ON THI 2011(03)

2 Độ dài đoạn thẳng AB bằng đồ dài uuurAB: Chú ý: Độ dài đoạn thẳng AB hay cịn gọi là khoảng cách giữa hai điểm A và B... Bước 3: Vậy hai vectơ uuur uuurAB AC không cùng , phương, nên ba

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN.

Hệ gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc được gọi là hệ trục toạ độ vuông góc Oxyz trong không gian z

r

k

ri O r

j y x

• O ( 0;0;0) gọi là góc toạ độ

• Các trục tọa độ:

• Ox : trục hoành

• Oy : trục tung

• Oz : trục cao

• Các mặt phẳng toạ độ:

• (Oxy), (Oyz), (Oxz) đôi một

vuông góc với nhau

• r r ri j k, , là các véctơ đơn vị lần lượt nằm trên các trục Ox, Oy, Oz

• ir = (1;0;0), rj = (0;1;0), kr = (0;0;1)

• ri = =rj kr = 1 và 2 2 2

1

i = j =k =

r r r

• ir r⊥ j, rj⊥kr, kr⊥ri

• i jrr = 0, r rj k = 0, k irr = 0

•   = r r,i j kr, r rj k,  = ir,   = k ir r, rj

CÁC TRƯỜNG HỢP ĐẶC BIỆT CẦN NHỚ

• M ∈Ox ⇔M(x;0;0)

• M ∈Oy ⇔M(0;y;0)

• M ∈Oz ⇔M(0;0;z)

• M ∈(Oxy) ⇔M(x;y;0)

• M ∈(Oyz) ⇔M(0;y;z)

• M ∈(Oxz) ⇔M(x;0;z)

• Tọa độ của điểm: O M x i y j z k uuuuur = + r r + r ⇔ ( ; ; ) M x y z

• Tọa độ của vectở: a a i a j a k r = 1 r + 2 r + 3 r ⇔ = a a a a r ( ; ; )1 2 3

CÁC TÍNH CHẤT CẦN NHỚ.

Cho ar=(x y z1 ; ; 1 1),br=(x y z2 ; ; 2 2) và số k tuỳ ý, ta có:

1 Tổng hai vectơ là một vectơ.

• a b r r + = ( x x y1+ 2; 1+ y z z2; 1+ 2)

2 Hiệu hai vectơ là một vectơ.

• a b r r − = ( x x y y z z1− 2; 1− 2; 1− 2)

3 Tích của vectơ với một số thực là một vectơ.

• k a k x y z.r= ( ; ; ) (= kx ky kz; ; )

Tài liệu Ơn thi tốt nghiệm THPT

4 Độ dài vectơ Bằng ( ) (2 ) (2 )2

hoành + tung + cao

= + +

r

5 Vectơ khơng cĩ tọa độ là:

• 0r=(0;0;0)

6 Hai vectơ bằng nhau: Tọa độ tương ứng bằng nhau.

•

1 2

1 2

1 2

=





= ⇔ =

 =



z z

7 Tích vơ hướng của hai vectơ: Bằng: hồnh.hồnh+tung.tung+cao.cao.

• a b x xr r = 1 2+ y y1 2 +z z1 2 a br⊥ ⇔r a br r = 0

8 Gĩc giữa hai vectơ: Bằng tích vơ hướng chia tích độ dài.

os a,

=

r r

r r

r ra b

a b

1 2 1 2 1 2

x x y y z z

=

CÁC CƠNG THỨC CẦN NHỚ

Trong hệ trục toạ độ Oxyz

Cho A( xA; yA; zA) , B( xB, yB, zB) Khi đĩ:

1) Tọa độ vectơ uuurAB là:

uuurAB=( x B −x y A; B −y z A; B −z A)

2) Độ dài đoạn thẳng AB bằng đồ dài uuurAB:

Chú ý: Độ dài đoạn thẳng AB hay cịn gọi là khoảng cách giữa hai điểm A và B.

3) Toạ độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là:

I

I

I

x

2

y

2

z

2

+

 =



 =





+

 =



⇒I x y z( I; ;I I)

4) Tọa độ trọng tâm của tam giác:

Cho ∆ABC với A(xA; yA; zA),B( xB, yB, zB), C( xC, yC, zC)

Khi đó toạ độ trọng tâm G của ∆ABC là: ( )

3

; ; 3

3

+ +

 =





+ +





+ +

 =



G

G

x x x x

y y y

z z z z

5) Tích có hướng và tính chất của tích có hướng:

Cho ar=(x y z1 ; ; 1 1),br=(x y z2 ; ; 2 2) Khi đó:

2 2 2 2 2 2

r r y z z x x y

a b

y z z x x y

• Hai vectơ ar, br cùng phương ⇔a br r,  =0r.

• Hai vectơ ar, br không cùng phương ⇔ a br r, ≠0r

• Ba vectơ a br r r, ,c đồng phẳng ⇔ a br r r, .c 0=

• Ba vectơ a br r r, ,c không đồng phẳng ⇔r r ra b, .c 0≠

6) Chứng minh hai vectơ cùng phương.

ách 1: • ar và br cùng phương ⇔ =ra k b.r

ách 2: • ar và br cùng phương 1 1 1

⇔ x = y = z

x y z với

( x ,y ,z2 2 3 ≠ 0)

• ar và br cùng phương 2 2 2

⇔ x = y = z

x y z với

(x ,y ,z1 1 1 ≠ 0)

3: • ar và br cùng phương ⇔ a,br r= 0r.

CÁC DẠNG BÀI TẬP CHỨNG MINH Vấn đề1: Chứng minh ba điểm thẳng hàng Ba điểm không thẳng hàng.

Dạng 1: Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng:

C B

A

Ba điểm A, B, C thẳng hàng uuur uuur

Để chứng minh ba điểm A,B,C thẳng hàng ta

thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tính ( )

; ;

; ;

=

=

uuur uuurAB

Tài liệu Ôn thi tốt nghiệm THPT

 

⇔uuur uuurAB AC=r.

Chú ý: Ba điểm A, B, C thẳng hàng

là ba điểm nằm trên 1 đường thẳng.

Bước 2: Tính uuur uuurAB AC,  = (0;0;0) =0r.

Bước 3: Kết luận hai vectơ uuur uuurAB AC, cùng phương, nên ba điểm A, B, C thẳng hàng

Dạng 2: Chứng minh ba điểm A, B, C KHÔNG thẳng hàng:

C B

A

Ba điểm A, B, C không thẳng hàng

⇔ hai vectơ uuur uuurAB AC, không cùng

phương ⇔uuur uuurAB AC, ≠0r

Để chứng minh ba điểm A,B,C KHÔNG thẳng

hàng ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tính ( )

; ;

; ;

=

=

uuur uuurAB

Bước 2: Tính uuur uuurAB AC,  = ( ; ; ) ≠0r.

Bước 3: Vậy hai vectơ uuur uuurAB AC không cùng , phương, nên ba điểm A, B, C không thẳng hàng

Chú ý: Ba điểm không thẳng hàng chính là ba đỉnh của một tam giác.

Vấn đề 2: Chứng minh bốn điểm đồng phẳng, bốn điểm không đồng phẳng.

Dạng 1: Chứng minh bốn điểm A, B, C, D KHÔNG đồng phẳng.

D

A

Bốn điểm A, B, C, D không đồng

phẳng

⇔ uuur uuur uuurAB AC AD, , đồng phẳng

⇔ uuur uuur uuurAB AC AD,  =0.

Để chứng minh bốn điểm A,B,C, D không đồng

phẳng ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tính

; ;

; ;

; ;

=

=

=

uuur uuur uuur

AB AC AD

Bước 2: Tính , ( ; ; )

, 0

  =

 

  = ≠

 

uuur uuur uuur uuur uuur

AB AC

Bước 3: Vậy ba vectơ uuur uuur uuurAB AC AD không đồng , , phẳng, nên bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng

Chú ý:

• A, B, C, D không đồng phẳng khi đó A, B, C, D là bốn đỉnh của 1 tứ diện ABCD.

• Vậy để chứng minh bốn điểm A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện ta đi chứng minh bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng

Dạng 3: Chứng minh bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng.

D

C

B A

Bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng

⇔ uuur uuur uuurAB AC AD, , đồng phẳng

⇔ uuur uuur uuurAB AC AD,  =0

Chú ý: Bốn điểm A, B, C, D đồng

phẳng là bốn điểm thuộc một mp.

Để chứng minh bốn điểm A,B,C, D đồng phẳng

ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tính

; ;

; ;

; ;

=

=

=

uuur uuur uuur

AB AC AD

Bước 2: Tính , ( ; ; )

  =

 

  =

 

uuur uuur uuur uuur uuur

AB AC

Bước 3: Vậy ba vectơ uuur uuur uuurAB AC AD đồng phẳng, , , nên bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng

Vấn đề 3: Hình chiếu vuông góc.

Hình chiếu vuông góc lên trục tọa độ Hình chiếu vuông góc lên mp tọa độ

1 Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của

điểm M(x 0 ;y 0 ;z 0 ) trên các trục tọa độ.

Phương pháp

• Hình chiếu vuông góc của điểm

M(x0;y0;z0) trên trục Ox là: M(x0;0;0)

• Hình chiếu vuông góc của điểm

M(x0;y0;z0) trên trục Oy là: M(0;y0;0)

• Hình chiếu vuông góc của điểm

M(x0;y0;z0) trên trục Oz là: M(0;0;z0)

2 Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M(x 0 ;y 0 ;z 0 ) trên các phẳng tọa độ.

Phương pháp

• Hình chiếu vuông góc của điểm M(x0;y0;z0) trên (Oxy) là: M(x0;y0;0)

• Hình chiếu vuông góc của điểm M(x0;y0;z0) trên (Oyz) là: M(0;y0;z0)

• Hình chiếu vuông góc của điểm M(x0;y0;z0) trên (Oxz) là: M(x0;0;z0)

Vấn đề 4: Thể tích khối tứ diện.

Thể tích của khối tứ diện ABCD

A

 

 

uuur uuur uuur

1

6

D

B

Bước 1: Tính

; ;

; ;

; ;

=

=

=

uuur uuur uuur

AB AC AD

Bước 2: Tính , ( ; ; )

,

  =

 

  =

 

uuur uuur uuur uuur uuur

AB AC

AB AC AD

Tài liệu Ôn thi tốt nghiệm THPT C

Bước 3: V = 1 AB, AC ADuuur uuur uuur

6

Chú ý: Thể tích không âm.

Vấn đề 5: Diện tích tam giác.

Diện tích tam giác ABC

S∆ABC= 1   AB , AC  

2

uuur uuur

A

B C

Chú ý: Diện tích không âm.

Bước 1: Tính ( )

; ;

; ;

=

=

uuur uuurAB

Bước 2: Tính uuur uuurAB AC,  = ( ; ; ) .

Bước 3: Tính AB ,ACuuur uuur = h2 + + t2 c2 .

Bước 4: ADCT S∆ABC = 1   AB , AC  

2

uuur uuur

MẶT CẦU

Vấn đề 1: Xác định tâm và bán kính mặt cầu.

Mặt cầu (S): ( ) (2 ) (2 )2 2

x a − + − y b + − z c = r

Có tâm I(a;b;c) và bán kính r

Mặt cầu (S): x 2 + y 2 + − z 2 2ax-2by-2cz+d=0

Có tâm I(a;b;c) với

he äsoá x a

-2

he äsoá y b

-2

he äsoá z c

-2

 =





 =





 =



Bán kính: r = a 2 + + − b 2 c d 2

Vấn đề 2: Lập phương trình mặt cầu.

Dạng 1: Lập phương trình mặt cầu dạng ( ) (2 ) (2 )2 2

x a − + − y b + − z c = r

Loại 1: Mặt cầu có tâm I(a;b;c) và bán kính r=m (với m là số thực).

Phương pháp:

• Pt mặt cầu (S): ( ) (2 ) (2 )2 2

x a − + − y b + − z c = r (*)

• Mặt cầu có tâm I(a;b;c), bán kính r=m

• Thế tâm I và bán kính r vào pt (*)

Loại 2: Mặt cầu có tâm I(a;b;c) và đường kính bằng n (với n là số thực).

Phương pháp:

• Pt mặt cầu (S): ( ) (2 ) (2 )2 2

x a − + − y b + − z c = r (*)

• Mặt cầu có tâm I(a;b;c), bán kính r=n

2 .

• Thế tâm I và bán kính r vào pt (*).

Loại 3: Mặt cầu cĩ tâm I(a;b;c) và đi qua điểm A.

Phương pháp:

• Pt mặt cầu (S): ( ) (2 ) (2 )2 2

x a − + − y b + − z c = r (*)

• Mặt cầu cĩ tâm I(a;b;c)

• Bán kính r=IA IA = uur.

• Thế tâm I và bán kính r vào pt (*)

Chú ý: Điểm A thuộc mặt cầu nên khoảng cách từ A đến tâm bằng với bán kính r hay độ dài đoạn thẳng IA bằng với bán kính r.

Loại 4: Mặt cầu cĩ đường kính AB.

Phương pháp:

• Pt mặt cầu (S): ( ) (2 ) (2 )2 2

x a − + − y b + − z c = r (*)

• Gọi I trung điểm AB⇒ I ; ; ( )

• Mặt cầu cĩ tâm I(a;b;c)

• Bán kính r=IA IA = uur.

• Thế tâm I và bán kính r vào pt (*)

Chú ý:

 Đường kính là AB nên A và B thuộc mặt cầu nên IA=IB là bán kính.

 Ta cĩ thể tính r theo 2 cách sau: r=IB IB = uur hoặc r=AB AB

2 = 2

uuur

Loại 5: Mặt cầu cĩ tâm I(a;b;c) và tiếp xúc mp (P): Ax+By+Cz+D=0.

Phương pháp:

• Pt mặt cầu (S): ( ) (2 ) (2 )2 2

x a − + − y b + − z c = r (*)

• Mặt cầu cĩ tâm I(a;b;c)

• Do mặt cầu tiếp xúc mp(P) nên: ( ) 0 0 0

Ax By Cz D

r d I,(P)

+ + +

+ +

• Thế tâm I và bán kính r vào pt (*)

Dạng 2: Lập phương trình mặt cầu dạng: x 2 + y 2 + − z 2 2ax-2by-2cz+d=0.

Loại 1: Lập phương trình mặt cầu qua bốn điểm A, B, C, D.

Phướng pháp.

• Pt mặt cầu (S) cĩ dạng: x2 + y2 + − z2 2ax-2by-2cz+d=0(*)

• Vì A, B, C, D thuộc (S):

thế tọa độ điểm A vào pt (*).

thế tọa độ điểm B vào pt (*).

thế tọa độ điểm C vào pt (*)

thế tọa độ điểm D vào pt (*)







⇔ 





Tài liệu Ơn thi tốt nghiệm THPT

• Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế, ta tìm được a, b, c, d Sau đĩ thế a, ,b , c, d vào pt (*).

Chú ý: Đề bài cĩ thể hỏi thêm xác định tâm, tính bán kính, tính diện tích xung quanh

và thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chĩp.\

Loại 2: Lập phương trình mặt cầu qua ba điểm A, B, C và cĩ tâm thuộc

mp (P): Ax+By+Cz+D=0.

Phướng pháp.

• Pt mặt cầu (S) cĩ dạng: x 2 + y 2 + − z 2 2ax-2by-2cz+d=0(*)

• Vì A, B, C thuộc (S):

thế tọa độ điểm A vào pt (*).

thế tọa độ điểm B vào pt (*).

thế tọa độ điểm C vào pt (*)





⇔ 





• Vì tâm I(a;b;c) thuộc (P) nên thế tọa độ a;b;c vào pt của (P) ta được phương trình thứ

tư Ta giải hệ bốn pt, ta tìm được a,b,c,d

VẤN ĐỀ 3: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Dạng 1: Viết pt mp biết điểm thuộc mp và vectơ pháp tuyến.

Loại 1: Mặt phẳng (P) qua điểm M x ;y ;z( 0 0 0) và cĩ

vectơ pháp tuyến nr=(A;B;C).

Phương pháp:

• Mặt phẳng (P) qua điểm M x ;y ;z( 0 0 0).

• Mặt phẳng (P) cĩ VTPT nr=(A;B;C)

• Ptmp (P): A x x( − 0) + B y y( − 0)+ C z z( − 0) = 0.

Loại 2: Mặt phẳng (P) qua điểm M x ;y ;z( 0 0 0) và

song song hoặc chứa giá của hai vectơ a , br r.

Phương pháp:

• Mặt phẳng (P) qua điểm M x ;y ;z( 0 0 0).

• Hai vectơ cĩ giá song song hoặc nằm trên

mp(P) là a= , br ( ) r=( )

• Mặt phẳng (P) cĩ VTPT nr=    a,br r

• Ptmp(P): A x x( − 0) + B y y( − 0)+ C z z( − 0) = 0.

M

n r

P)

a r

b r n r =    a b r r , 

Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm

M và vuông góc với đường thẳng d.

Phương pháp:

• Mặt phẳng (P) đi qua M

• Mặt phẳng (P) có VTPT: nuur uurP = a d =(a ;a ;a 1 2 3)

• Ptmp(P): A x x( − 0) + B y y( − 0)+ C z z( − 0) = 0

Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm

A, B, C.

Phương pháp:

• Mặt phẳng (P) đi qua A

• Mặt phẳng (P) có VTPT: n =   AB,AC  

r uuur uuur

• Pt(P): A x x( − 0) + B y y( − 0) + C z z( − 0) = 0

Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai

điểm A, B và vuông góc với mp(Q).

Phương pháp:

• Mặt phẳng (P) qua điểm A

• Hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên

mp(P) là: AB nuuur= uurQ =

• Nên mp(P) có VTPT: n =   AB,n Q  

r uuur uur

• Ptmp(P): A x x( − 0) + B y y( − 0)+ C z z( − 0) = 0

Dạng 6:

 Viết phưong trình mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng d và d’.

 Viết phưong trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d song song với đường thẳng d’.

Phương pháp:

• Mặt phẳng (P) qua điểm M d ∈

Dạng 2: Viết phương trình mp (P) đi qua điểm M và

song song với mp(Q).

Phương pháp:

• Do mp(P) song song mp(Q) nên pt có dạng:

Ax+By+Cz+m=0, với m D ≠ .

• Vì M thuộc mp(P) nên thế tọa độ của M và

pt (P) ta tìm được m

Chú ý: Hai mp song song cùng vectơ pháp tuyến.

P)

Q)

M

Q

n

uur

M

uu r

d

a d

,

n=  AB AC 

r uuur uuur

B

Q

n

uur

P)

Q) A

Tài liệu Ôn thi tốt nghiệm THPT

• Hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên mp(P) là: auurd = auurd' =

• Mp(P) có VTPT: n =   a ,a d d'  

r uur uur

• Ptmp(P): A x x( − 0) + B y y( − 0)+ C z z( − 0) = 0

Dạng 7: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa điểm A

và đường thẳng d.

Phương pháp:

• Chọn điểm M thuộc đt d

• Mặt phẳng (P) qua điểm A

• Hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên mp(P) là:

d

AM auuuur= uur=

• Nên mp(P) có VTPT: n =   AM,a d  

r uuuur uur

• Ptmp(P): A x x( − 0) + B y y( − 0)+ C z z( − 0) = 0

Dạng 8: Viết phương trình mặt phẳng (P) là mp trung

trực của đoạn thẳng AB.

Phương pháp:

• Gọi I là trung điểm AB⇒ I =( )

• Mặt phẳng (P) qua điểm I

• Mặt phẳng (P) có VTPT n ABr=uuur

• Ptmp (P): A x x( − 0) + B y y( − 0)+ C z z( − 0) = 0.

Dạng 9: Viết phương trình mp (P) đi qua điểm M và vuông góc với hai mp (Q) và (R) Phương pháp:

• Mặt phẳng (P) qua điểm M

• Hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên mp(P) là: nuurQ = ,nuurR =

• Nên mp(P) có VTPT: n =   n ,n Q R  

r uur uur

• Ptmp(P): A x x( − 0) + B y y( − 0)+ C z z( − 0) = 0

Vấn đề 4: Lập phương trình tiếp diện của mặt cầu (S):

Dạng 1: Lập phương trình mp(P) tiếp xúc mặt cầu (S) tại điểm A.

Phương pháp:

• Xác định tâm I của mc(S)

• Mặt phẳng (P) qua điểm A

• Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến n IAr uur=

• Ptmp(P): A x x( − 0) + B y y( − 0)+ C z z( − 0) = 0

P)

A I B

Dạng 2: Viết pt mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến n =(m;n;p) và tiếp xúc mặt cầu (S) Phương pháp:

• Trước tiên: Ta xác định tâm I và bán kính r của mặt cầu.

• Ptmp(P) có dạng: Ax+By+Cz+D=0

Vì mp(P) có VTPT nr=(m;n;p) ⇒mx ny pz+ + + =D 0.

• Do mp(P) tiếp xúc mc(S)⇔ d I; P( ( ) ) = r

Chú ý: A B

A B

=



= ⇔  = − .

Chú ý: Các kết quả thường dùng:

1 d ⊥( )P ⇔ auur uurd =n P

2 d // ( )P ⇔ auurd ⊥uurn P

d ⊂ ( )P ⇔ uura d ⊥nuurP

3 d ⊥ ∆ ⇔ uura d ⊥auur∆

4 d //∆ ⇔ uur uura d =a∆

5 ( )P ⊥( )Q ⇔ nuurP ⊥ nuurQ

6 ( ) //( )P Q ⇔ nuur uurP =n Q

Điều kiện tiếp xúc:

Mặt phẳng (P) tiếp xúc mặt cầu (S)

⇔ d I P ( ,( )) = r

với I là tâm mặt cầu (S)

r là bán kín mặt cầu (S)

Điều kiện tiếp xúc:

Đường thẳng d tiếp xúc mặt cầu (S)

( , )

⇔ d I d = r

với I là tâm mặt cầu (S)

r là bán kín mặt cầu (S)

Vấn đề 5: Khoảng cách:

Dạng 1: Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng:

Khoảng cách từ điểm M(x0;y0;z0) đến mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 là

0 0 0

A

d M P

=

Dạng 2(nâng cao): Khoảng cách từ một điểm M đến một đường thẳng d:

• Xác định điểm M0 thuộc d và vtcp ar của d

• Tính:

0

0

0

,







=



uuuuur uuuuur r uuuuur r r

M M

M M a

M M a a

• ADCT:

r = d(I,(P))

I

P)

0 , ( , )    

∆ =

uuuuur r r

M M a

d M

a

Tài liệu Ôn thi tốt nghiệm THPT

Dạng 3(nâng cao): Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ∆ 1 và ∆ 2 :

• Trước tiên ta xác định:

∆ 1 có vtcp aur1 và đi qua điểm M1

∆ 2 có vtcp auur2 và đi qua điểm M2

d(∆ 1;∆ 2) = 1 2 1 2

1 2

, ,

a a M M

a a

ur uur uuuuuur

ur uur

Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm A,B.

Phương pháp:

• Đường thẳng d đi qua điểm A

• Đường thẳng d có VTCP: a ABr uuur=

• Pt tham số:

0 0 0

= +



 = +



 = +



Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M và song song với đường thẳng d’.

Phương pháp:

• Đường thẳng d đi qua điểm M

• Đường thẳng d có VTCP: auur uurd =ad'

• Pt tham số:

0 0 0

= +



 = +



 = +



Chú ý: Hai đường thẳng song song cùng vectơ chỉ phương.

Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M và vuông góc với mp(P).

Phương pháp:

• Đường thẳng d đi qua điểm M

• Đường thẳng d có VTCP: auur uurd = nP

• Pt tham số:

0 0 0

= +



 = +



 = +



Chú ý: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng nhận VTPT của mặt phẳng làm VTCP VẤN ĐỀ 7: TÌM GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG