Chuyên đề Tích phân Lớp 12 (Full)

Chuyên đề tích phân được triển khai thành nhiều nội dung. Phần trên là toàn bộ các nội dung đề cập đến việc tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số, ứng dụng của tích phân... thông qua các ví dụ ở các đề thi đại học mọi năm được sưu tầm.

CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN

Nội dung 1:

BIẾN ĐỔI VỀ TỔNG – HIỆU CÁC TÍCH PHÂN CƠ BẢN

I PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Sử dụng các tính chất sau để biến đổi tích phân cần tính thành tổng – hiệu các tích phân cơ bản:

1

k.f (x)dx k f (x)dx

f (x)g(x) dx f (x)dx g(x)dx

3

f (x)dx f (x)dx f (x)dx

Bảng nguyên hàm cơ bản

Nguyên hàm của các hàm số sơ cấp Nguyên hàm của các hàm số hợp

u = u(x)

u

u u 'dx c,( 1)

1



 



2

1

x

1



 



3 dx ln x c

x  

4 e dxx ex c 4 u

ln a



5

x

a dx c,(0 a 1)

ln a

6 cosxdx sinxc 6 u 'sin udx  cosuc

2

u '

dx tan u c



8 dx2 tanx c



10 cotxdxln sinx c 10 u 'cot udxln sin u c

Đặc biệt: u(x) ax+b f (ax b)dx 1F(ax b) c



   



1

1

1 (ax b) (ax+b) dx c



 

cos (ax b) a  











3 eax bdx 1eax b

a

a



4 a x dx  1ln    x c



a



5 cos(ax b)dx 1sin(ax b) c

a





6 sin(ax b)dx 1cos(ax b) c

a



II BÀI TẬP VÍ DỤ

Bài 1: Tính tích phân

2

1

2x 1

x(x 1)









Giải

2

1

Bài 2: Tính tích phân

2

2 1

x x 3x 2x 2

x x







Giải

Chia tử cho mẫu ta được:

3 2

2

1

2

1





Bài 3: Tính tích phân

4

sinx

0



  

Giải

=

2

Bài 4: Tính tích phân

3

3 1

dx I







Giải

2 2

=

2

1



Bài 5: Tính tích phân

2 2

0

I  x x dx

Giải

Do

x 0 1 2

x2 - x - 0 +

Bài 6: Cho hàm số

a

f (x) bxe

x 1



Tìm a và b biết rằng f’(0) = -22 và 1

0

f (x)dx5



Giải

Ta có: f '(x) 3a 4 be (x 1)x f '(0) 3a b 22

(x 1)

2

1

0



Từ (1) và (2) ta có:

3a

8

   



CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN

Nội dung 2:

TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ

I PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Đổi biến số loại I

1 Sử dụng công thức:

 

b

a

f u x u '(x)dx f (u)du







2 Phương pháp: Xét tích phân

b

a

I f (x)du

- Đặt t = u(x) => dt = u’(x)dx

- Đổi cận u(a) = t1; u(b) = t2

⇨

2

1

t

2

t

I g(t)dt g(t)

t

   với g(t) = f[u(x).u’(x)]

Thường đặt ẩn phụ t là:

• Căn thức hoặc mũ của e hoặc mẫu số hoặc biểu thức trong ngoặc

• Có sinxdx => Đặt t = cosx

Có cosxdx => Đặt t = sinx

Có dx

x => Đặt t = lnx

Đổi biến số loại II

• Công thức:   b

a

f (t) '(t)dt f (x)dx





x (t); ( )  a; ( )  b

• Tính b

a

If (x)dx

Đặt x (t)dx  '(t)dt

Đổi cận: x (t); ( )  a; ( )  b

a

I f ( (t)) '(t)dt f (x) dx





   

Các dạng thường gặp:

b

2 2

a

a x dx

 : Đặt x = a.sint b

a

dx

a x

 : Đặt x = a.sint b

2 2 a

dx

a x

 : Đặt x = a.tant

II BÀI TẬP VÍ DỤ

Bài 1: Tính tích phân

4

0

x sinx (x 1) cosx

x sin x cos x



 







Giải

0

=

4

0

x cos x

dx

4 x sin x cos x



 





Đặt t = sinx + cosx => dt = xcosxdx

Đổi cận:

X 0

4





  

⇨

2

1

2 4

1

2

1

1



  

 



Bài 2: Tính tích phân

4

0

4x 1





 



Giải

t 2x 1 2   2x 1   t 2 2x 1 t   4t 4

2

2

 

Đổi cận:

X 0 4

T 3 5

⇨

2

2

2

  

=

2

dt 2t 12t 21 dt

=

3

3

Bài 3: Tính tích phân

e

2 1

ln x

x(2 lnx)







Giải

Đặt u = lnx => du = 1

x dx Đổi cận:

X 1 e

u 0 1

⇨

1

0

= ln 3 2 (ln 2 1) ln3 1

Bài 4: Tính tích phân

2x

ln 3

x

ln 2

e







Giải

Đặt t = x 2 x x

Đổi cận:

x ln2 ln3

t 1 2

⇨

2

1

2

1





Bài 5: Tính tích phân

4 6

0

tan x

cos 2x



 

Giải

Đặt t = tanx => dt dx2

cos x

 Đổi cận:

x 0

6



t 0 3

3

⇨

3

4

3

2 0





Bài tập tự giải:

1

2 4

0

1 2sin x

1 sin 2x









 Đ.S: I 1ln 2

2



2

x

ln 3

3 x 0

e





 Đ.S: I 21

3

2

6

0

I 1 cos x sin x cos xdx



   Đ.S: I 12

91



4

2 3

2 5

dx I

x x 4





 Đ.S: I 1ln5



5

4 2 2 0

x x 1

x 4

 





 Đ.S: I 17 16 ln 2

   

6

e

1

1 3ln x.ln x

x



  Đ.S: I 116

135



7

2

1

x



 Đ.S: I 11 4ln 2

3

 

8

e

1

ln x

x ln x 1





 Đ.S: I 76

15



9

7

3 0

x 1







 Đ.S: I 231

10



10

3 2

0

I sin x tan xdx



 Đ.S: I ln 2 3

8

CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN

Nội dung 3:

TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP

TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

I PHƯƠNG PHÁP GIẢI

- Công thức:

b u(x).v '(x)dx u(x).v(x) v(x).u '(x)dx

a

- Viết gọn:

b

a

- Các dạng thường gặp:

+ Dạng 1:

f ( x )

sin f (x) cos f (x) p(x) dx tanf(x) e

 thì đặt: u = p(x); dv =

f ( x )

sinf(x) cos f (x)

dx tanf(x) e

+ Dạng 2: p(x).lnf(x) dxthì đặt u = lnf(x); dv = p(x)dx

+ Dạng 3: f ( x ) sin g(x)

cos g(x)

 thì đặt u = ef(x)

; dv sin g(x) dx

cos g(x)

II BÀI TẬP VÍ DỤ

Bài 1: Tính tích phân

3

2 1

3 ln x

(x 1)









Giải

Đặt

2

dx du x dx

v (x 1)

u 3

x

x

1

3

1

= 3 ln 3 ln x 3 ln x 1 3 1 3 ln27

Bài 2: Tính tích phân

1

2 x

0

I (x2)e dx

Giải

Đặt 2 x

2 x

1

2





 



1

0



Bài 3: Tính tích phân

2

2

0

I (2x 1) cos xdx



  

Giải

2

1 cos2x

2



=

(2x 1)dx (2x 1) cos 2 x dx

• Tính

2 2

2 1

0

0

 

• Tính 2 2

0



  

Đặt

1

2





 





2 2

0



⇨

2

I I I

2 2 8 4 2

Bài 4: Tính tích phân

4

0

x

1 cos2x









Giải

2



Đặt

2

du

v tanx dv

cos x





  4

0





Bài 5: Tính tích phân

2

9

0



 

Giải

0



      

Đặt u 2t du 2dt



0

3





Bài tập tự giải:

1

3

2 0

1 x sin x

cos x





  Đ.S: I 3 2 ln(2 3)

3



2

2

3 2

ln x

x

  Đ.S: I 3 2ln 2

16





3

e

3 2

1

I x ln xdx Đ.S:

4

5e 1 I

32





4

2

0

I (x 1)sin 2xdx



   Đ.S: I 1

4



 

5

2

1

I (x2) ln xdx Đ.S: I 2ln 2 5

4

6

3 2

2

I ln(x x)dx Đ.S: I = 3ln3 – 2

7

3

2 1

ln x

(x 1)





 Đ.S: I 1ln 3 ln3

8

4

3 0

ln 2x 1

(2x 1)







 Đ.S: I 1ln 3 2

  

9

2

0

I x sin 2xdx



  Đ.S: I

4





CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN

Nội dung 4:

ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

I PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Tính diện tích

Bài toán 1: Cho hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a, b] Diện tích hình

phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a và

x = b là:

S f (x)dx f (x) dx

Nếu f(x) không dương trên đoạn [a, b] thì:

S  f (x)dx f (x) dx

lần lượt là (C1), (C2) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C1), (C2), hai đường x = a

và x = b được xác định bởi công thức:

b

a

S  f (x)g(x) dx (1)

Giải (1):

+ Giải phương trình: f(x) = g(x) (*)

+ Nếu (*) vô nghiệm thì b 

a

S  f (x)g(x) dx

+ Nếu (*) có nghiệm thuộc [a, b] giả sử là    , ( < ) thì:

a





Diện tích hình phẳng S được giới hạn bởi (C1), (C2) và hai đường thẳng y = a và y = b được xác định bởi công thức:

b

a

S  f (y)g(y)dy

Thể tích các vật thể

Một vật thể  giới hạn bởi hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với trục Ox lần lượt tại x = a, x = b (a < b) Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với Ox tạo hoành độ

x ( a x b) và cắt  theo tiết diện S(x) và là hàm liên tục theo biến x trên [a, b] Khi đó thể tích  là:

b

a

VS(x) dx

Bài toán 1: Giả sử hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x), x = a, x = b và y = 0

quay quanh Ox Hình tròn S(x) có bán kính R = y: S(x) = y2

b 2

a

V  y dx

Bài toán 2: Thể tích do hình phẳng: x = g(y), x = 0, y = a, y = b quay quanh trục Oy:

b 2

a

V x dy

Bài toán 3: Tính thể tích vật thể do hình phẳng giới hạn hai đường cắt nhau quay

quanh Ox:

y1 = f(x), y2 = g(x)

2 1 b

2 2

2 1 a

   

  

Bài toán 4: Tính thể tích vật thể do hình phẳng giới hạn hai đường cắt nhau quay

quanh Ox:

y1 = f(x), y2 = g(x)

1 2 b

2 2

2 1 a

   

  

II BÀI TẬP VÍ DỤ

Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol yx2  x 3 và đường thẳng d: y = 2x + 1

Giải

Phương trình hoành độ giao điểm của Parabol và d:





          

Ta có:

S (x   x 3) (2x 1) dx   x 3x2 dx

=

2

2

1

2

1

Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường (P): y x2 4x3 và (d):

y = x + 3

Giải

(P) (d) :

x 5, y 8

             





        

S(x 3) (x 4x3) dx (x  3) (x 4x3) dx (x 3) (x 4x3) dx =

( x 5x)dx (x 3x6)dx  ( x 5x)dx

=

6x

Bài 3: Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = xlnx, y = 0, x = e Tính thể

tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình (H) quanh trục Ox

Giải

Phương trình hoành độ giao điểm của các đường y = xlnx và y = 0 là:

xlnx = 0 <=> x = 1

Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình H quanh trục hoành là:

V y dx (x ln x) dx

Đặt

2

3 2

2ln x

du dx

x

dv x dx

v 3



 





Ta có:

e

1

2

dx du

x

dv x dx

v 3











Ta có:



Vậy

3

V

27

 (đvtt)

Bài tập tự giải

1 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi Parabol (P): x = -x2+ 4x và đường thẳng d:

y = x

Đ.S: S 9

2

 (đvdt)

2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y = (e+1)x và y = (1+ex)x

Đ.S: S e 1

2

  (đvdt)

3 Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra trong phép quay xung quanh trục Ox của

hình phẳng giới hạn bởi trục Ox và đường y x sinx (0  x )

Đ.S:

3

V 4



 (đvtt)

4 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

2

x

4

  và

2

x y

4 2



Đ.S: S = 2 4

3

  (đvdt)