De thi chon hsg

b Tìm số tự nhiên a biết rằng trong ba mệnh đề P,Q,R dưới đây có hai mệnh đề đúng và một mệnh đề sai : 1.. Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác đó tiếp xúc với AB, BC ở D, E.. Gọi M, N th

PHÒNG GD-ĐT

NGHĨA ĐÀN

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HSG TỈNH

NĂM HỌC 2010-2011 MÔN : TOÁN ( Thời gian 150 phút )

Câu 1: ( 4 đểm)

a) Cho P(x) = a x3 + b.x2 + c.x + d , với a ∈ Z*

Biết P(2009) = 2010 ; P(2010) = 2011 Chứng minh rằng : P(2011) – P(2008) là hợp số b) Tìm số tự nhiên a biết rằng trong ba mệnh đề P,Q,R dưới đây có hai mệnh đề đúng

và một mệnh đề sai :

1 P : “ a +21 là số chính phương ”

2 Q : “ Chữ số tận cùng của a là 1”

3 R : “ a – 58 là số chính phương ”

Câu 2: ( 4 điểm)

a) Giải phương trình : x2 + 4x - 4 4x + 13 1 =

b) Giải hệ phương trình sau:

2 2

2 2

2 2

z = 4 1

x z x

y z yz







Câu 3 : ( 3 điểm) Cho x , y > 0 và x + y ≥ 6 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P 3x2 2y2 5xy +8x 6y 14

y x

Câu 4: ( 4 điểm)

Cho tam giác ABC (AC>AB) Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác đó tiếp xúc với AB, BC

ở D, E Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AC, BC Gọi K là giao điểm của MN và AI Chứng minh rằng:

a) Bốn điểm I, E, K, C cùng thuộc một đường tròn

b) Ba điểm D, E, K thẳng hàng

Câu 5 : ( 5 điểm)

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R=2cm, có góc BAC = 600 , đường cao AH = 3cm

a Tính diện tích tam giác ABC

b Gọi P là điểm tùy ý trên cung nhỏ BC và M, N lần lượt là điểm đối xứng của P qua các đường thẳng AB và AC Xác định vị trí của điểm P sao cho độ dài MN đạt giá trị lớn nhất Tính độ dài lớn nhất đó

.Hết

PHÒNG GD&ĐT

NGHĨA ĐÀN

KÌ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN TỈNH LỚP 9 THCS

NĂM HỌC 2010 – 2011

HƯỚNG DẪN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM

Câu

Ý

câu ĐÁP ÁN

Biểu điểm

1

(4đ)

a

(2đ)

Ta có : P(2009) = 20093.a + 20092.b + 2009.c + d = 2010 P(2010) = 20103 a + 20102 b +2010.c +d = 2011 Nên P(2010) – P(2009) = (20103 – 20093).a + (20102 – 20092).b + c = (20103 – 20093).a + 4019.b +c = 1

0,5

Do [(20103 – 20093).a] nguyên nên [4019.b +c] cũng nguyên

0,25

⇒ P(2011) – P(2008) = (20113 – 20083).a +(20112 – 20082).b + 3c = (20113 – 20083).a +3.(4019.b+c)

0,5

Do (20113 – 20083) chia hết cho 3 và [4019.b +c] nguyên nên [3(4019.b +c)]

chia hết cho 3, suy ra [ P(2011) – P(2008)] chia hết cho 3

0,5

Vì [ P(2011) – P(2008)] ≠ 3 nên [ P(2011) – P(2008)] là hợp số 0,25

b

(2đ)

Hai mệnh đề P và Q không thể cùng đúng vì nếu ngược lại thì a có chữ số tận cùng là 1 , nên a + 21có chữ số tận cùng là 2 Vì thế a + 21 không thể là

số chính phương

0,5 Tương tự hai mệnh đề Q và R không thể cùng đúng.Do đó mệnh đề Q sai

và các mệnh đề P và R là đúng

0,25 Theo giả thiết, ta có m, n ∈ N sao cho

2 2

21 58

 + =



 − =



Suy ra m2 – n2 = 79 hay (m + n)(m – n) = 79

0,5

Vì 79 là số nguyên tố , nên 79 40

 − =  =

Vậy số cần tìm là a = 402 – 21 = 1579

0,25 Giải phương trình : x2 + 4x-4 4x+13 1 = (1)

ĐKXĐ: x 13

4

−

≥

0,25

Từ ( 1) ⇔ x2 + 4x 4 4x+13) 1 = + 0,25

(4đ) (1,75đ) ⇒ x2+4x > 0⇔ x (x+4) > 0 ⇔x > 0 hoặc x < -4

Kết hợp ĐKXĐ suy ra : x > 0

(1) ⇔ x2 + 4x 4(-2+ 4x+13) 9 = + (*) Đặt y= − + 2 4x+13 ( y > 0 ) suy ra (y+ 2) 2 = 4x+13 ⇔y2 +4y – 9 = 4x (2)

0,25

Từ (*) và (2) ta có hệ phương trình

2 2

4x - 9 = 4y

y 4 9 4x

x y

 +



 + − =

Trừ vế ta được (x – y)[(x+y) + 8] = 0 ⇔x = y hoặc x + y + 8 = 0(*) 0,25 + Với x = y ⇒ x2 + 4x – 9 = 4x ⇔x2 = 9 ⇔x = 3 hoặc x = -3 (loại)

0,25 + Với x + y + 8 = 0 do x > 0 và y > 0 suy ra x + y +8 >0 ⇒(*) vô nghiệm

Vậy phương trình có nghiệm x = 3

0,25

Giải hệ phương trình sau:

2 2

2 2

2 2

z = 4(2) 1(3)

x z x

y z yz







Trừ vế theo vế PT (1) cho PT (2) , ta được

y2 – z2 +xy – xz = 3 ⇔(y – z)(x + y + z) = 3 (4)

Trừ vế theo vế PT(2) cho PT(3) , ta được

x2 – y2 + xz – yz = 3 ⇔(x – y)(x + y + z) = 3 (5)

0,25

Từ (4) và (5) ⇒ (y – z)(x + y + z) = (x – y)(x + y + z)

0,25 Theo (4) thì (x + y+ z) ≠0 ⇒ y – z = x – y ⇔x + z = 2y ⇔x+ y + z = 3y(*) 0,25

Thay vào (5) ta có:

(x – y)(x + y + z) = 3 ⇔(x – y).3y = 3 ⇔(x – y).y = 1(**) 0,25

*Với y = 0 hệ PT vô nghiệm ⇒ y ≠ 0 Vậy từ (**)⇒ x y 1

y

= +

0,25 Thay x y 1

y

= + vào (1) ta có:

(y ) y (y ).y 7

+ + + + = ⇔3y4 –4 y2 +1 = 0 ⇔y2 = 1 hoặc y2 = 1

3

⇒ y = ±1 hoặc y = 3

3

±

0,25

• Với y = 1⇒ x = 2, thay vào (*) ⇒ z = 0 với (x, y, z) = ( 2, 1, 0)

• Với y = -1 ⇒ x = -2, thay vào (*) ⇒ z = 0 Với (x ,y, z) = ( -2,-1, 0)

• Với y = 3

3 ⇒x = 4 3

3 , thay vào (*) ⇒z = 2 3

3

−

0,25

2

• Với y = - 3

3 ⇒x =-4 3

3 ,thay vào (*) ⇒z = 2 3

3

Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm : (1, 2, 0),(-1, -2, 0),( 3

3 ,4 3

3 , 2 3

3

− ) , ( 3

3 ,4 3

3 , 2 3

3 )

0,25

3

2 2 8x 6

P x y

y x

x

x y

y

0,5

Ta có :3x+2y+6 8 3x 3x 3 6 8

y y

3 2.3 2.2 6 19

2

y

y

0,5 0,5

0,5

0,25 Suy ra P ≥ ( x +y).19 ≥ 6.19 = 114 0,25

Vậy giá trị nhỏ nhất của P = 114 khi

6 3x 6 2

8 2

x y

x y

y



 + =







 =





⇔x = 2 và y = 4 0,5

4

(4đ)

a

(2,5đ)

Vẽ hình đúng

0,5

Ta có : MA = MC, NB = NC (gt) suy ra MN là đường trung bình của

Suy ra NM // AB ¶ µ ¶

K A A KM AM MC

⇒ = = ⇒ = = , Suy ra ·AKC= 90 0, 1,0 laị có IEC· = 90 0 ⇒I, E, K, C thuộc đường tròn có đường kính IC 0,5

b

(1,5đ)Từ câu a suy ra: · · ¶ µ

0

2 1 90

CEK CIK= = A +C = + = − (1)

0,5 Mặt khác , D cân BED 90· 0 µ · D 900 µ

0,5

Từ (1) và (2) suy ra CEK CE · + · D 180 = 0,do đó D, E, K thẳng hàng 0,5

5

(5đ)

Vẽ hình đúng

0,5

a

(2đ)

Goị M là trung điểm của BC ta có : MOC BAC· =· = 60 0

( theo tính chất đường kính và dây với tính chất góc ở tâm ) 0,5

Do OC = R = 2 nên MC = OC Sin 600 = 3 0,5

Vì vậy S∆ABC= 1

2AH BC = 3 3

0,5

b

(2,5đ)

Ta có : AK = AN ( = AP ) ⇒ ∆AKN cân tại A 0,25 Lại có : KAN· =2.(BAP PAC· +· ) 2.60= 0 =1200 0,25

⇒ KN lớn nhất khi AK lớn nhất ( Do KN là cạnh đáy của một tam giác cân

Mà AK = AP ≤ 2R ⇒ KN lớn nhất khi và chỉ khi AP = 2R = 4 hay AP là

⇒ ·ABP ACP= · ⇒ B,C lần lượt là trung điểm của PK và PN 0,5

⇒ BC là đường trung bình của tam giác PKN ⇒ KN = 2 BC = 4 3 0,5

ưu ý : Học sinh làm cách khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa