai

Bài 1: Tìm các giá trị của m để bất phương trình : (x2 + x +1)m < x +1 ( m là tham số)

a) Vô nghiệm b) Nghiệm đúng với mọi x thuộc ¡

Gợi ý: + Đặt f(x) = mx2 + (m – 1)x + m –1

a) Bpt đã cho vô nghiệm ⇔ f(x) ≥ 0, ∀x ∈ ¡ (1)

* Với m = 0 f(x) = – x – 1 Khi đó: x ≤ –1 không thõa (1)

* Với m ≠ 0, ta có f(x) ≥ 0, ∀x ∈¡ ⇔ ⇔ m ≥ 1

ĐS: Bất phương trình vô nghiệm ⇔ m ≥ 1.

b) Bất phương trình f(x) < 0, ∀x ∈¡ ⇔  <

∆ <



0 0

m

ĐS: m < – 1/3.

Bài 2: Giải và biện luận bất phương trình: x2 – 2(m+1)x + m + 3 ≥ 0

Định hướng: + Bất phương trình đã có dạng chuẩn.

+ Hệ số a = 1 >0 nên ta chỉ cần xét dấu ∆’.

Giải: Ta có: ∆’ = m2 + m – 2 = (m-1)(m +2) ∆’ = 0 ⇔ (m = 1 hoặc m = – 2)

Biện luận: Nếu ∆’ ≤ 0 ⇔ – 2 ≤ m ≤ 1, bpt nghiệm đúng ∀x ∈ R

Nếu ∆’ > 0 ⇔ (m< – 2 hoặc m > 1) thì tam thức có hai nghiệm :

Khi đó bpt nghiệm đúng ⇔ (x ≤ x1 hoặc x ≥ x2)

Kết luận: * – 2 ≤ m ≤ 1 : S = R

* m < – 2 hoặc m > 1 : S = (−∞ + − + −  ∪ + + + − +∞)

 

Bài 3: ( HS làm ở nhà)

1- Tìm các giá trị của m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x ∈R

( m-1)x2 – 2( m+1)x + m – 5 < 0

2- Tìm các giá trị của m để bất phương trình sau vô nghiệm

(m – 3)x2 + (m+2)x – 4 > 0

Lê Trinh Tường Trường THPT Trưng Vương

Phương pháp: Muốn giải hệ bất phương trình bậc hai một ẩn, ta giải riêng từng bất phương trình của hệ rồi lấy giao của các tập nghiệm

Bài 1: Giải hệ bất phương trình sau: (I) − + + ≤

 + − <



2

2

3x 3x 6 0 (1) 2x 5x 3 0 (2) Giải: Gải (1) ⇔ ( x ≤ –1 hoặc x ≥ 2 giải (2) ⇔ − < <3 1

2

x

Do đó: (I)  ≤ − ∨ ≥( )



− < <





1 3

2

x

Bài 2: ( HS làm ở nhà) Giải các hệ BPT: a)  − > +

 2

5x 3 4x 1 8x 15 0





− − <



2

2

3x 5x 2 0 2x 8 0

x

Bài 1: Cho tam thức bậc hai : f(x) = x2 + (m−2)x − 2m +3 ( m là tham số)

a) Tìm m để phương trình f(x) = 0 có nghiệm

b) Tìm m để bất phương trình f(x) > 0 có tập nghiệm là R

Bài 2: Cho tam thức: f(x) = ( m − 1)x2 −2(m+1)x − 3(m−2), ( m là tham số)

a) Tìm m để phương trình f(x) = 0 vô nghiệm

b) Tìm m để phương trình f(x) = 0 có nghiệm cùng dấu

c) Tìm m để bất phương trình f(x) ≤ 0 vô nghiệm

Bài 3: Giải các bất phương trình sau:

a) (x2 −4 2x)( 2− − <x 6) 0 b) ( 4 2) (3 2x 2)

0 2x 1

≤

−

>

d) 4 1 22x 1

x

2

2

Bài 4: Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) y= (5 2x 2x 1− ) ( + ) b) ( 2 ) ( )

2

2x 3 2x 3 7x 44

x y

x

=

2 2

5 3x 2x 2x

y

x

=

+ Bài 5: Giải các hệ bất phương trình sau:

a)  − > +



 2

5x 3 4x 1

8x 15 0

2

2

3x 3x 6 0 2x 5x 3 0



 + − <

2

2

6 0

t t

 + − <



 + − ≥

2

2







Bài 6: Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm:

a)

2 2x 3 0

x

 + − <



2

x 2 1 3x

x m

 − − ≥



 − < −

2

5 3x 8x 0



 − < +



Lê Trinh Tường Trường THPT Trưng Vương

Vấn đề 5: Giải phương trình và bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối

Phương pháp chung: Dùng định nghĩa để khử dấu giá trị tuyệt đối

+ Dùng phép bình phương để khử dấu giá trị tuyệt đối, cần lưu ý phép bình phương chỉ tương đương khi hai vế không âm Vì vậy khi thực hiện phép bình phương cần phân tích và kèm theo điều kiện

để phép biến đổi là tương đương

Dạng thường gặp:

= ⇔ 

( ) ( )

f x g x

f x g x

=

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

f x g x

Bài 1: Giải phương trình: x2−6x 8+ = +x 2

Cách 1: Xét dấu tam thức: x2 – 6x + 8 có hai trường hợp:

+ x2 – 6x + 8 ≥ 0 ⇔ ( x ≤ 2 hoặc x ≥ 4)

Khi đó: x2 −6x 8+ = +x 2 ⇔  ≤ ∨ ≥ ⇔( = ∨ = )

 2

+ x2 – 6x + 8 < 0 ⇔ 2< x < 4

Khi đó: x2 −6x 8+ = +x 2 ⇔  < <−( − + = +) ⇔  < <

− + =



Cách 2: x2 −6x 8+ = +x 2

 ≥ −



2

x

Dạng bất phương trình thường gặp: Các phép biến đổi quan trọng sử dụng định nghĩa để khử dấu trị

tuyệt đối cho bất phương trình bao gồm:

a) f x( ) > g x( ) ⇔ f x2( )>g x2( )⇔f x g x( )− ( ) ( )  f x +g x( )>0

> ⇔  <



( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

f x g x

f x g x

f x g x c) f x( ) <g x( )⇔ −g x( )< f x( )<g x( )

Chú ý: Nếu có dấu = trong các bất phương trình dạng tương ứng ta có phép biến đổi tương tự

Bài 2: Giải bất phương trình sau: x2−3x 2 8 2x+ ≤ − .

Cách 1: x2 −3x 2 8 2x+ ≤ − ⇔

2 2

2 2

3x 2 0 3x 2 0

3x 2 8 2x 3x 2 8 2x

x x

x x

Giải (I) ⇔ (− ≤ ≤ ∨ ≤ ≤2 x 1 2 x 3), Giải (II) ⇔ < <1 x 2 Hợp nghiệm ta được: S = [-2; 3]

Cách 2: Áp dụng: f x( ) ≤g x( )⇔ −g x( )≤ f x( )≤g x( )

Ta có: x2−3x 2 8 2x+ ≤ −

 − + ≤ −





2

2

3x 2 8 2x 3x 2 8 2x

x x

 − − ≤





2

2

5x 10 0

Bài 3: (HS làm ở nhà) Giải các phương trình, bất phương trình sau:

a) x+ =2 3x 2− b) x2−5x 6+ =x2 +4x 9−

c) x2−4x 2+ ≤ x2+3x 5− d) x2−4x 3 2x 3+ > −

Lê Trinh Tường Trường THPT Trưng Vương

e) x2+3x 1 4x 3− < + g) x2− +2 x2 12 1≥3

− −

Vấn đề 6: Giải phương trình và bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai:

Phương pháp: Muốn giải phương trình hoặc bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai, ta sử dụng các phép biến đổi tương đương để làm mất căn thức

+ Có thể dùng phép bình phương và lưu ý phép bình phương chỉ tương đương khi hai vế không

âm Vì vậy khi bình phương cần phân tích kỹ các khả năng xảy ra để có điều kiện thích hợp kèm theo, nhằm bảo đảm phép biến đổi là tương đương

Bài 1: Giải phương trình sau: 2x2− −x 20 = +x 2

Phân tích điều kiện: + Điều kiện xác định: 2x2 –x – 20 ≥ 0 (1)

+ Điều kiện có nghiệm: x + 2 ≥ 0 (2) Với hai điều kiện trên phương trình tương đương với : 2x2 –x – 20 = [x + 2]2 (3) Ta thấy (3) kéo theo (1)

do vậy nghiệm của pt(3) thõa mãn bất pt (2)

Giải:

Ta có: 2x2− −x 20 = +x 2 ( )

 + ≥



2 0

x

=



2

( ) 0 ( ) ( )

( ) ( )

g x

f x g x

f x g x (I)

Bài 2: Giải bất phương trình: x2−2x 8− < −x 2

Phân tích điều kiện: + Điều kiện xác định: x2 – 2x – 8 ≥ 0 (1)

+ Điều kiện có nghiệm: x – 2 >0 (2) Với điều kiện (1) và (2) đã có ta bình phương hai vế được một bpt tương đương sau:

x2 – 2x – 8 < (x – 2)2 (3) Như vậy bất phương trình đã cho tương đương với hệ gồm ba bpt (1), (2) và (3)

Giải:

Ta có: x2−2x 8− < −x 2

 − >





− − < −



2

2 2

2 0 2x 8 0

x x

⇔ ⇔ 4 ≤ x < 6 Vậy : S = [4; 6)

Tóm lại: Ta có phép biến đổi sau:





<

( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0

( ) ( )

g x

f x g x

(II)

Bài 3 Giải bất phương trình: − +x2 7x 6 4− > −x

Phân tích: + Điều kiện xác định: – x2 + 7x – 6 ≥ 0 (1)

+ Để khử dấu căn bậc 2 chứa ẩn ta xét hai trường hợp:

Trường hợp 1: 4 – x < 0 (2).

Rõ ràng nghiệm của (1) và (2) cũng là nghiệm của bpt, do đó bpt tương đương với hệ gồm(1) và (2)

Trường hợp 2: 4 – x ≥ 0 (3).

Khi đó ta bình phương hai vế ta được: – x2 + 7x – 6 > (4 – x)2 (4)

Do đó, với điều kiện (1) và (3), bất phương trình đã cho tương đương với (4) Vì (4) kéo theo (1) nên bất

Lê Trinh Tường Trường THPT Trưng Vương

Giải :

2

2 2

7x 6 0

x x

Giải (I) ⇔ 4 < x ≤ 6, giải hệ (II) ⇔ 2 < x ≤ 4 Hợp các tập nghiệm ta được: S = (2; 6]

>

2

( ) 0 ( ) 0

( ) ( )

g x

g x

Chú ý: Nếu trong bất phương trình ở (I), (II), (III) có dấu “=” tương ứng mỗi dạng ta có phép biến đổi tương tự

Bài 4: ( HS tự làm ở nhà) Giải các phương trình và bất phương trình sau:

a) 2x 3− = −x 1 b) x2+ − = −3x 4 x 6 c) x2− −3x 10≥ −x 2 d) x2−4x 5− ≤ −x 4