* Tương tự cho cách tìm đt d’ là hình chiếu của d trên các mp tọa độ Oyz và Oxz.. chứng tỏ d1và d2 cắt nhau.. Viết pt mp α chứa cả 2 đường thẳng trên.. Xác định giao điểm của d với các
Trang 1PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
* Nhắc lại: MpOxy, đường thẳng d đi qua
( ; )
o o o
M x y và nhận vecto uura =(a a1; 2) có pt là:
1
o
= +
I PT THAM SỐ VÀ CHÍNH TẮC CỦA ĐT:
Định lý: (sgk)
Đ/nghĩa: ( sgk)
Đường thẳng d đi qua M x y z và nhận vecto o( o; ;o o)
( 1; ;2 3)
uur
có pt là:
1 2
3
o
o o
= +
= +
Chú ý:
+ ptđt d xác định M x y z( o; ;o o) d
vtcp a
∈
⇔
uur + Đthẳng d có 1 vtcp là uura ⇒k a.uurcũng là 1 vtcp;
+ Đthẳng AB có 1 vtcp là ABuuuur
+ Nếu d ⊥ ⇒α uuur uuura d = nα
VD1: Viết ptts và chính tắc của đt d biết:
a d qua A(−2;1;3) và có vtcp là: uura =(2; 3;1− );
b d qua A(−2;1;3) và B(0; 1; 2− − );
c d qua A(−2;1;3) và d ⊥α:x−3y+2x=0
d d qua A(−2;1;3) và d ⊥(Oxz)
VD2: Tìm 1 vtcp, 2 điểm thuộc đt d:
1 2 2 4
= −
= − +
=
II VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA 2ĐT TRONG KG:
Kg Oxyz, cho 2 đường thẳng có ptts:
'
1
'
'
o
o
o
= +
= +
= + = +
d qua M x y z và nhận vecto ( o; ;o o) uura =(a a a1; ;2 3)
d1 qua M x y z và nhận vecto 1( 1; ;1 1) uurb =(b b b1; ;2 3)
1 ĐK để 2 đt song song hoặc trùng nhau:
3
1 2
1 2 3 1
1
1 3
1 2
1 2 3 1
1
1
.
.
a
a a
a k b b b b
d d
a
a a
a k b b b b
d d
= =
∉
= =
∈
uur uur
P
uur uur
1
&
+ cùngphương ⇔uura =k b.uur⇔uur uura b; =uur0
2 ĐK để 2 đt cắt nhau, chéo nhau:
Cách 1: (sgk)
+
'
'
'
hê
o
o
o
+ = +
∩ = ⇔ + = +
+ = +
có nghiệm
+ d và d1 chéo nhau ⇔hệ trên vô nghiêm và 2 vecto
VD3: Các cặp đt sau song song hay trùng nhau?
: 1 2 ; ' : 3 4 ';
: 5 4 ; ' : 3 2 ';
: 1 2 ; ' : 3 ' ;
= − + = +
= − = −
= + = −
= − = +
= − + = +
= − = −
Trang 2a b
uur uur
không cùng phương
Cách 2:
1
1
a b
≠
+ ∩ = ⇔
uur uur uur uur uuuuur
+ d và d1 chéo nhau ⇔uur uur uuuuura b; .MM1≠0
+ d ⊥ ⇔d1 uur uura b =0
* d và d1 chéo nhau hoặc cắt nhau ⇔uur uura b; ≠uur0
VD4: xét vị trí tương đối của đt d và các đt sau:
: 2 4 ; : 2 2
a d
b d
− = − = −
− = − = −
= + = − +
= + = − +
III VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐT VÀ MP:
1 Kg Oxyz, cho mp :α Ax By Cz D+ + + =0 và đt
1 2 3
:
o
o
o
= +
= +
= +
.Xét hệ
1 2 3
:
0
o o
o
d
Ax By Cz D
= +
= +
= +
+ + + =
(1)
+ Nếu hệ (1) có (!) nghiệm thì d∩ =α A
+ Nếu hệ (1) có vô nghiệm thì d song song với α
+ Nếu hệ (1) có vô số nghiệm thì d ⊂α
+ d⊥ ⇔ α uurn =k a.uur
IV MỘT SỐ BÀI TOÁN CƠ BẢN:
Bài toán1: Tìm điểm hình chiếu của M trên mpα
+ Viết pt đt d qua M sao cho d ⊥α;
+ Xác định giao điểm H = ∩d α
⇒ = ( điểm H là h/chiếu của M trên α)
Bài toán2: Tìm điểm hình chiếu của M trên đt d
+ Viết pt mp α qua M sao cho d ⊥α;
+ Xác định giao điểm H = ∩d α
d
⇒ = ( điểm H là h/chiếu của M trên α)
Suy ra bài toán tìm điểm đx qua đt và mp
Bài toán 3: Tìm pt đường thẳng hình chiếu
a Tìm pt đường thẳng: d'=hc(Oxy)d:
+ Tìm M1=hc(Oxy)M ⇒M x1( 0;0;0)
+ Tìm giao điểm A d= ∩(Oxy)
⇒đường thẳng h/chiếu d’ qua A và M1
* Tương tự cho cách tìm đt d’ là hình chiếu của d
trên các mp tọa độ (Oyz) và (Oxz).
VD5: Xét vị trí tương đối của α : x y z+ + − =1 0
và đường thẳng d biết:
: 2 ; : 2
: 2 ; : 2
7 3
1 2
= +
− = + = − = +
a chứng tỏ d1và d2 cắt nhau
b Viết pt mp α chứa cả 2 đường thẳng trên.
VD7: kg Oxyz cho điểm M(2; 1;1− )
a Tìm điểm M1 là hình chiếu của điểm M trên mp :x 2y 2z 1 0
α − + + =
a Tìm điểm M2 là hình chiếu của điểm M trên đt
:
VD8:
a Tìm điểm đối xứng của M(2; 1;1− ) qua mp α
có pt: 2x y+ − − =3z 3 0
b Tìm điểm đối xứng của M(2; 1;1− ) qua đường thẳng d có pt:
1
3 2 1
= −
= −
= +
VD9: Cho đt d có pt :
1 2 1 1
= +
= − +
= −
a Xác định giao điểm của d với các mp tọa độ b.Tìm pt đt hình chiếu d’ của d trên các mặt phẳng tọa độ?
Trang 3b TQ: Tìm pt đt 'd =hc dα
Cách 1: tương tự cách trên.
CHÚ Ý:
Cho mp :α Ax By Cz D+ + + =0
Mp β:A x B y C z D1 + 1 + 1 + 1 =0 Nếu α cắt β
thì pt đường thẳng giao tuyến d = ∩α β là:
0 0
Ax By Cz D
A x B y C z D
+ + + =
pt tổng quát của đt.
Cách 2: Dùng pt đường thẳng tổng quát:
+ Gọi 'd =hc dα ⇔d'= ∩α β
với mp β được xác định: β chứa d và β α⊥
+ Viết pt mặt phẳng β
Vậy pt đt d’ là: pt mp
pt mp
α β
ỨNG DỤNG PT ĐƯỜNG THẲNG TQ:
VD10: 1 Tìm pt đt d’ là h.chiếu của
2 : 1 2
=
= −
= −
trên mp :α x y+ +2z− =1 0
2 cho mp : 2α x y z+ + − =1 0 và đt d có phương trình: 1 2
−
a Tìm giao điểm A của d và α .
b Viết pt đt ∆qua A ∆ ⊥dvà nằm trong α .
( HD: ∆ = ∩α β với βqua A: β ⊥d)
VD11: Cho A(− −4; 2; 4)và
3 2 : 1
1 4
= − +
= −
= − +
Viết pt đường thẳng ∆ qua A, cắt và vuông góc với đt d?
HD:
C1: + Viết pt mp α qua A và chứa d;
+ ∆ = ∩α β với βqua A: β ⊥d
C2: Gọi B d∈ ; tìm tọa độ B: ABuuuur⊥uura ⇒đt ∆
là đt qua A,B.
VD12: Viết pt đường thẳng ∆: ∆ ⊥(Oxy) và cắt
1 2
= − + = − +
VD13: Kg Oxyz, cho 4 điểm A(2; 4; 1− ) ; (1; 4; 1)
B − ; C(2; 4;3); D(2; 2; 1− )
a Viết pt các đt AB; AC; AD Nhận xét gì về các
đt trên?
b Viết pt mp (BCD)
c Viết pt đường cao của tam giác BCD
d Viết pt đường vuông góc chung của AB và CD
e Tính thể tích của tứ diện ABCD