on thi hoc ky 2 lop 8

Tập hợp tất cả các nghiệm của một bất phương trình được gọi là tập nghiệm của bất phương trình -Hai bất phương trình có cùng tập nghiệm là hai bất phương trình tương đương -Giải bất ph

Kiến thức trọng tâm tốn học kỳ 1 Lớp 6

A.PHẦN SỐ HỌC :

B PHẦN HÌNH HỌC:

I.Chương 3: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN

1 Ph ương trình bậc nhất nột ẩn:

a Định nghĩa: Phương trình có dạng ax+b = 0 với a,b là hai số đã cho với a ≠ 0 được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn

Vd : 2x-1= 0 ; 3-5y= 0.

b Nghiệm của Pt bậc nhất 1 ẩn : Phương trình bậc nhất ax+b= 0 luôn

có một nghiệm duy nhất x=a b .

c.Giải pt bậc nhất 1 ẩn là tìm pt tương đương đơn giản hơn.cĩ 2 phép

biến đổi tương đương sau:

-Trong một phương trình ta có thể chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia và đổi dấu hạng tử đĩ.Vd: 2x – 3 = 3x +6  2x -3x = 6 +3

- Trong một phương trình ta có thể nhân (hoặc chia)cả hai vế với cùng một số khác 0

Vd: 2x -3x = 6 +3  -x = 9 (thu gọn 2 vế)  x = -9 ( nhân 2 vế cho -1).

Vậy nghiệm của pt là S ={ -9}

d Lưu ý: Các dạng pt đặc biệt sau

* Dạng 0x = 0 nghiệm là với mọi x hây nĩi là pt cĩ vơ số nghiệm.

* Dạng 0x = c ( c là một số khác 0 nào đĩ chẳn hạn 1; 2 ; -5;….).ta nĩi

pt vơ nghiệm.Tức là khơng cĩ giá trị nào của x để 2 vế pt bằng nhau.

*Dạng x2 = - c (-c là số âm) ( -5 ; -2 ; - 43 ;….) Ta nĩi pt vơ nghiệm.

2 Ph ương trình tích:

a.Định nghĩa: Phương trình tích có dạng A(x).B(x)=0

b Cach giải : A(x).B(x)= 0 ta đưa về giải 2 phương trình cùng một lúc

sau đĩ chọn nghiệm của pt.

c Ví dụ:

VD1 : (2x-3)(x+1)=0

































1 2

3 0

1

0 3 2

x

x x

x

Vậy phương trình có 2 nghiệm

Vd3 :2x3= x2+2x-1













0 )

(

0 )

(

x

B

x

A

x=-1 ;23

S=















2

3

; 1





















































































2 1 1 1

0 1 2

0 1 0 1

0 )

1 2

)(

1 )(

1 (

0 )

1 )(

1 (

) 1 (

2

0 )

1 (

) 2 2

(

0 1 2

2

2

2 3

x x x x

x x

x x

x

x x

x x

x x

x

x x

x

Vậy phương trình có tập nghiệm S= 

1 ;-1 ;21 

3 Ph ương trình chứa ẩn ở mẫu :

a.Định nghĩa: là Pt cĩ dạng phân thức trong đĩ cĩ chứa ẩn ở mẫu

Ví dụ:

2

1 5 4

2



x

khơng phải là pt chứa ẩn ở mẫu

1 2

1 2







x

x

là pt chứa ẩn ở mẫu

b.Cách giải phương trình chứa ẩn ở mẫu :

B1 :Tìm điều kiện xác định của phương trình ( mẫu thức khác 0)

B2 : Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu

B3 :Giải phương trình vừa nhận được

B4 : Kết luận ( đđđối chiếu với điều kiện 1 để chọn nghiệm,trả lời).

c.Ví dụ:

Vd 1 : 222( 23)

x

x x

x



















2 0 0 2 0

x x x

x

) ( 3 8

8 3

3 2 8 2

).

3 2 ( ) 4 (

2

).

2 ( 2

).

3 2 ( )

2 ( 2

) 2 ( 2 ).

2 (

2 2

2

nhan x

x

x x x

x x x

x x

x x x

x

x x











































Vậy phương trình có tập

nghiệm S= 





 

3 8

Vd 2 :

) 3 )(

1 (

2 2

2 ) 3 (

x x

x x

x























1 3 0

1 0 3

x x x

x

x x x x x

x x

x x

x

4 3

2 2 ) 3 ( ) 1 (

2 2





















0 6

2 2























) ( 3 0

0 ) 3 ( 2

loai x

x

x x

Vậy phương trình có nghiệm x

= 0

4 Giải bài tồn bằng cách lập phương trình :

a.Tóm tắt các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình :

B1 : Lập phương trình :

+ Chọn ẩn ,đặt điều kiện

+Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết

+Lập phương trình

B2 : Giải phương trình

B3 : Trả lời( đđối chiếu với điều kiện 1 để chọn nghiệm,trả lời).

b.Ví dụ :

Vd1 : Một người lái ơtơ dự định đi từ

A đến B với vận tốc 48km/h.Nhưng sau

khi đi được 1 giờ,ơ tơ bị tàu hỏa chặn

đường trong 10 phút.Do đĩ để đến B

đúng thời gian qui đã định,người đĩ phải

tăng vận tốc thêm 6km/h.Tính quảng

đường AB (đổi 10 phát = 16 giờ

A B C

Gọi x là quãng đường AB ĐK : x > 48

Thời gian dự định :48x h

Thời gian đi trên đoạn AB : 1 h

Thời gian đi trên đoạn BC : ( )

54

48

h

x 

Ta có : 1 61

54

48



x

x

120

72 432 ) 48 (

8

9















x

x

x

Vậy quãng dường AB : 120km

Vi dụ 2 :Tìm phân số biết mẫu số lớn hơn tử số 3 đơn vị và nếu tăng cả

tử số và mẫu số 2 đơn vị thì phân số mới bằng 21

Giải : Gọi tử số là x ( x > 0) Mẫu số : x+3

Tử mới : x+2 Mẫu mới : x+5 Theo đề bài ta có : 5

2





x

x

=12  2x +4 = x +5

 2x –x = 5-4  x = 1 (nhận) Vậy tử số là 1 mẫu số là 4 Phân

số ban đầu là 14

VD3 : Xe máy chạy từ A đến B.Sau

đó 1 giờ xe Ô tô cũng xuất pgat1 từ A đi

B với vận tốc lớn gơn vận tốc xe máy

20km/h.Cả 2 xe cùng đến B cùng một

lúc.Biết xe máy đi hết 3giờ 30

phút.Tính độ gài quảng đường AB.

Gọi x là vận tốc trung bình của xe

máy(x > 0) Đổi 3 giờ 30 p = 27 giờ

Vận tốc của ô tô :x+20

Thời gian ô tô đi từ A đến B :72 -1 =25

VD4 :Năm nay tuổi mẹ gấp 3 lần tuổi Phương.Phương tính rằng 13 năm nữa thì tuổi mẹ chỉ gấp 2 lần tuổi Phương thơi.Hỏi năm nay Phương bao nhiêu tuổi?

Giải:

Gọi x là tuổi của phương ( x>0) Tuổi mẹ là 3x

13 năm nữa :Tuổi phương là x+13,tuổi mẹ là 3x+13

Ta có :3x+13=2(x+13) x=13

Ta có :

) 20 (

2

5

2

7



x

7x=5x+100

2x=100

x=50 km/h

Quãng đường AB : 50 27 = 175km

Vậy tuổi của Phương : 13 tuổi

VD5 : Một số tự nhiên cĩ 2 chữ

số.Chữ số hàng đơn vị gấp 2 lần chữ số

hàng chục Nếu thêm chữ số 1 xen vào

giữa 2 chữ số ấy thì ta được số mới lớn

hơn chữ số ban đầu là 370.Tìm số ban

đầu.

Giải :

Gọi x là chữ số hàng chục( x > 0)

Chữ số hàng đơn vị :2x

 số ban đầu :10x+2x

Nếu thêm chữ số 1 vào giữa ta

được số mới :100x+10+2x =102x+10

Ta có : 12x+370 =102x+10

 90x=360  x= 4

Vậy số ban đầu là 48

VD6 : Một canơ xuơi dịng từ bến sơng A đến bến sơng B mất 4 giờ và ngược dịng từ B đến A mất 5 giờ.Tính khoảng cách giữa 2 bến A và B Biết rằng vận tốc của dịng nước là 2km/h Giải :

Gọi x( km/h) là vận tốc Cano lúc nước đứng yên (x > 0)

Vận tốc ca nô lúc xuôi dòng : x+2

Vận tốc ca nô khi đi ngược dòng : x-2

Ta có : 5(x-2) = 4(x+2)

 5x-4x = 8 +10 x = 18 Vậy quãng đường AB dài (18+2).4 =80 km(hoặc (18 -2).5= 80 km

Chương 4:Bất phương trình bậc nhất 1 ẩn

1.Bất phương trình bậc nhất 1 ẩn:

a.Định nghĩa:

Bất phương trình dạng ax+b < 0 ( hoặc ax+b > 0, ax+b  0, ax+b 

0) trong đó a và b là 2 số đã cho, a 0,được gọi là bất phương trình bậc

nhất một ẩn.

b Tập hợp tất cả các nghiệm của một bất phương trình được gọi là

tập nghiệm của bất phương trình

-Hai bất phương trình có cùng tập nghiệm là hai bất phương trình

tương đương

-Giải bất phương trình là tìm tập nghiệm của bất phương trình đó

Để giải bất pt ta dùng 2 quy tắc chuyển vế để biến đổi bất pt tương đương sau:

a) Quy tắc chuyển vế:

-Khi chuyển một hạng tử của bất phương trình từ vế này sang vế kia

ta phải đổi dấu hạng tử đó

Vd1 : x-5 <18

23

5 18











x

x

Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = x 23 hoặc S = x/ x 23

Vd2 : 3x > 2x+5

5

5 2

3











x

x x

Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = x 5 hoặc S = x/ x 5

b) Quy tắc nhân 2 v ế với một số :

-Khi nhân hai vế của bất phương trình với cùng một số khác 0,ta phải :

+ Giữ nguyên chiều bất phương trình nếu số đó dương

+ Đổi chiều bất phương trình nếu số đó âm

Vd3 : 0,5x < 3  0x,5x6.23.2 hoặc x < 03,5= 6 (chia 2 vế cho 0,5) Vậy bất phương trình có tập nghiệm

S= x/ x 6

4

1





x

12

) 4 (

3 ) 4 (

4

1

















x

x

Vậy bất phương trình có tập nghiệm

S= x/x  12

c.Biểu diễn nghiệm bất pt trên trục số

Vd1 : bpt cĩ tấp nghiệm S = x/ x 3

0 3

Vd2 : bpt cĩ tấp nghiệm S = x/ x 3

0 3 Vd3 : bpt cĩ tấp nghiệm S = x/ x 3 Vd4 : bpt cĩ tấp nghiệm S= x/x  3

0 3 -3 0

2.Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối:

a Nhắc lại định nghĩa giá trị tuyệt đối a = 







 ) 0 ( ) 0 (

a a a a

b.Cách giải: ta chia ra 2 trường hợp : Biểu thức trong dấu khơng âm ( 0) và âm ( <0) và giải thành 2 phương trình theo 2 điều kiện trên để chọn nghiệm.

Vd1 : a) Giải pt x 3 +1 = 2x-4 Giải

a)Nếu x-3 0  x  3

Ta cĩ (x-3)+ 1= 2x-4

 x-2x = -4 -1+3

 -x = -2

 x =2 ( loại)

b) a)Nếu x-3 0  x  3

Ta cĩ - (x-3)+ 1= 2x-4

 -x+3 +1 = 2x-4

 -x-2x = -4 -1-3

 -3 x =-8

 x =

3

8 ( nhận) Vậy pt cĩ nghiệm là S ={ 38}

Vd2 : Giải pt 3x =x+4 +khi 3x  0  x 0 ( 2 số cùng

dấu)

Ta cĩ 3x =x+4

 3x = x+4

2 4

2

4 3















x x

x

x

(nhận)

+khi 3x < 0  x 0 ( 2 số khác dấu)

1

4 4

4 3

4 3





























x x

x x

x x

( nhận) Vậy phương trình có tập nghiệm S =  1 ; 2

Vd3 : Giải 5x 4 =9-2x

+5x-4 0  x54

Ta cĩ 5x 4 =9-2x

+ 5x-4<0 x 

5 4

Ta cĩ 5x 4 =9-2x

 5x-4 = 9-2x

7

13

4 9

2

5













x

x

x

Nhận

 -(5x - 4) = 9-2x

x

x 4 9 2

5   





 -5x +2x = 9 -4

 -3x =5

 x =35 (nhận) Vậy phương trình có nghiệm S={ 3

5

; 7

13 

}

B PHẦN HÌNH HỌC

I.Chương 4 : TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG

1Định lý ta let trong tam giác:

a. Định nghĩa :

Hai đoạn thẳng AB và CD gọi là tỉ lệ với hai đoạn thẳng A’B’ và C’D’ nếu có tỉ lệ thức :

' '

' '

D C

B A CD

AB

 và A AB'B' C CD'D'

b.Đị nh ly Ta let: Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ

c Định ly Ta let đảo: Nếu 1 đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và nó định ra

trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đĩ song song với cạnh cịn lại của tam giác

c.H ệ qu ả : (th ường sử dụng hơn )Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam

giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành tam giác mới có ba cạnh tương ứng

tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho

*Chú ý :

-Hệ quả trên vẫn đúng trong trường hợp đường thẳng nằm ngoài tam giác và song song với một cạnh của tam giác

-ABC  MNPtheo tỉ lệ

b

a

thì MNP  ABCtheo tỉ lệ

a b

-ABC  MNPtheo tỉ lệ b a thì tỉ lệ 2 đường cao của 2 tam giác đĩ là b a

-ABC  MNPtheo tỉ lệ

b

a

thì tỉ lệ diện tích của 2 tam giác đĩ là (

b

a

)2

2 Tính chất đường phân giác của tam giác:

*Định lí : Trong tam giác ,đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai

đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy

D

E

GT ABC;DBC

AD là tia phân giác của góc A

KL DC DB AC AB

3 Tam giác đồng dạng:

a.Định nghĩa :Tam giác A’B’C’ gọi là đồng dạng với tam giácABC nếu

' ˆ ˆ

; ' ˆ ˆ

;

'

ˆ

CA

A C BC

C

B

AB

B

A' ' ' ' ' '





Kí hiệu A'B'C'  ABC

k CA

A C BC

C

B

AB

B

A





'

'

gọi là tỉ số đồng dạng

4 Các trường hợp đồng dạng của tam giác thường:

a. Định lí :Nếu ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng (c-c c)

ABC ; A'B'C'

GT A AB'B' B BC'C' A AC'C'

KL A'B'C'  ABC

b *Định lí :Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và hai

góc tạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau , thì hai tam giác đồng dạng ( c-g-c)

GT ABC ; A'B'C'

' ' ' ';Aˆ Aˆ'

AC

C A AB

B

A





KL A'B'C'  ABC

c Định lí : Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia

thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau (g – g)

GT ABC ; A'B'C'

Aˆ Aˆ' ;Bˆ Bˆ'

KL A'B'C'  ABC

a.Tam giác vuơng này cĩ 1gĩc nhọn bằng 1 gĩc nhọn tam giác vuơng kia thì 2 tam giác vuơng đĩ đồng dạng ( g –g)

b.Tam giác vuơng này cĩ 2 cạnh gĩc vuơng tỉ lệ với 2 cạnh gĩc vuơng kia thì 2 tam giác vuơng đĩ đồng dạng ( c-g-c)

c.Nếu cạnh huyền và cạnh gĩc vuơng này tỉ lệ với cạnh huyên và cạnh gĩc vuơng của tam giác kia thì 2 tam giác vuơng đĩ đồng dạng.( c-c-c)

6 Các bài tập ứng dụng:

E

D

M

A

Bài tập 17 trang 68 SGK Aùp dụng tính chất đường phân giác vào hai

AMB

 và AMC ta có :

MC

AM EC

EA

MB

AM

DB

DA



Mà MB=MC ( AM là trung tuyến của

)

ABC

 nên DB DA EC EA

Theo định lí Talet đảo :DE//BC

Bài 38 trang 79 SGK Giải ABC  EDC vì

E C D B C

Aˆ  ˆ ( đối đỉnh )

cm BC

DC

BC ED AB

cm EC EC

AC ED AB

gt soletrong D

B

75 , 1 4

) )(

( ˆ



















39/79 a)CM :OA.OD=OB.OC

H

K

O

Ta có : A OˆB D OˆC ( đối đỉnh )

OC OB OD OA OD

OB

OC

OA

OCD

OAB

soletrong C

D

O

O

B

A

.

) (

ˆ

ˆ

















b)CM :

CD

AB OK

OH



K

O

D

B

O

H ˆ  ˆ ( đối đỉnh )

) 1 (

) (

ˆ

ˆ

DK

BH

OK

OH

ODK OBH

soletrong K

D

O

O

B

H















Tương tự :OAH  OCK

CK

AH

OK

OH





) 2 (

CD

AB

OK

OH

CD

AB DK CK

BH AH DK

BH

CK

AH

















Bài 47 trang 84 SGK

Ta có : 52=42+32 Aùp dụng định lí Pytago đảo ta có :

ABC

 vuông tại A  BC = 5cm ; AC =

4 cm;AB = 2 cm

3

9 4 3 2 1

' ' '











k

k S

S

ABC

C B A

Mà A'B'C'  ABC

cm B

A AB

B A

9 ' ' 3 ' '









Tương tự :

cm C

A AC

C A

12 ' ' 3 ' '









cm B

C CB

B C

15 ' ' 3 ' '









Từ (1) và (2) suy ra

CD

AB OK

OH



Btap 60 trang 92 sgk

GT v ABC;Aˆ  90 0 ;Cˆ  30 0

BD : phân giác,AB=12,5 cm

KL a)  ?

CD

AD

b) C ABC;S ABC  ?

Vì ABC vuông ở A và 0

30

ˆ 

C

D

C

ABC



 là nửa tam giác đều có cạnh BC

và đường cao CA

BC

AB

2

1





Vì BD là đường phân giác của Bˆnên :

2

1 2

1 2

1











CD

AD BC

BC BC

BA

CD

AD

b)Ta có :BC=2AB=25cm

Aùp dụng định lí Pytago :

AC= BC2  AB2  21 , 65cm

Chu vi của tam giác ABC :

AB+AC+BC=21,65+12,5+25=59,15cm

Diện tích của tam giác :

2 3 , 135 5 , 12 65 , 21 2

1

.

2

1

cm AB

Bai 48 Trang 84 SGK

B

B'

A' C'

Gọi AB là chiều cao của cột điện Chiều cao thanh sắt A’B’=2,1 m Bóng của cột điện,thanh sắt lần lượt là

AC =4,5 ; A’C’ = 0,6m Trong cùng thời điểm các tia nắng song song và tạo với mặt đất các góc bằng nhau

cm AB

AC

C A AB

B A ABC C

B A

75 , 15

' ' ' ' '

' '















Chương IV : HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG-HÌNH CHỚP ĐỀU.

I Hình lăng trụ đứng:

1 Hình hộp chữ nhật:

a Đinh nghĩa: Hình hộp chữ nhật có 6 mặt là những hình chữ nhật

- Hình hộp chữ nhật có 8 đỉnh , 12 cạnh

-Hai mặt của hình hộp chữ nhật không có cạnh chung là hai mặt đối diện (hai mặt đáy )

-Hình lập phương là hình hộp chữ nhật có 6 mặt là những hình vuông

- Đường thẳng qua hai điểm của mặt phẳng thì nằm gọn trong mặt phẳng đó

b.Một số lưu ý về hình học khơng gian:

_ Trong không gian hai đường thẳng a và b _ Trong không gian hai đường thẳng a và b

gọi là song song với nhau nếu chúng nằm

trong cùng một mặt phẳng và không có

điểm chung

_ Với hai đường thẳng phân biệt a vàb

trong không gian , có thể :

+Cắt nhau

+Song song

+ không cùng nằm trong mặt phẳng nào

_ hai đường thẳng phân biệt cùng song

song với một đường thứ ba thì song song

với nhau

_ Trong không gian hai đường thẳng a và b

gọi là song song với nhau nếu chúng nằm

trong cùng một mặt phẳng và không có

điểm chung

_ Với hai đường thẳng phân biệt a vàb

trong không gian , có thể :

+Cắt nhau

+Song song

+ không cùng nằm trong mặt phẳng nào

_ hai đường thẳng phân biệt cùng song

song với một đường thứ ba thì song song

với nhau

gọi là song song với nhau nếu chúng nằm trong cùng một mặt phẳng và không có điểm chung

_ Với hai đường thẳng phân biệt a vàb trong không gian , có thể :

+Cắt nhau +Song song + không cùng nằm trong mặt phẳng nào _ hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thứ ba thì song song với nhau

c Thể tích cuả hình hộp chữ nhật

Thể tích cuả hình hộp chữ nhật là :

V=a.b.c

Với a,b,c là ba kích thước của hình hộp chữ nhật

Thể tích của hình lập phương :

V=a3

Vd:Tính V của hình lập phương, biết

Diện tích toàn phần bằng 216 cm2

Giải Diện tích mỗi mặt : 216:6=36 (cm2) Độ dài cạnh hình lập phương :

a= 36  6cm

Thể tích hình lập phương : V=63=216 cm3

ĐS :216 cm3

a Định nghĩa: Hình lăng trụ đứng ABCD.A1B1C1D1(như hình vẽ) cĩ

Đỉnh :A;B;C;D; A1 ;D1 ;C1 ;B1

Mặtbên: AA1B1B;AA1D1D;DD1C1C;BB1C1C

là những hình chữ nhật

Cạnh bên : AA1 ;BB1 ;CC1 ;DD1

Mặt đáy :ABCD; A1B1C1D1

D1

C1

B1

A1

C

D

A

B

-Hình hộp chữ nhật,hình lập phương cũng là những hình lăng trụ đứng

- Hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành được gọi là hình hộp đứng

*Chú ý :

-Các mặt bên của hình lăng trụ đứng khi vẽ trên mặt phẳng ta thường vẽ thành hình bình hành

a Diện tích xung quanh :

Sxq =2p.h

p:nửa chu vi đáy

h : chiều cao

*Diện tích xung quanh của hình lăng trụ đứng bằng chu vi đáy nhân chiều cao

b Diện tích toàn phần

* Diện tích toàn phần của hình lăng trụ đứng bằng tổng của diện tích xung quanh và diện tích hai đáy

Stp = Sxq +2Sđ

3 Thể tích hình lăng trụ đứng:

V= S.h

( S: diện tích đáy, h là chiều cao )

-Thể tích hình lăng trụ đứng bằng diện tích đáy nhân với chiều cao

II Hình chớp đều:

1.Hình chĩp:

Hình chóp S.ABCD như trên có đỉnh là S, đáy là tứ giác ABCD gọi là hình chóp tứ giác

S là đỉnh hình chĩp

SA,SB,SC,SD là các cạnh bên