Bài 1:
1
ln
ln
1 ln
e
x
+
∫
Giải:
2 1
ln
ln
1 ln
e
x
+
1 2
ln
ln
1 ln
x
+
Tính 1
1
ln
1 ln
e
x
=
+
∫
Đặt t 1 lnx t2 1 lnx 2tdt dx
x
Đổi cận:
2 1
1
t
2
1
ln
e
I =∫ xdx
Đặt
u ln x
x
Áp dụng công thức tính tích phân từng phần
2
2 1
e
I =∫ln xdx xln x= −∫lnxdx e= − ∫lnxdx
1 2 3 1 2 3
Tính 3
1
e
I =∫lnxdx
Đặt
dx
x
dv dx
v x
Áp dụng công thức tính tích phân từng phần
3
I =∫lnxdx xlnx= −∫dx e x= − = − − = −e e
1
e
I =∫ln xdx e= − I = −e
I = + = −I I + − = − −e e
Bài 2:
3ln 2
2 3
0 x 2
dx I
e
=
+
∫
Giải:
Ta có:
Trang 2( )
3ln 2 3ln 2 3
3
x
x
I
3 3
t e= ⇒ =dt e dx⇒ dt e dx=
Đổi cận:
3
x
x
I
+
2
1
4ln t 4ln t 2 t 2 4ln 4ln 8 4ln 6
3 3 1
4ln 2 8
Bài 3:
Tính tích phân:
3
0
3
x
−
=
+ + +
∫
Giải:
t= x+ ⇔ = + ⇒t x tdt dx=
Đổi cận:
+ + +
Bài 4:
Tính tích phân:
2
3 0
sin
x cosx
π
−
=
+
∫
Giải:
Đặt
2
x= − ⇒π t dx= −dt
Đổi cận:
2
π
t
2
Khi đó:
0
2
π
Trang 3Suy ra: 2I = I + I =
2
3 0
sin
dx
x cosx
π
− +
2
3 0
3cos 2sin
s s
dt
co x inx
π
− +
2
2
0 s s
dx
co x inx
π
+
∫
2
2
02
4
dx cos x
π
π
=
2 0
2
4
d x cos x
π
2tan x 4 0
π π
1 Vậy I =
1
2
Bài 5:
4
2 0
1
1 1 2
x
x
+
=
∫
Giải:
1 2
dx
x
2 2 2
x= −
Đổi cận:
Khi đó:
2
1 1 2
x
4
2 2
3
2
2 2
t
t ln t
t
2ln2-1 4
Bài 6:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y= e x+1, trục hoành, x = ln3 và x = ln8
Giải:
Diện tích
8
3 1
ln x
ln
S = ∫ e + dx
2
2
1
t
−
Đổi cận:
Khi đó:
ln x
ln
t
2
t
t
= + + ÷ = + ÷ (đvdt)
Bài 7:
sin
dx I
xcos x
=∫
Giải:
I
Đặt t tanx dt dx2
cos x
1
t sin x
t
= +
Trang 4Khi đó: ( 2)3
2 4 6 3
2
1
t dt
t
4 2 3
∫
4 3 2 3 12
tan x tan x
tan x
Bài 8:
Tính tích phân:
1
2 3 0
s
1
x
x
+
∫
Giải:
1
2 3
0
s
1
x
x
+
1 2
s
1
x
x
+
Tính
1
2 3
1
0
s
I =∫x inx dx
3
dt
t=x ⇒ =dt x dx⇒x dx=
Đổi cận:
Khi đó:
2 3 1
1
3
I =∫x inx dx= ∫s dt 1 1 1( 1 1)
0
3cost 3 cos
Tính
1
2
01
x
x
=
+
∫
2
t= x ⇔ = ⇒t x tdt dx=
Đổi cận:
Khi đó:
1 1
0
Tính
1
3 2
0 1
dt
I
t
=
+
∫
t tanu= ⇒ = +dt tan u du= +u du=
Đổi cận:
4
π
2
0 1 0
dt
t
π
+
4 0
u
π π
Suy ra: 2 2 2 3 2
2
I = − I = −π
Trang 5Vậy: 1( 1 1) 2 7 1 1
I = − cos − + − = −π cos −π
Bài 9:
Tính tích phân: 6
0
4 2
tan x
cos x
π −π
=∫
Giải:
2
2 2
1 4
tan x
tan x
π −π π
+
dx
cos x
Đổi cận:
6
π
3
Khi đó:
2
1
4
tan x
d t tan x
π −π π
1
3
0
t
−
+
Bài 10:
Tính tích phân:
1
2
11 1
dx I
−
=
∫
Giải:
Đặt
2
2
t
Đổi cận:
t 2 1− 2 1+
Khi đó:
2 2
2 1 2 1
2
2 1 2 1
dt
dt
2ln t 2 1 2 t ln t ln t 2 1
Bài 11:
Tính tích phân:
4
2 4
1
sinx
π
π
−
=
∫
Giải:
1 2
sin
sin
Trang 6Tính
4
4
sin
1
xdx I
x
π
π
−
=
+
∫
Đặt x= − ⇒t dx= −dt
Đổi cận:
x
4
π
−
4
π
t
4
π
4
π
−
Khi đó:
I
−
Suy ra 2I1= + = ⇒ =I1 I1 0 I1 0
Tính
4 2
4
sin
π
π
−
= ∫
dv sinxdx v cosx
Áp dụng công thức tính tích phân từng phần
2
4
I = + = −I I π +
Bài 12:
Tính tích phân:
5 2
1
1
3 1
x
x x
+
=
+
∫
Giải:
3
tdt
t= x+ ⇔ =t x+ ⇒ tdt= dx⇒dx=
Đổi cận:
2 2
2
1 1 3
3 1
3
t
x x
− +
+
3
9 3t t | ln t 1| 27 ln5
t
+
Bài 13:
Trang 7Tính tích phân: 2
2
dx I
cos x cosx
π
=
∫
Giải:
1 2 2
Tính
2
2
1
1
2
|
x cosx cos
π
+
Tính
2
2
2
1
2
2
x tan dx
x
+
tan = tant⇒ + tan dx= +tan t dt
Đổi cận:
2
π
6
π
Khi đó:
2
6
6
2
2
2
|
x tan dx
x
π
π π
+
3 3
I = − = −I I π
Bài 14:
Tính tích phân:
2
3 0
2 2
sin x
cosx
π
= +
∫
Giải:
Đặt t= +2 cosx⇒ = −dt sinxdx
Đổi cận:
2
π
Khi đó:
2 32
2
18
|
t t
−
= + ÷ =
Bài 15:
Tính tích phân: 2 2
3 0
sin
sin x
π
=∫
Trang 82
t sin x= ⇒ =dt cosxsinxdx
Đổi cận:
2
π
1 1
1 0
0
2e t| 2 te dt t 2e 2 2I
Tính
1
1
0
t
I =∫te dt
Đặt u t t du dt t
dv e dt v e
⇒
Áp dụng công thức tính tích phân từng phần
1 1
I =∫te dt te= −∫e dt e e= − = − + =e e
1
Bài 17:
Tính tích phân:
6 4
4 1
x
tan x
e
π
π
−
=
+
∫
Giải:
Đặt x= − ⇒t dx= −dt
Đổi cận:
x
4
π
−
4
π
t
4
π
4
π
−
Khi đó:
−
Ta có:
x
tan x e tan x
4 4
26
tan x tan x
tanx x ππ π
−
Xong lúc 23h-4/2/2011