Bài tập chương định thức và hệ phương trình ĐSTT

Cách giải khác, không dùng truy hồi: Rút bn ở cột cuối ra ngoài, sau đó nhân nó với -b i, cộng vào cột thứ i.. a Phân tích D n theo các cột thành tổng các số hạng, mỗi số hạng là một đị

Bài tập chương Định thức và Hệ phương trình ĐSTT

1 .

= (2,5)(5,4) → Sgn (𝜎) = 1

2.

→ Sgn (𝜎) = -1

3 . 𝜎 = (1, 2)(2, 3) …(n-1, n) = (1, 2, …, n) Sgn (𝜎) = (-1)n-1

4 𝜎 = (1, 2, 3)(2, 3, 4) …(n-2, n-1, n)

= (1, 2)(2, 3)(2, 3)(3, 4) … (n-2, n-1)(n-1, n) = (1, 2)(n-1, n) Sgn (𝜎) = 1

9

a)

= - (-7.2 + 2.6 - 1.2) = 4

b) 90 Tương tự, biến đổi một chút trước khi khai triển

10 .

a)

b)

c)

= (-1) n+1 (-1) n-1 a n x 1 …x n-1 + x n D n-1 = x 1 …x n-1 a n + x 1 …x n-1 a n-1 x n + … + a 1 x 1 …x n

1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

3 5 4 1 2 4 3 1 5 2 =

1 2 3 4 5

4 3 1 5 2

1 4 3 2 5

= 1 2 3 4 5

1 4 3 2 5 = (2, 4)

𝜎 =

1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

2 4 5 1 3 4 3 5 1 2 =

1 2 3 4 5

4 3 5 1 2

1 5 3 2 4

= 1 2 3 4 5

1 5 3 2 4 = (2, 5, 4)

𝜎 =

2 -5 4 3

3 -4 7 5

4 -9 8 5

-3 2 -5 3

=

2 -5 4 3

1 1 3 2

0 1 0 -1

0 -2 2 8

=

H4 = H4+H3 H3 = H3-2H1 H2 = H2-H1

0 -7 -2 -1

1 1 3 2

0 1 0 -1

0 -2 2 8

= -

-7 -2 -1

1 0 -1 -2 2 8

=

1 2 3 … n

-1 0 3 … n

-1 -2 0 … n

…

-1 -2 -3 … 0

=

1 2 3 … n

0 2 6 … 2n

0 0 3 … 2n

…

0 0 0 … n

= n!

Cộng hàng đầu vào các hàng còn lại

a 0 a 1 a 2 … a n

-x x 0 … 0

0 -x x … 0

…

0 0 0 … x

=

Lần lượt cộng dồn tất cả các cột sau vào cột đứng trước

a 0 +…+a n a 1 a 2 … a n

0 x 0 … 0

0 0 x … 0 …

0 0 0 … x

a 1 a 2 a 3 … a n

-x 1 x 2 0 … 0

D n = 0 -x 2 x 3 … 0 =

…

0 0 0 … x n

(-1) n+1 a n

-x 1 x 2 0 … 0

0 -x 2 x 3 … 0 …

0 0 0 … x n-1

+ x n

a 1 a 2 a 3 … a n-1

-x 1 x 2 0 … 0

0 -x 2 x 3 … 0 = …

0 0 0 … x n-1

Cách khác: Rút x1, …, xn từ các cột ra ngoài, làm tương tự câu trên, ta có:

Dn = x 1 …x n-1 x n (a 1 /x 1 + … + a n /x n ) - là cách viết khác của kết quả trên

12

a)

= (x-1)…(x-(n-1))

Cũng có thể giải bằng cách rút 1, 2, …, n từ các cột ra ngoài, ta có định thức mà tất cả các phần tử ở cột thứ nhất và các phần từ nằm ngoài đường chéo đều bằng 1, các phần

tử còn lại là (x+1)/2, …, (x+1)/n

b)

13

a)

D n =

Chú ý các phần tử trong hai hàng cuối của định thức (không kể phần tử cột cuối cùng) là: a 1 b n-1 a 2 b n-1 a 3 b n-1 … a n-2 b n-1 a n-1 b n-1 ,

và a 1 b n a 2 b n a 3 b n … a n-2 b n a n-1 b n

chỉ khác nhau hệ số nhân (bn-1 và bn) Khai triển định thức theo cột cuối ta được n-2 số

hạng đầu bằng không vì định thức phần bù của a 1 b n , …, a n-2 b n có hai dòng cuối tỷ lệ

với nhau Vì vậy ta có: D n = a n b n D n-1 – a n-1 b n C n-1 Trong đó,

D n-1 =

a 1 b 1 a 1 b 2 a 1 b 3 … a 1 b n-2 a 1 b n-1 a 1 b n

a 1 b 2 a 2 b 2 a 2 b 3 … a 2 b n-2 a 2 b n-1 a 2 b n

a 1 b 3 a 2 b 3 a 3 b 3 … a 3 b n-2 a 3 b n-1 a 3 b n

…

a 1 b n-2 a 2 b n-2 a 3 b n-2 … a n-2 b n-2 a n-2 b n-1 a n-2 b n

a 1 b n-1 a 2 b n-1 a 3 b n-1 … a n-2 b n-1 a n-1 b n-1 a n-1 b n

a 1 b n a 2 b n a 3 b n … a n-2 b n a n-1 b n a n b n

a 1 b 1 a 1 b 2 a 1 b 3 … a 1 b n-2 a 1 b n-1

a 1 b 2 a 2 b 2 a 2 b 3 … a 2 b n-2 a 2 b n-1

a 1 b 3 a 2 b 3 a 3 b 3 … a 3 b n-2 a 3 b n-1

…

a 1 b n-2 a 2 b n-2 a 3 b n-2 … a n-2 b n-2 a n-2 b n-1

a 1 b n-1 a 2 b n-1 a 3 b n-1 … a n-2 b n-1 a n-1 b n-1

1 2 3 … n Nhân hàng 1 với -1,

1 x+1 3 … n cộng vào các hàng sau

1 2 x+1 … n =

…

1 2 3 … x+1

1 2 3 … n

0 x-1 0 … 0

0 0 x-2 … 0 = …

0 0 0 … x-(n-1)

1+x 1 1 1

1 1-x 1 1

1 1 1+y 1

1 1 1 1-y

= x 2 y 2

Lấy hàng 1 nhân với (-1) cộng vào hàng thứ 2, Lấy hàng 3 nhân với (-1) cộng vào hàng thứ 4, Rút x, y ra ngoài, khử về 0 một số phần tử sau đó khai triển định thức theo hai hàng đầu

C n-1 =

Lại chú ý rằng (rút nhân tử ở dòng cuối) D n-1 = b n-1 Q, C n-1 = b n Q, Q là định thức:

Ta có C n-1 = (b n /b n-1 )D n-1

→ D n = a n b n D n-1 – a n-1 b n (b n /b n-1 )D n-1 = (b n / b n-1 )(a n b n-1 – a n-1 b n )D n-1

= (b n /b n-1 )(a n b n-1 – a n-1 b n ) (b n-1 /b n-2 )(a n-1 b n-2 – a n-2 b n-1 )D n-2

= … = (a n b n-1 – a n-1 b n )(a n-1 b n-2 – a n-2 b n-1 ) (a 3 b 3 – a 2 b 2 )D 2

= (b n /b 2 )(a n b n-1 – a n-1 b n )(a n-1 b n-2 – a n-2 b n-1 ) (a 3 b 3 – a 2 b 2 )(a 2 b 1 – a 1 b 2 )a 1 b 2

= b n a 1 (a n b n-1 – a n-1 b n )(a n-1 b n-2 – a n-2 b n-1 ) (a 3 b 3 – a 2 b 2 )(a 2 b 1 – a 1 b 2 )

Cách giải khác, không dùng truy hồi: Rút bn ở cột cuối ra ngoài, sau đó nhân nó với

-b i, cộng vào cột thứ i Hoán vị n-1 lần với cột đứng trước để đưa cột cuối về cột đầu

a 1 b 1 a 1 b 2 a 1 b 3 … a 1 b n-2 a 1 b n-1

a 1 b 2 a 2 b 2 a 2 b 3 … a 2 b n-2 a 2 b n-1

a 1 b 3 a 2 b 3 a 3 b 3 … a 3 b n-2 a 3 b n-1

…

a 1 b n-2 a 2 b n-2 a 3 b n-2 … a n-2 b n-2 a n-2 b n-1

a 1 b n a 2 b n a 3 b n … a n-2 b n a n-1 b n

a 1 b 1 a 1 b 2 a 1 b 3 … a 1 b n-2 a 1 b n-1

a 1 b 2 a 2 b 2 a 2 b 3 … a 2 b n-2 a 2 b n-1

a 1 b 3 a 2 b 3 a 3 b 3 … a 3 b n-2 a 3 b n-1

…

a 1 b n-2 a 2 b n-2 a 3 b n-2 … a n-2 b n-2 a n-2 b n-1

b n … b 3

b n-1 …b 2

a 1 b 1 a 1 b 2 a 1 b 3 … a 1 b n

a 1 b 2 a 2 b 2 a 2 b 3 … a 2 b n

a 1 b 3 a 2 b 3 a 3 b 3 … a 3 b n

…

a 1 b n a 2 b n a 3 b n … a n b n

a 1 b 1 a 1 b 2 a 1 b 3 … a 1

a 1 b 2 a 2 b 2 a 2 b 3 … a 2

a 1 b 3 a 2 b 3 a 3 b 3 … a 3

…

a 1 b n a 2 b n a 3 b n … a n

= b n

* a 2 b 3 -a 3 b 2 0 … 0 a 3

…

* * * … a n-1 b n -a n b n-1 a n

= b n

a 2 a 1 b 2 -a 2 b 1 0 0 … 0

a 3 * a 2 b 3 -a 3 b 2 0 … 0

…

a n * * * … a n-1 b n -a n b n-1

= (-1) n-1 b n

= a 1 b n (a n b n-1 -a n-1 b n )…(a 2 b 1 -a 1 b 2 )

b)

= a n y 1 …y n + x n D n-1 = a n y 1 …y n + x n (a n-1 y 1 …y n-1 + x n-1 D n-2 )

= a n y 1 …y n + a n-1 y 1 …y n-1 x n + x n x n-1 D n-2

= a n y 1 …y n + a n-1 y 1 …y n-1 x n + … + a 1 y 1 x n …x 2 + a 0 x n …x 1

14

a)

Phân tích D n theo các cột thành tổng các số hạng, mỗi số hạng là một định thức có các cột loại (1) và (2) Mỗi số hạng sẽ thuộc về một trong các trường hợp sau:

- Không có cột nào thuộc loại (2), tất cả các cột đều là cột thuộc loại (1): định thức

có các phần tử trên đường chéo là x, giá trị của định thức là x n

- Có chỉ một cột thứ i thuộc loại (2), tất cả các cột còn lại thuộc loại (1)

- Có nhiều hơn 1 cột thuộc loại (2), định thức bằng 0 vì có hai cột tỷ lệ

Vậy D n = x n + (a 1 +…+a n )x n-1

Cách giải khác: Nhân dòng cuối cùng với -1, cộng vào các dòng trên Sau đó cộng

dồn các cột vào cột cuối cùng, ta nhận được định thức tam giác và có ngay kết quả

b)

Lập luận tương tự như câu a) ta có D n = ∏ (𝑥𝑖 − 𝑎𝑖) + ∑𝑛 𝑎𝑖(𝑥𝑖− 𝑎𝑖)𝑛−1

𝑖=1

𝑛

a 0 a 1 a 3 … a n

-y 1 x 1 0 … 0

D n = 0 -y2 x2 … 0 = (-1) n+2 a n (-1) n y 1 …y n + x n D n-1

…

0 0 0 … x n

(khai triển theo cột cuối)

…

…

x 0 … a i … 0

0 x … a i … 0

Ci = 0 0 … a i … 0 = a i x n-1 , i = 1, …, n

…

0 0 … a i … x

a 1 x 2 a 3 … a n 0+a 1 (x 2 -a 2 )+a 2 0+a 3 … 0+a n

D n = a 1 a 2 x 3 … a n = 0+a 1 0+a 2 (x 3 -a 3 )+a 3 … 0+a n

a 1 a 2 a 3 … x n 0+a 1 0+a 2 0+a 3 … (x n -a n )+a n

26

Vậy nghiệm của hệ là (x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) = (2, -2, 1, -1)

Cách khác: Bằng phương pháp tính định thức

Bằng vào những phép biến đổi sơ cấp như trên, ta có định thức D = -6, D 4 = 6

D 1 =

D 2 =

D 3 =

Vậy hệ có nghiệm là (x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) = (D 1 /D, D 2 /D, D 3 /D, D 4 /D, ) = (2, -2, 1, -1)

34

a)

Cách khác: Phương pháp dùng định thức con

Dễ thấy định thức con cấp 2 ≠ 0 → rank A ≥ 2 Xét tất cả các định thức con cấp 3 bao định thức này

= = 0, = = 0, = = 0

Giá trị của chúng đều bằng 0, vì vậy rank A = 2

b)

A =

3x 1 + 4x 2 + x 3 + 2x 4 + 3 = 0

3x 1 + 5x 2 + 3x 3 + 5x 4 + 6 = 0

6x 1 + 8x 2 + x 3 + 5x 4 + 8 = 0

3x 1 + 5x 2 + 3x 3 + 7x 4 + 8 = 0

Ma trận mở rộng Ā =

3 4 1 2 | -3

3 5 3 5 | -6

6 8 1 5 | -8

3 5 3 7 | -8

3 4 1 2 | -3

0 1 2 3 | -3

0 0 -1 1 | -2

0 1 2 5 | -5

h 2 = h 2 – h 1

h 3 = h 3 – 2h 1

~

h 4 = h 4 – h 1

3 4 1 2 | -3

0 1 2 3 | -3

0 0 -1 1 | -2

0 0 0 2 | -2

~

h 4 = h 4 – h 2 →

x 4 = -1 -x 3 = -2 – x 4 = -1 → x 3 = 1

x 2 = -3 – 2x 3 – 3x 4 = -2

x 1 = (1/3)(-3 – 4x 2 – x 3 – 2x 4 ) = 2

-3 4 1 2

-6 5 3 5

-8 8 1 5

-8 5 3 7

-3 4 1 2

0 -3 1 1 -2 3 -2 0

0 -3 2 2

-3 4 1 2

0 -3 1 1 -2 0 0 2

0 0 1 1

h 4 = h 4 -h 3

h 2 = h 2 -2h 1

=

h 3 =h 3 -h 2

h 4 = h 4 -h 2

h 3 =

h 3 +h 4 +h 2

=

h 2 = h 2 -h 4

c 4 = c 4 +c 1

=

c 3 = c 3 +c 4

-3 4 -2 -1

0 -3 0 0 -2 0 0 0

0 0 0 1

= -12

3 -3 1 2

3 -6 3 5

6 -8 1 5

3 -8 3 7

3 -3 1 2

0 -3 2 3

0 -2 -1 1

0 -5 2 5

h 2 = h 2 -h 1

h 3 = h 3 -2h 1

=

h 4 =h 4 -h 1

3 -3 1 2

0 -1 3 2

0 -2 -1 1

0 0 1 1

h 4 = h 4 -h 2

-h 3

=

h 2 = h 2 -h 3

3 -3 -1 2

0 -1 1 2

0 0 -4 -3

0 0 0 1

h 3 = h 3 -2h 2

=

c 3 = c 3 -c 4

= 12

3 4 -3 2

3 5 -6 5

6 8 -8 5

3 5 -8 7

3 4 -3 2

0 1 -3 3

0 0 -2 1

0 1 -5 5

h 2 = h 2 -h 1

h 3 = h 3 -2h 1

=

h 4 =h 4 -h 1

3 4 -3 2

0 1 -3 3

0 0 -2 1

0 0 0 1

h 4 =h 4 -h 2 -h 3

2 -1 3 -2 4

4 -2 5 1 7

2 -1 1 8 2

2 -1 3 -2 4

0 0 -1 5 -1

0 0 -2 10 -2

2 -1 3 -2 4

0 0 -1 5 -1

0 0 0 0 0

h 2 =h 2 -2h 1

~

h 3 =h 3 -h 1

~

h 3 =h 3 -2h 2

-1 3 -2 5

2 -1 3

4 -2 5

2 -1 1

2 -1 3

0 0 -1

0 0 -2

-1 3 -2 -2 5 1 -1 1 8

-1 3 -2

0 -1 5

0 -2 10

-1 3 4 -2 5 7 -1 1 2

-1 3 4

0 -1 -1

0 -2 -2

3 -1 3 2 5

5 -3 2 3 4

1 -3 -5 0 -7

7 -5 1 4 1

Chuyển h3 lên đầu

~

1 -3 -5 0 -7

3 -1 3 2 5

5 -3 2 3 4

7 -5 1 4 1

h 2 =h 2 -3h 1

h 3 =h 3 -5h 1

~

h 4 =h 4 -7h 1

1 -3 -5 0 -7

0 8 18 2 26

0 12 27 3 39

0 16 36 4 50

h 2 =h 2 /2

h 3 =h 3 /3

~

h 4 =h 4 /2

Cách khác: Phương pháp dùng định thức con

Xét tất cả các định thức con cấp 4 bao định thức này

35

A =

36

A =

37 Tìm ma trận nghịch đảo

a) A = Dùng các phép biến đổi sơ cấp để chuyển A|E về E|A-1

1 -3 -5 0 -7

0 4 9 1 13

0 4 9 1 13

0 8 18 2 25

h 3 =h 3 -h 2

h 4 =h 4 -2h 2

~

1 -3 -5 0 -7

0 4 9 1 13

0 0 0 0 0

0 0 0 0 -1

→ rank A = 3

2 3 4

-5 0 7

1 4 1

0 -5 2

0 -20 2

1 4 1

1 4 1

0 -5 2

0 -20 2

1 4 1

0 -5 2

0 0 -6

3 3 2 5

5 2 3 4

1 -5 0 -7

7 1 4 1

0 18 2 26

0 27 3 39

1 -5 0 -7

0 36 4 50

0 9 1 13

0 9 1 13

1 -5 0 -7

0 18 2 25

= 2.3.2

-1 3 2 5

-3 2 3 4

-3 -5 0 -7

-5 1 4 1

-1 3 2 5

0 -7 -3 -11

0 -14 -6 -22

0 -16 -6 24

rank A = 3

3 1 1 4

λ 4 10 1

1 7 17 3

2 2 4 3

1 7 17 3

λ 4 10 1

3 1 1 4

2 2 4 3

1 7 17 3

λ 4 10 1

0 -20 -50 -5

0 -12 -30 -3

1 7 17 3

λ 4 10 1

0 -4 -10 -1

0 -4 -10 -1

1 7 17 3

λ 0 0 0

0 -4 -10 -1

0 0 0 0

Đổi chỗ các hàng

~

h 3 = h 3 -3h 1

h 4 = h 4 -2h 1

~

h 3 = h 3 /5

h 4 = h 4 /3

~

~

Nếu λ = 0, rank A = 2, Nếu λ ≠ 0, rank A = 3 Vậy A có hạng nhỏ nhất bằng 2 khi λ = 0

1 λ -1 2

2 -1 λ 5

1 10 -6 1

Đổi chỗ các hàng

~

1 10 -6 1

1 λ -1 2

2 -1 λ 5

Đổi chỗ các cột

~

1 1 10 -6

1 2 λ -1

2 5 -1 λ

h 2 = h 2 – h 1

~

h 3 = h 3 – 2h 1

~

h 3 = h 3 – 3h 2

Nếu 9 – 3λ = 0 thì λ -3 = 0

và rank A = 2 Ngược lại rank A = 3

→

h 3 = h 3 – h 2

h 2 = h 2 – 2h 3

→

h 3 = h 3 – h 1

→

h 1 = h 1 + h 3

→

h 2 = - h 2

→

h 3 = h 3 + h 2

→

h 3 = h 3 / 4

Vậy A-1 =

Chú ý: Các phép biến đổi được dùng là nhân một hàng với một vô hướng ≠ 0 hoặc cộng

vào một hàng tổ hợp tuyến tính của các hàng còn lại

b)

A = Dùng các phép biến đổi sơ cấp để chuyển A|E về E|A-1.

45

Ma trận mở rộng của hệ Ā =

→ z = 3x – 2y – t – 5 → 5(3x – 2y – t –5) + 4t = -3x + 2y + 2 → t = 18x -12y -27

→ z = 3x – 2y – 18x + 12y +27 – 5 = - 15x + 10y + 22

Vậy nghiệm tổng quát của hệ (1) là (x, y, -15x + 10y + 22, 18x - 12y - 27)

= (0, 0, 22, -27) + (x, y, -15x + 10y, 18x – 12y) Trong đó (0, 0, 22, -27) là một nghiệm riêng của hệ (1), còn (x, y, -15x + 10y, 18x – 12y) là nghiệm tổng quát của hệ phương trình thuần nhất tương ứng (2)

h 1 = h 1 - 3h 2

→

h 2 = h 2 + h 3

h 1 = h 1 - 8h 3

→

1/4 -9/4 3/2 1/4 3/4 -1/2

1 2 -1 -2

3 8 0 -4

2 2 -4 -3

3 8 -1 -6

1 2 -1 -2 | 1 0 0 0

3 8 0 -4 | 0 1 0 0

2 2 -4 -3 | 0 0 1 0

3 8 -1 -6 | 0 0 0 1

1 2 -1 -2 | 1 0 0 0

0 2 3 2 | -3 1 0 0

0 -2 -2 1 | -2 0 1 0

0 0 -1 -2 | 0 -1 0 1

h 4 = h 4 - h 2

→

h 2 = h 2 - 3h 1

h 3 = h 3 - 2h 1

→

h 3 = h 3 + h 2

1 2 -1 -2 | 1 0 0 0

0 2 3 2 | -3 1 0 0

0 0 1 3 | -5 1 1 0

0 0 -1 -2 | 0 -1 0 1

→

h 4 = h 4 + h 3

1 2 -1 -2 | 1 0 0 0

0 2 3 2 | -3 1 0 0

0 0 1 3 | -5 1 1 0

0 0 0 1 | -5 0 1 1

h 1 = h 1 + 2h 4

h 2 = h 2 - 2h 4

→

h 3 = h 3 - 3h 4

1 2 -1 0 | -9 0 2 2

0 2 3 0 | 7 1 -2 -2

0 0 1 0 | 10 1 -2 -3

0 0 0 1 | -5 0 1 1

h 1 = h 1 + h 3

h 2 = h 2 - 3h 3

→

1 2 0 0 | 1 1 0 -1

0 2 0 0 | -23 -2 4 7

0 0 1 0 | 10 1 -2 -3

0 0 0 1 | -5 0 1 1

h 1 = h 1 – h 2

h 2 = h 2 /2

→

1 0 0 0 | 24 3 -4 -8

0 1 0 0 | -23/2 -1 2 7/2

0 0 1 0 | 10 1 -2 -3

-23/2 -1 2 7/2

3x - 2y + 5z + 4t = 2

6x - 4y + 4z + 3t = 3

9x - 6y + 3z + 2t = 4

3 -2 5 4 | 2

9 -6 3 2 | 4

0 0 -6 -5 | -1 ~

0 0 -12 -10 | -2

3 -2 5 4 | 2

0 0 -6 -5 | -1

0 0 0 0 | 0

3x - 2y + 5z + 4t = 0 6x - 4y + 4z + 3t = 0 9x - 6y + 3z + 2t = 0

3x – 2y + 5z + 4t = 2

– 6z – 5t = 3

5z + 4t = -3x + 2y +2 6z + 5t = -3

5z + 4t = -3x + 2y + 2

z + t = 3x – 2y - 5

46

8x + 6y + 5z + 2t = 21

3x + 3y + 2z + t = 10

4x + 2y + 3z + t = 8

3x + 5y + z + t = 15

7x + 4y + 5z + 2t = 18

8 6 5 2 | 21 h1 = h1 – h5

3 3 2 1 | 10 h5 = h5–h4–h3

4 2 3 1 | 8 ~

3 5 1 1 | 15 h3 = h3 – h2

7 4 5 2 | 18 h4 = h4 – h2

1 2 0 0 | 3

3 3 2 1 | 10 h2 = h2 - 3h1

1 -1 1 0 | -2 ~

0 2 -1 0 | 5 h3 = h3 - h1

0 3 1 0 | -5

1 2 0 0 | 3

0 -3 2 1 | 1 h2 = h2 - h3

0 -3 1 0 | -5 ~

0 2 -1 0 | 5 h4 = -h4 - h3

0 3 1 0 | -5 h5 = (h5 + h3)/2

1 2 0 0 | 3

0 0 1 1 | 6 h1 = h1 – 2h4

0 -3 1 0 | -5 ~

0 1 0 0 | 0 h3 = h3 + 3h4

0 0 1 0 | -5

1 0 0 0 | 3

0 0 1 1 | 6 h2 = h2 – h3

0 0 1 0 | -5 ~

0 1 0 0 | 0

0 0 1 0 | -5

1 0 0 0 | 3

0 0 0 1 | 11

0 0 1 0 | -5 ~

0 1 0 0 | 0

0 0 1 0 | -5

1 0 0 0 | 3

0 1 0 0 | 0

0 0 1 0 | -5

0 0 0 1 | 11

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x, y, z, t) = (3, 0, -5, 11)