Trường THCS Huy Nam Yờn- Cẩm Xuyờn Hà TĩnhChuyên đề: Một số dạng toán về đa thức bậc hai hai biến Và các bài toán liên quan.. A- Đặt vấn đề: - Trong các kỳ thi HSG, thi tuyển sinh vào
Trang 1Trường THCS Huy Nam Yờn- Cẩm Xuyờn Hà Tĩnh
Chuyên đề:
Một số dạng toán về đa thức bậc hai hai biến
Và các bài toán liên quan
A- Đặt vấn đề:
- Trong các kỳ thi HSG, thi tuyển sinh vào lớp 10, thi vào các trờng chuyên, lớp chọn chúng ta thờng gặp các dạng toán về đa thức bậc hai hai biến
Qua tìm hiểu tôi thấy số lợng HS làm đợc các dạng bài tập này không nhiều, một số làm
đợc nhng lập luận không chặt chẻ và thờng gặp phải một số sai sót đáng tiếc
Vì lẻ đó, là một GV dạy toán đợc giao nhiệm vụ bồi dỡng đội tuyển HSG lớp 8- Lớp cận
kề để chuẩn bị cho các em bớc vào nhiều kỳ thi quan trọng- tôi đã học hỏi, tích lũy nhiều
điều và trong đó phân dạng các bài tập để từ đó xây dựng phơng pháp giải cho từng dạng
Trong bài viết này tôi muốn chia sẻ cùng đồng nghiệp: Một số dạng toán về đa thức“ Một số dạng toán về đa thức
bậc hai hai biến và các bài toán liên quan ” mà ta thờng gặp trong các kỳ thi tuyển sinh
vào lớp 10, vào trờng chuyên lớp chọn
B- Nội dung:
Xét đa thức bậc hai hai biến dạng tổng quát: f(x;y) = ax2 + by2 + cxy + dx + ey + h ta thờng gặp một số dạng sau đây
- Dạng 1: Tìm GTLN, tìm GTNN của f(x;y) hoặc tìm cực trị của một biểu thức nàođó có giá trị liên quan đến đa thức f(x;y)
- Dạng 2: Tìm nghiệm nguyên của đa thức f(x;y)
- Dạng 3: Giải hệ phơng trình trong đó một hoặc 2 phơng trình của hệ là đa thức f(x;y)
- Dạng 4: Biến đổi đồng nhất biểu thức
Để giải quyết đợc các dạng trên ta cần cho HS nắm vững các hằng đẳng thức:
( a + b + c)2 = a2 + b2 + c2+ 2( ab + bc + ac); ( a + b - c)2 = a2 + b2 + c2+ 2( ab + bc - ac)
- Sau đây xin đi vào từng ví dụ cụ thể và phơng pháp giải một số dạng đã nêu:
Dạng 1: Tìm GTLN, GTNN: Phơng pháp giải:
Cách1:
Đối với dạng này ta thờng biến đổi đa thức f(x;y) thành tổng các số không âm hoặc tổng các số không dơng và một hằng số, tức là:
f(x;y) = [g(x;y)]2 + k hoặc f(x;y) = - [g(x;y)]2 + m
Cách2:
Sử dụng tính chất có nghiệm của tam thức bậc 2 để đánh giá ẩn
Ví dụ 1: Tìm GTNN của biểu thức A = x2 + y2 +xy - 6x - 6y + 2011
Giải Biến đổi A = x2 + 2x
2
y
+
2
4
y - 2x3 3 9 3 2 3 3
2 2 2 4 4 2 4
= ( 3
2 2
y
x )2 +3
4( y- 1)
2+ 2008 2008
2 2
y
x )2
0 ; 3
4( y- 1)
2
0 Dấu “ Một số dạng toán về đa thức =” xảy ra
3 0
2 2
1 0
y x y
1
1
x y
Vậy minA = 2008 x= y= 1
Lu ý: Trong bài toán trên, HS có thể găp sai sót nh sau:
Biến đổi 2A = 2x2 +2y2 +2xy – 6x – 6y +4022
= ( x2 + 2xy +y2) + ( x2 - 6x + 9) + ( y2 -6x + 9) + 4004
= ( x + y)2 + ( x - 3)2 + ( y - 3)2 + 4004 4004 (1)
Tuy nhiên dấu “ Một số dạng toán về đa thức =” ở (1) không xảy ra vì ( x + y)2 + ( x - 3)2 + ( y - 3)2 0
Trang 2Trường THCS Huy Nam Yờn- Cẩm Xuyờn Hà Tĩnh
Ví dụ 2:Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
B = - x2 + 2xy - 4y2 + 2x + 10y - 3
Giải
B = - ( x2 - 2xy + y2- 2x + 2y +1) -3(y2- 4y +4) +10
= - (x – y- 1)2- 3(y- 2)2+ 10 10
Vì - (x – y- 1)2 0 ; - 3(y- 2)2 0, nên dấu “ Một số dạng toán về đa thức =” xảy ra 1 0
2 0
x y y
2
x y
Vậy MaxB = 10 3
2
x y
Chú ý: Ta củng có thể xét biểu thức: - B = x2 - 2xy + 4y2 - 2x - 10y + 3
= (x - y- 1)2+3(y- 2)2- 10 - 10 B 10
Trên cơ sở đó bằng cách vụ tỷ hóa ta củng có thể làm đợc bài tập sau :
BT:Tìm Min A = x +5y - 4 xy 2 x 3 y 5
B = x +2y - 4xy 2 x 10 y
Ví dụ 3: (Đề thi TS vào lớp 10 năm học 2008 - 2009 Tỉnh Hà Tĩnh)
Cho các số thực x, y thõa mãn x2 + 2y2 + 2xy + 8( x + y) +7 =0 (2)
Tìm min, Max của S = x + y
Giải
Cách 1: Ta tìm cách biến đổi giả thiết (2) làm xuất hiện tổng x+ y.
Từ (2) (x +y)2 + 2(x+y).4 +16 +y2 =9
(x +y + 4)2 +y 2 = 9 (*)
Vì y2 0 nên dấu “ Một số dạng toán về đa thức =” ở (*) xảy ra (x +y + 4)2 9
-3 x+ y+ 4 3 -7 x+ y -1
Vậy Max S = -1 4 3
0
x y y
0
x y
Cách 2: Ta có thể giải theo điều kiện có nghiệm của phơng trình bậc 2:
Từ S= x+y=> y=S-x thay vào biểu thức ta có: (2) <=> x2 -2Sx +2S2 +8S +7 =0
Phơng trình bậc hai đối với ẩn x có nghiệm , 0 <=> -S2 -8S -7 0 <=> (S+7)(S+1)
0 <=> -7 S -1 Vậy Max S = -1 <=> 1 1
0
Min S= -7 <=> 7 7
0
Ví dụ 4 ( Đề thi TS lớp 10- Tỉnh Hà tĩnh- năm học 2010 -2011)
Tìm x để y lớn nhất thõa mãn: x2 + 2y2 + 2xy - 8x - 6y +13 = 0 (3)
Giải
Từ (3) x2 + 2xy + y2 - 2.x.4 -2y.4 +16 + y2 + 2y + 1 = 4
( x +y - 4)2 +( y +1)2 = 4
Vì ( x +y - 4)2
0 nên dấu “ Một số dạng toán về đa thức =” ở (3) xảy ra ( y + 1)2
4
- 2 y+ 1 2 -3 y 1 y 1, dấu “ Một số dạng toán về đa thức =” xảy ra 4 0
1
x y y
1
x y
Vậy Max(y) = 1 x =3
Trang 3Trường THCS Huy Nam Yờn- Cẩm Xuyờn Hà Tĩnh
Ví dụ 5 :( Đề thi TS lớp 10- ĐHQG Hà nội - năm học 04-05)
Tìm căp số ( x; y) sao cho y nhỏ nhất thỏa mãn: x2 + 5y2 +2y - 4xy -3 = 0
Cách1:
x2 + 5y2 +2y - 4xy - 3 = 0 ( x2 - 4xy + 4y2 ) + (y2 + 2y +1) = 4
( x – 2y)2 + ( y +1)2 = 4 (*)
Vì ( x -2y)2 0 nên dấu “ Một số dạng toán về đa thức =” ở (*) xảy ra ( y + 1)2 4
- 2 y+ 1 2 -3 y 1 y 3, dấu “ Một số dạng toán về đa thức =” xảy ra 2 0 6
Cách2:
x2 + 5y2 +2y - 4xy - 3 = 0 x2 - 4xy + (5y2 +2y - 3) = 0 ( pt bậc 2 ẩn x)
Phơng trình có nghiệm , 0 4y2 - ( 5y2 + 2y – 3) 0 ( 1-y)(y+3) 0 <=> -3 y 1
Lập luận nh trên ta có ( x;y) = ( 6; -3)
Bài tập tự luyện:
1) Tìm Max P = -x2 -y2 + xy + 2x + 2y + 5
2) Tìm min P = 2x2 + 4y2 + 4xy + 2x + 4y + 9
3) Tìm cặp số (x;y) sao cho y nhỏ nhất thỏa mãn: x2 + 5y2 - 4xy + 2y - 3 = 0
4) Cho các số thực (x;y) thỏa mãn: x2 + 2y2 + 2xy + 6x + 8y + 4 = 0
Tìm min, Max của S = x + y +2010
5) Cho x + y + z =3 Tìm Max D = xy + 2yz + 3xz
6) Cho các số thực (x;y; z) thỏa mãn: x + y +2z = 3
Tìm min P = 2x2 + 2y2 - z2
7) Cho x, y, z là các số không âm thỏa mãn: x+y+z = 1
Tìm Max P = ( x+2y+3z)(6x+3y+2z)
Dạng 2: Tìm nghiệm nguyên của đa thức f(x;y)
Tìm nghiệm nguyên của đa thức f(x;y)= ax2 + by2 + cxy + dx + ey + h
ĐK: a2 + b2 0
Phơng pháp giải:
+) C1: Có thể biến đổi đa thức f(x;y) thành tổng bình phơng của các biểu thức
+) C2: Đa về phơng trình ớc số
+) C3: Tách f(x;y) thành phần nguyên
+) C4: Giải điều kiện của phơng trình bậc2 đối với ẩn x hoặc y
Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên của đa thức: 5x2 + 5y2 + 8xy - 2x + 2y + 2 = 0 (1)
Giải
Cách 1: Từ (1) 25x2 + 25y2 + 40xy - 10x + 10y + 10 = 0
(5x)2 +2.5x.4y +(4y)2 - 2.4y.1 + 1 +9y2 +18y + 9 = 0
( 5x + 4y – 1)2 + 9( y + 1)2 = 0
5 4 1 0 1
thử lại ta có x = 1; y = 1
Cách 2: Sử dụng điều kiện có nghiệm của tam thức bậc 2
Từ (1) 5x2 + 2( 4y - 1)x + 5y2 + 2y + 2 = 0 ( pt bậc 2 ẩn x)
,
= 16y2 – 8y +1- 25y2 -10y -10
= - 9y2 -18y - 9 = - 9( y -1)2 0
(1) có nghiệm , = 0 y = 1 từ đó suy ra x = 1 Thử lại ta có (x;y) = ( 1;1)
Ví dụ 2: Tìm cặp số (x, y ) nguyên thỏa mãn: 3x2 + 4y2 + 6x +4 y - 5 = 0 (2)
Giải
Trang 4Trường THCS Huy Nam Yờn- Cẩm Xuyờn Hà Tĩnh
Cách1: (2) 3( x + 1)2 +( 2y +1)2 = 9 (*)
Do 3(x + 1)2 0 nên dấu “ Một số dạng toán về đa thức =” ở (*) xảy ra (2y + 1)2 9
- 3 2y+ 1 3 -2 y 1
Vì y Z nên y ={-2; -1; 0; 1}suy ra (x;y) =(-1; -2); (-1; 1)
Cách2: Sử dụng điều kiện có nghiệm của tam thức bậc 2 ( Đối với HS lớp 9)
3x2 + 4y2 + 6x +4 y - 5 = 0
3x2 + 6x + (4y2 +4 y -5) = 0 ( pt bậc 2 ẩn x)
,= 9 - 12y2 - 12y + 15
= - 12( y2 + y -2)
= -12(y-1)( y +2)
Để pt trên có nghiệm thì ,0 -2 y 1
Vì y Z nên y ={-2; -1; 0; 1}
Thay y vào để tính x và thử lại ta có (x;y) =(-1; -2); (-1; 1)
Theo cách đó ta có thể giải bài toán sau đây
Ví dụ3 ( Đề TS 10 Chuyên tỉnh Hà tĩnh 07-08)
Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: x2 - xy +y2 = 2x - 3y -2 (3)
Giải (3) x2 - ( y +2)x + y2 + 3y +2 = 0 ( pt bậc 2 ẩn x)
= ( y +2)2 - 4y2 - 12y -8
= y2 +4y +4 -4y2 -12y -8 = - ( 3y2 + 8y + 4) = - ( y +2)( 2y + 2)
Để pt trên có nghiệm thì 0 - ( y +2)( 3y + 2) 0 - 2 y 2
3
Vì y Z nên y ={-2; -1} từ đó ta tính đợc cặp (x;y) = (0;-1); ( 1; -1) ; ( 0; -2)
Ví dụ 4: ( Đề thi TS lớp 10-Chuyên Toán ĐH Vinh)
Tìm các số x, y thỏa mãn : xy + 2x + y +1 4x2 + y2 (4)
Từ (4) 4x2 + y2 - 2xy - 2x - y 1
(2x)2 - 2.2x
2
y
+
2
4
y - 2.2x 1
2 + 2.2
y
.1
2 +
1
4 +
2
3 3
2
4 2 4
( 2x - 1
2 2
y
)2 + 3
4(y -1)
2 2 do ( 2x - 1
2 2
y
)2 0 nên 3
4(y -1)
2 2
(y -1)2
8
3
3 y 3 3 y 3
do y Z nên y ={ -1; 0; 1; 2}
TH1: y =-1 ta có: (2x)2 + 3 2 ( không xảy ra)
TH2: y = 0 ta có ( 2x - 1
2)
2 + 3
4 2 ( 2x -
1
2)
2 5
4
1
2-
5
4 2x
1
2 +
5 4
Do xZ nên ( x; y) = ( 0 ; 0)
TH3: y = 1 Ta có: ( 2x -1)2 2 - 2 2x - 1 2 1 2 1 2
2 x 2
Trang 5Trường THCS Huy Nam Yờn- Cẩm Xuyờn Hà Tĩnh
Do x Z nên cặp số ( x; y) = ( 0; 1) ; ( 1; 1)
TH4: y = 2 ( ta giải tơng tự)
Ví dụ 5: Tìm x, y Z thỏa mãn: 4x2 + 2xy + 4x + y + 3 = 0 (5)
Từ (3) y( 2x +1) + 4x2 +4x +3 = 0 (*) Nhận thấy x = - 0,5 không phải là nghiệm của (*) nên ta có: y = 2 4 3 2 2 2
2 1
2 1
x
x
Do y Z nên 2x +1 Ư(2) Vậy ta có:
2x + 1 = 1
2x + 1 = 2 Từ đây suy ra ( x; y) = ( 0; -3) ; ( -1;3)
Ví dụ 6: Tìm cặp số (x, y ) nguyên thỏa mãn:
2y2x +x +y +1 = x2 + 2y2 + xy
Giải 2y2x +x +y +1 = x2 + 2y2 + xy 2y2( x-1) - y( x-1) - x( x- 1) +1 = 0 (6)
Nhận thấy x = 1 không phải là nghiệm của (6) Chia cả 2 vế của (6) cho (x-1) ta đợc: 2y2 - y -x + 1
0 1
x (6.1) Do y Z nên x - 1 { -1; 1} suy ra x = 0 hoặc x = 2 Thay x vào (6.1) và thử lại ta đợc (x;y) = ( 2 ;1) ; (0;1)
Từ các bài toán trên, nâng lên ta củng có thể giảI bài toán sau:
Ví dụ 7: Tìm x, y, z nguyên dơng thỏa mãn: x 2 3 y z
x + 2 3 = y + z +2 yz
[ x -( y +z)]2 + 4 3[ x -( y +z)] + 12 = 4yz (1)
Nếu xy + z (2) thì ta có:
Từ (1) 3 =
2
12 4 4
yz
x y z
x y z
nên 3 là số hữu tỷ ( vô lý)
Nếu x = y + z Từ (1) yz = 3 y =1; z = 3 hoặc y =3; z = 1
Vì vậy từ (2) ta suy ra x = 4
Thử lại ta thấy ( x; y; z ) = (4; 3; 1) ; ( 4; 1; 3)
*) Bài tập tự luyện:
Tìm cặp số (x, y ) nguyên thỏa mãn:
1) x2 + y2 + xy - 2x - y = 0
2) x2 + 2y2 - 2xy + 3x - 3y + 2 = 0
3) x2 + 2y2 + 2xy - 3y - 4 = 0
4) 2x2 + y2 - 2xy + y = 0
5) 10x2 + 20y2 + 24xy + 8x - 24y + 51 0
Dạng 3: Giải hệ ph ơng trình:
Phơng pháp giải: Biến đổi biểu thức ax2 + by2 + cxy + dx + ey + h thành tổng hoặc tích các đa thức Kết hợp với phơng trình thứ 2 của hệ để giải
Ví dụ1: Giải hệ phơng trình:
2 2
2 11 3 0 1 5(2)
x
y
x
Giải
Nhân 2 vế của (1) với 4, biến đổi ta đợc:
Trang 6Trường THCS Huy Nam Yờn- Cẩm Xuyờn Hà Tĩnh
4x2 - 4xy + y2 - 2.2x.2 + 2y.2 + 4- 25y2 + 40y - 16 = 0
( 2x – y – 2)2 – (5y – 4)2 = 0
( 2x -6y +2) ( 2x + 4y -6) = 0
2 4 6 0
x y
x y
Khi đó (I)
2 2
2 2
3 1 0
0
2 3 0 5
x y
x y
y x y x
Từ đây thế x vào y, ta giải đợc
Ví dụ2: Giải hệ phơng trình:km
y x
y
x
y
x
2 2
3
3
1
y x y
y x y x
2 2 2 2
1
0
x y
Ví dụ3: Giải hệ phơng trình:
2
2
2
1
y
x
2 2
3 1 2 1 0
1
y x
2 2
2 2
3 1
( ) 1
2 1 ( ) 1
x
I
II
y x y x
Giải hệ (I) và (II) ta đợc nghiệm ( x;y) :
1 2 2 4 3 1 2 2
; , 0;1 , ; , ;
3 3 5 5 3 3
Ví dụ4: Giải phơng trình
x x
x2 6x 4 5 2 10x 9 2 2x 2
3 (4)
3 4 5
1
3 x x x
Nhận xét: ( x- 1)2 0 với mọi x nên VT3; VP 3 Dấu “ Một số dạng toán về đa thức = “ Một số dạng toán về đa thức xảy ra x-1 = 0 x = 1
Ví dụ5: Giải phơng trình:
0 10 4 4 1
2
2x x x (5) ĐK: x 1
(5) x 1 2 x 1 1 x 4 4 x 4 4 0 x 1 1 2 x 4 2 2 0
Ta thấy x = 0 là nghiệm của pt (5)
Bài tập tự luyện:
Giảiphơng trình và hệ phơng trình:
1)
5 4 6 3
1 2 4 2
2 2 2
2 2
y x
y x
y x
y x
2)
2 2 2
2
2 3
y
x x
3)
2
2
1 1 2
4
y x y
x
4) 2 2(1)
2 1 2 2 (2)
2
xy x y
y x
( x,y R)
Trang 7Trường THCS Huy Nam Yờn- Cẩm Xuyờn Hà Tĩnh
6) x2x 3612 x1
Dạng 4: Biến đổi đồng nhất biểu thức
Ví dụ1:
Cho x+y+z =xyz ; 1 1 1
2
x y z Tính P = 2 2 2
1 1 1
x y z
Giải
Từ x+y+z =xyz 1 1 1
xy xz yz
= 1
Từ 1 1 1
2
x y z
2
1 1 1
x y z
= 4
1 1 1
x y z + 2 xy xz yz1 1 1
= 4 2 2 2
1 1 1
x y z +2 =4
Vậy P = 4 -2 = 2
Ví dụ2
Cho 1 1 1 1
x y z xyz Chứng minh 2011 2011 2011
1 1 1
x y z = 2011 2011 2011
1
y
x z =
2011
1
x y z
Từ giả thiết (1 1
x y ) + (
1 1
z x y z ) = 0
xy z x y z
= 0
( x +y )[z(x +y + z) + xy] = 0 ( x +y ) 2
xz yz xy z = 0
( x+y) (y+z) ( x+z) = 0
0
0
0
x y
y z
x z
Từ đây ta có điều phải chứng minh
Ví dụ3:
Cho x y z x y z (với x; y; z không âm)
Chứng minh:2010x2010y 2010z 2010x y z
Từ GT x y x y z z Bình phơng 2 vế ta đợc:
x+y +2 xy = x + y – z +z +2 z x y z xy = z x y z xy = xz +yz - z2
( x –z)(y –z) =0 x =z hoặc y = z Từ đây ta có điều cần phải chứng minh
Bài tập tự luyện:
Bài 1: Cho x, y, z là các số dơng thỏa mãn: 2 2 2
2 2
x y z
y
Trang 8Trường THCS Huy Nam Yờn- Cẩm Xuyờn Hà Tĩnh
Tính S = z
1
1 1
2
2 2
z
y
1
1 1
2
2 2
y z
1
1 1
2
2 2
x
z y
Giải
Từ giả thiết x+y+z = 2 x2+y2 +z2 +2( xy+xz+yz) = 4 xy +xz + yz = 1
x2 +1 = x2 +xy+xz +yz = (x +y)( x+z)
y2 + 1 = y2 + xy+xz +yz = (x +y)( y+z)
z2 + 1= y2 + xy+xz +yz = (x +z)( y+z)
S = z x y 2
+ y x z 2
+ x y z 2
= z (x+y) + y(x+z) + x (y+z) = 2(xy +xz + yz ) = 2
Bài 1 Cho các số dơng thỏa mãn x y z 2 và x+y+z = 2
Tính P =
z
z y
y x
x z y x
1 1 1
1 1 1
C-Kết luận:
Dạy học toán trong trờng phổ thông là hoạt động toán học mà đối tợng nghiên cứu là các
bài toán trên cơ sở những khái niệm, định nghĩa, địnhlý,của toán học Chính vì vậy ngoài
việc giúp HS lỉnh hội tri thức toán học để phục vụ cho việc học toán trớc ắt cũng nhứau này, thì việc rèn luyện các kỷ năng, các phơng pháp giải toán, phơng pháp t duy sáng tạo
là vô cùng quan trọng và cần thiết