BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐỒNG DƯ Bài tập về phương trình đồng dư... Giải phương trình: Do nên phương trình luôn có nghiệm duy nhất.. Ta tìm một số nguyên k sao cho chia hết cho 12.
Trang 1BÀI TẬP VỀ
PHƯƠNG TRÌNH
ĐỒNG DƯ
Bài tập về phương trình đồng dư
Trang 2Giải phương trình:
Do nên phương
trình luôn có nghiệm duy
nhất.
Ta tìm một số nguyên k sao
cho chia hết cho 12
Chọn
≡
(12, 23) 1 =
7 23k+
k 7 =
12x 7.24(mod 23)
x 14(mod 23)
1/ 12x 7 (mod 23)
Vậy số nghiệm của phương trình ban đầu là
≡
2x 9(mod11)
⇔
⇒ −
≡
≡
x 10(mod 33)
x 21(mod 33)
−
≡
≡
≡
2/ 6x 27 (mod 33) ≡
Trang 3Ta có
Áp dụng tính chất bắc cầu của quan hệ đồng dư
Ta được phương trình tương đương (mod 11) Chia hai vế cho 2 (vì (2,11) = 1)
3x 1 (mod 11)
Lấy
Lại có (17,11) =1
phương trình có nghiệm duy nhất x 4 (mod 11)
≡ 17x 6x(mod11)
13 2(mod11)
≡
≡
6x 2 ≡
x 4, t 1= =
≡
3/ 17x 13 (mod 11)
Trang 4≡ ≡
≡ ⇔ a.a 100 ≡ 69
2a 4
⇔ ≡ − ⇔ ≡ − a 2
a 71
⇔ ≡
4/ Tìm số dư trong phép chia a cho 73 biết rằng
a100 (mod 73), a101
Ta có
a101
69 (mod 73)
(mod 73)
(mod 73) (mod 73) (vì (2,73)=1) Vậy a chia cho 73 có số dư là 71
2
69 (mod 73)
Lại có a100 2
(mod 73)
Trang 5q 1 p 1
p − + q − ≡ 1
q 1
p − ≡
≡ ⇒ qp 1− ≡ 0(mod q)
q 1 p 1
p − q − 1(mod p)
p 1
q 1 p 1
p − q − 1(mod q)
⇒ + ≡
⇒ pq 1− + qp 1− ≡ 1
5/ CM: Cho p, q là các số nguyên tố khác nhau thì
Ta có
q là số nguyên tố, (p,q)=1, theo định lý Fermat: 1 (mod p)
0 (mod q)
p là số nguyên tố, (p,q)=1, theo định lý Fermat: (mod q)
0 (mod p)
(1),(2)
(2)
(vì (p,q)=1) (mod pq)
(mod pq)
q
(1)
p
Trang 6p 2 p
p + + +(p 2) ≡ 0(mod 2p 2)+
p 1(mod 2), p 2 1(mod 2) ≡ + ≡
p + + + (p 2) ≡ 0(mod 2)
p ≡ −1(mod p 1), p 2 1(mod p 1)+ + ≡ +
p + + +(p 2) ≡ 0(mod p 1)+
6/ Chứng minh rằng nếu p là một số nguyên tố lẻ thì ta có
Ta có
suy ra
(2, p+1)=1, (1),(2)
Lại có
(2)
Trang 7≡
a 1(mod 7) a 1 0(mod 7)
7/ CM: Nếu (a,7)=1 thì a12-1
Vì (a,7)=1 nên theo định lý Fermat, ta có a6 1(mod 7)
0 (mod 7)
Trang 8⇒
4
(a, 2 ) (a,3) (a,5) 1
(3) 2
a 1(mod 3) a 1(mod 3)(1) (a,3) 1
=
(5) 4
a 1(mod 5) a 1(mod 5) (2) (a,5) 1
=
a
⇒
a − = + 1 (a 1)(a 1)(a − + 1)
(a 1) (2.4.2) 2 a 1(mod 2 )(3)
⇒ − M = ⇒ ≡
4 (1),(2),(3) ⇒ a − ≡ 1 0(mod 240)
8/ Nếu (a, 240)=1 thì a4-1 240=3.5.24
Ta có (a, 240)=1 a không phân tích ra thừa số nguyên tố 2, 3, 5
Ta có
Ta có (a, 240) =1 là số lẻ
2 số lẻ liên tiếp số chẵn
0 (mod 240)