Viết phơng trình mặt phẳng đi qua A và chứa đờng thẳng d.. CMR với mọi m , mặt phẳng Pm luôn đi qua một đờng thẳng d cố định.. Viết phơng trình tham số của đờng thẳng d đi qua trọng tâm
Trang 1Phần I
Các dạng bài tập về đờng thẳng và mặt phẳng.
I.Bài tập về mặt phẳng.
1) Dạng 1: Viết ph ơng trình mặt phẳng.
Bài 1 Cho tứ diện ABCD có A(5,1,3); B(2,-4,2); C(2,-1,3); D(1,-1,4)
a Viết phơng trình các mặt phẳng: (ABC) ; (BCD) ; (ABD)
b Viết phơng trình mp(P) chứa AB và song song với CD
Bài 2 Lập phơng trình mặt phẳng chứa đờng thẳng (d) và tạo với mặt phẳng (Q) một
góc bằng 60o biết: (d) :
=
− +
=
− +
0 2
0 2
z y
y x
và (Q) : x +2y – 2z +2 = 0
Bài 3 Lập phơng trình mặt phẳng chứa đờng thẳng (d) và tạo với đờng thẳng (∆) một góc bằng 60o biết: (d) :
=
− +
=
− +
0 2
0 2
z y
y x
và
1
5 1
3 2
2 : ) (
−
+
=
−
=
−
Bài 4 (ĐHKT-97) : Cho điểm A(1,2,1) và đờng thẳng (d) : 3
4
1
3x = y− = z+
a Viết phơng trình mặt phẳng đi qua A và chứa đờng thẳng (d)
b Tính khoảng cách từ A đến đờng thẳng (d)
Bài 5 (ĐHCS - 97) : Cho điểm M(1,0,5) và hai mặt phẳng (P):2x – y + 3z +1 = 0 ;
(Q) : x + y – z + 5 = 0
a Tính khoảng cách từ M đến (P)
b Viết phơng trình mặt phẳng đi qua giao tuyến (d) của (P) và (Q) đồng thời vuông góc với mặt phẳng 3x – y +1 = 0
Bài 6 ( Đề thi ĐH khối A-2002): Trong không gian Oxyz cho hai đờng thẳng :
(∆ 1) :
= +
− +
=
− +
−
0 4 2 2
0 4 2
z y x
z y x
(∆ 2) :
+
=
+
=
+
=
t z
t y
t x
2 1 2
1
a Lập phơng trình mặt phẳng (P) chứa (∆ 1) và song song với (∆ 2)
b Cho điểm M(2,1,4) Tìm toạ độ điểm H thuộc (∆ 2) sao cho độ dài MH ngắn nhất
Bài 7 (ĐHTCKT-95)
Xác định giá trị của tham số m , n để mặt phẳng (P): 5x + ny + 4z + m = 0 thuộc chùm mặt phẳng (Qαβ): α( 3x – 7y + z – 3) + β(x – 9y – 2z + 5) = 0.
Bài 8 (ĐHBK-95) : Cho họ mặt phẳng (Pm): 2x + y + z - 1 + m(x + y + z + 1) = 0 , m
là tham số
a CMR với mọi m , mặt phẳng (Pm) luôn đi qua một đờng thẳng (d) cố định
b Tìm mặt phẳng (Pm) vuông góc với mặt phẳng (Po) Tính khoảng cách từ gốc toạ độ đến đờng thẳng (d)
2)Dạng 2 : Tìm hình chiếu vuông góc của một điểm xuống mặt phẳng , tìm điểm
đối xứng của một điểm qua một mặt phẳng.
Bài 1 Trong không gian cho điểm A(1,-3,2) và mặt phẳng (P): x + y – 2z +1 = 0.
a) Tìm toạ độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm A xuống (P)
Trang 2b) Tìm toạ độ điểm B đối xứng với A qua (P)
Bài 2 Trong không gian cho đờng thẳng (d):
+
=
=
−
=
t z
t y
t x
3 2 2
1
và mp(P): 2x+ 2y+ z -1 = 0
a) Tìm trên (d) điểm A sao cho khoảng cách từ A đến (P) bằng 3
b) Cho B(1,-1,0) ; C(0,-2,3) Tìm trên (P) điểm M sao cho MB + MC nhỏ nhất
Bài 3 Cho mặt phẳng (P) và đờng thẳng (d) có phơng trình :
(P) : 3x + 6y – z – 2 = 0 và ( d) :
=
−
−
−
=
−
− +
0 2
0 14 7
z y x
z y x
a) Xác định toạ độ giao điểm A của (P) và (d)
b) Lập PT đờng thẳng (d1) đối xứng với (d) qua (P)
Bài 4(HVKTQS-98): Trong không gian với hệ trục toạ độ oxyz cho A(4,1,4) ; B(3,3,1)
C(1,5,5) ; D(1,1,1)
a) Tìm hình chiếu vuông góc của D lên (ABC) và tính thể tích tứ diện ABCD b) Viết PT tham số của đờng vuông góc chung của AC và BD
Bài 5(ĐHQG-98): Cho các điểm A(a,0,0) ; B(0,b,0) ; C(0,0,c) (a,b,c dơng) Dựng hình
hộp chữ nhật nhận O , A,B,C làm bốn đỉnh và gọi D là đỉnh đối diện với đỉnh O
a) Tính khoảng cách từ C đến (ABD)
b) Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc của C xuống (ABD) Tìm điều kiện đối với a ,
b , c để hình chiếu đó nằm trong (xOy)
Bài 6(ĐHTCKT-2000): Cho A(2,3,5) và mặt phẳng (P) : 2x + 3y + z –17 = 0.
a) Lập PT đờng thẳng (d) đi qua A và vuông góc với (P)
b) CMR (d) cắt trục Oz , tìm toạ độ giao điểm
c) Xác định toạ độ A1 đối xứng với A qua (P)
II Bài tập về đ ờng thẳng
1) Dạng 1: Viết ph ơng trình đ ờng thẳng.
Bài 1 (ĐHTS-98): Viết phơng trình chính tắc của đờng thẳng qua điểm M(1,1,2) và
song song với đờng thẳng (d):
= +
− +
=
− +
−
0 3 2 3
0 7 2 3
z y x
z y x
Bài 2 (ĐH Huế -99): Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P) đi qua ba điểm
A(1,3,2); B(1,2,1) và C(1,1,3) Viết phơng trình tham số của đờng thẳng (d) đi qua trọng tâm của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác đó
Bài 3 (ĐHTCKT-99): Viết phơng trình chính tắc của đờng thẳng (∆) đi qua điểm A(1,1,-2) song song với mặt phẳng (P) và vuông góc với đờng thẳng (d) biết:
(d):
3
2 1
1 2
1= − = −
x
(P): x – y – z – 1 = 0
2) Dạng 2: Chuyển dạng ph ơng trình đ ờng thẳng.
Bài 1 Cho đờng thẳng (d) có phơng trình:
=
− + +
=
−
− +
0 1
0 3 2
z y x
z y x
Hãy viết phơng trình tham số của (d)
Trang 3Bài 2 Cho đờng thẳng (d) có phơng trình:
= + +
=
− +
0 1 4
0 1
z y
y x
Hãy viết phơng trình chính tắc và tham số của (d)
Bài 3 Cho (d) có PT:
−
=
−
=
+
=
3
2 1 2
t z
t y
t x
Hãy viết phơng trình tổng quát của (d)
Bài 4 Lập PT tham số , chính tắc và tổng quát của đờng thẳng (d) đi qua điểm
A(2,0,-3) và vuông góc với hai đờng thẳng:
(d1):
= + +
=
− +
0 1 4
0 1
z y
y x
(d2):
= + + +
= + +
−
0 7 3
2
0 1 4 3
z y x
z y x
3)Dạng 3: Vị trí t ơng đối của đ ờng thẳng và mặt phẳng.
Bài 1 Xét vị trí tơng đối của đờng (d) và mặt phẳng (P) biết:
a) (d) :
+
−
=
−
=
+
−
=
t z
t y
t x
2 3
1
và (P) : x – 2y – z +3 = 0
b) (d) :
=
−
=
− +
0 2
0 1
y
z x
và (P) : y – z = 0
Bài 2 (ĐHTCKT-95): Cho mặt phẳng (P) và đờng thẳng (d) có phơng trình:
(P) : 4x – 3y +7z – 7 = 0 và (d) :
=
−
−
−
=
− +
−
0 1 2
0 5 2 3 5
z y x
z y x
Chứng minh rằng (d) ⊂ (P).
Bài 3 Biện luận theo m vị trí tơng đối của mặt phẳng (P) và đờng thẳng (d) biết:
(d) :
−
=
−
=
=
t z
t y
t x
2 3
1 và (P) : m2x +2y + z +1 – 3m = 0
Bài 4 (ĐHAN-95) : Cho mặt phẳng (P) và đờng thẳng (d) có phơng trình:
(d) :
=
−
−
=
− +
0 7 2 3
0 3 2
z x
y x
; (P) : x + y + z = 0 a) Tìm toạ độ giao điểm A của (d) và (P)
b) Lập PT đờng thẳng (d1) đi qua A vuông góc với (d) và nằm trong (P)
Bài 5 (ĐHTCKT-94) Cho họ đờng thẳng (dm) có PT : (dm):
=
−
−
=
− +
0 )
1 (
0
my x m
m mz x
a) Tìm điểm cố định mà họ (dm) luôn đi qua với mọi m
b) CMR các đờng thẳng trong họ (dm) luôn thuộc một mặt phẳng cố định
Bài 6 (ĐH Đà Nẵng-99): Cho họ đờng thẳng (dm) có PT:
=
−
−
=
− +
0 )
1 (
0 3 4
my x m
m mz x
a) Tìm điểm cố định của họ (dm)
b) CMR các đờng thẳng trong họ (dm) luôn thuộc một mặt phẳng (P) cố định
Trang 4c) Tính thể tích khối tứ diện giới hạn bởi (P) và các trục toạ độ.
Bài 7 (ĐHTL-98) : Cho (d):
= +
− +
=
− +
−
0 7 3
6
0 27 4 3
z y x
z y x
và (P): 2x + 5y + z +17 = 0
a) Tìm toạ độ giao điểm A của (d) và (P)
b) Lập PT đờng thẳng (d1) đi qua A vuông góc với (d) và nằm trong (P)
Bài 8 (ĐHNN-98) Cho mặt phẳng (P): 2x + y + z = 0 và (d):
3
2 1
2
1
−
+
=
=
x
a) Tìm toạ độ giao điểm A của (d) và (P)
c) Lập PT đờng thẳng (d1) đi qua A vuông góc với (d) và nằm trong (P)
Bài 9 (ĐH 2002 Khối A) : Trong không gian 0xyz cho mặt phẳng (P) và đờng thẳng
(dm) có phơng trình:
(P): 2x - y + 2 = 0 ; (dm):
= + + + +
=
− +
− + +
0 2 4 ) 1 2 (
0 1 )
1 ( ) 1 2 (
m z m mx
m y m x
m
Xác định m để (dm) // (P)
4)Dạng 4: Vị trí t ơng đối của hai đ ờng thẳng
Bài 1: Cho hai đờng thẳng (d1) và (d2) cho bởi :
(d1):
−
=
=
=
t z y x
1 1
0
và (d2):
=
=
+
−
=
0 1
2 2
z y
u x
a) CMR (d1) và (d2) cắt nhau Xác định toạ độ giao điểm của chúng
b) Viết PT đờng phân giác của (d1) và (d2)
Bài 2: Trong không gian Oxyz cho hai đờng thẳng ( d1) và ( d2) có phơng trình:
(d1) :
−
=
−
=
+
=
t z
t y
t x
5 1
2 5
và (d2) :
−
=
−
−
=
+
= 1 1 1
1 3
2 3
t z
t y
t x
a) CMR (d1) // ( d2)
b) Viết PT đờng thẳng d song song ,cách đều (d1) , (d2) và thuộc mặt phẳng chứa (d1) , (d2)
Bài 3: Trong không gian Oxyz cho hai đờng thẳng ( d1) và ( d2) có phơng trình:
(d1):
4
9 1
5 3
−
−
=
x
và (d2) :
4
18 1
4 3
+
=
−
+
x
a) CMR (d1) // ( d2)
b) Viết PT đờng thẳng d song song ,cách đều (d1) , (d2) và thuộc mặt phẳng chứa (d1) , (d2)
Bài 4: Trong không gian Oxyz cho hai đờng thẳng ( d1) và ( d2) có phơng trình:
(d1) :
+
=
+
−
=
+
−
=
t z
t y
t x
4 6
3 2
2 3
(d2) :
= +
−
=
− +
0 15
0 19 4
z x
y x
a) CMR ( d1 ) cắt (d2)
b) Viết PT đờng phân giác của (d1) và (d2)
Bài 5 :Trong không gian Oxyz cho hai đờng thẳng ( d1) và ( d2) có phơng trình:
Trang 5(d1) :
3
4 1
2 2
1= + = −
−
x
(d2) :
+
−
=
−
=
+
−
=
t z
t y
t x
3 2
1
a) CMR ( d1 ) cắt (d2)
b) Viết PT đờng phân giác của (d1) và (d2)
Bài 6 : Trong không gian Oxyz cho hai đờng thẳng ( d1) và ( d2) có phơng trình:
(d1) :
−
=
=
−
=
1
1
z
t y
t x
(d2) :
=
+
=
= 1 1
1
1 2
t z
t y
t x
a) CMR (d1) và (d2) chéo nhau
b) Viết PT mặt phẳng (P) song song và cách đều (d1), (d2)
Bài 7: Trong không gian Oxyz cho hai đờng thẳng ( d1) và ( d2) có phơng trình: (d1) :
3
3 2
2 1
1= − = −
x
(d2) :
=
− +
−
=
− +
0 5 3 2
0 2
z y x
z y x
a) CMR (d1) và (d2) chéo nhau
b) Viết PT mặt phẳng (P) song song và cách đều (d1), (d2)
5) Dạng 5: Hai đ ờng thẳng đồng thẳng và các bài toán liên quan
Bài 1(ĐHKTQD-97): Cho hai đờng thẳng (d1) và ( d2) có phơng trình:
(d1) :
3
4 1
2 2
1= + = −
−
x
và ( d2) :
+
−
=
−
=
+
−
=
t z
t y
t x
3 2
1
a) CMR (d1) và (d2) cắt nhau Xác định toạ độ giao điểm I của chúng
b) Viết phơng trình tổng quát của (P) chứa (d1) và (d2)
Bài 2 (ĐHKT-98) Cho hai đờng thẳng (d1) và ( d2) có phơng trình:
(d1) :
4
9 1
5 3
−
−
=
x
và (d2) :
4
18 1
4 3
+
=
−
+
x
a) CMR (d1) // (d2) và viết PT mặt phẳng chứa (d1) và (d2)
b) Tính khoảng cách giữa (d1) và (d2)
Bài 3 (PVBC và TT-98): Cho hai đờng thẳng (d1) và ( d2) có phơng trình:
(d1) :
=
− +
−
= + +
0 1
0 1 2
z y x
y x
(d2) :
= +
−
= +
− +
0 1 2
0 3 3
y x
z y x
a) CMR (d1) và (d2) cắt nhau Xác định toạ độ giao điểm I của chúng
b) Viết phơng trình tổng quát của (P) chứa (d1) và (d2)
Bài 4(ĐHSPII-2000): Cho A(1,-1,1) và hai đờng thẳng (d1) và ( d2) có phơng trình:
(d1) :
= +
−
= +
−
−
0 1 2
0 3 3
y x
z y x
và (d2) :
−
=
−
−
=
=
t z
t y
t x
3
2 1
CMR (d1) , (d2) và A cùng thuộc một mặt phẳng
6) Dạng 6: Hai đ ờng thẳng chéo nhau và các bài toán liên quan
a) Đờng vuông góc chung của hai đờng chéo nhau.
Trang 6Bài 1: Cho hai đờng thẳng (d1) và ( d2) có phơng trình:
(d1) :
−
=
−
−
=
+
−
=
t z
t y
t x
2
2 3
3 1
(d2) :
=
− +
=
−
−
0 12 2 5
0 8 2 3
z x
y x
a) CMR (d1) và (d2) chéo nhau
b) Viết phơng trình đờng vuông góc chung của (d1) và (d2)
Bài 2: Cho hai đờng thẳng (d1) và ( d2) có phơng trình:
(d1) :
−
=
+
=
+
=
3 3 2
1 2
t z
t y
t x
(d2) :
+
=
+
−
=
+
=
u z
u y
u x
3 1
2 3 2
a) CMR (d1) và (d2) chéo nhau
b) Viết phơng trình đờng vuông góc chung của (d1) và (d2)
b) Khoảng cách giữa hai đờng chéo nhau.
Bài 1(ĐHTM-97): Cho hai đờng thẳng chéo nhau (d1) và (d2) có phơng trình:
(d1) :
+
=
+
−
=
=
t z
t y
x
3
2 4
1
và (d2) :
−
=
+
=
−
=
2
2 3 3
z
u y
u x
a) Tính khoảng cách giữa (d1) và (d2)
b) Viết PT đờng vuông góc chung của (d1) và (d2)
Bài 2(ĐHQG-94): Cho hai đờng thẳng (d1) và ( d2) có phơng trình:
(d1) :
+
−
=
+
=
+
=
t z
t y
t x
3 3 2
2 1
(d2) :
+
=
+
−
=
+
=
1 3
2 3 2
u z
u y
u x
a) CMR (d1) và (d2) chéo nhau
b) Viết phơng trình đờng vuông góc chung của (d1) và (d2)
c) Tính khoảng cách giữa (d1) và (d2)
Bài 3(ĐHHH-96) : Cho hai đờng thẳng (d1) và ( d2) có phơng trình:
(d1) :
=
− +
= +
−
0 2 2
0 1
z x
y x
(d2) :
=
−
−
= +
−
0 4 3 2
0 3 4
z y
y x
a) CMR (d1) và (d2) chéo nhau
b) Viết phơng trình đờng vuông góc chung của (d1) và (d2)
c) Tính khoảng cách giữa (d1) và (d2)
Bài 4(ĐHSP II/A-98): Cho hai đờng thẳng (d1) và ( d2) có phơng trình:
(d1) :
=
−
=
+
=
t z
t y
t x
2 1
2
(d2) :
=
−
=
− +
0 3
0 2 2
y
z x
a) CMR (d1) và (d2) chéo nhau
b) Viết phơng trình đờng vuông góc chung của (d1) và (d2)
c) Viết PT tổng quát của mặt phẳng cách đều (d1) và (d2)
Bài 5(ĐHTCKT-96): Cho hai đờng thẳng (d1) và ( d2) có phơng trình:
Trang 7(d1) : x = -y + 1= z – 1 ; (d2) : -x + 1 = y –1 = z
Tìm toạ độ A thuộc (d1) và B thuộc (d2) sao cho đờng thẳng AB vuông góc với (d1) và (d2)
Bài 6 (ĐHKT-98): Cho tứ diện SABC với các đỉnh S(-2,2,4) ; A(-2,2,0) ; B(-5,2,0) ;
C(-2,1,1) Tính khoảng cách giữa hai cạnh đối SA và BC
7) Dạng 7: Các bài toán liên quan đến điểm , đ ờng thẳng và mặt phẳng
a) Viết PT đờng thẳng đi qua một điểm và cắt cả hai đờng thẳng cho trớc.
Bài 1: Viết PT đờng thẳng đi qua A(1,1,1) và cắt cả hai đờng thẳng (d1) và (d2):
(d1) :
=
− +
=
− + +
0 1
0 3
z y
z y x
(d2) :
= +
−
= +
−
−
0 1
0 9 2 2
z y
z y x
Bài 2: Viết PT đờng thẳng đi qua A(3,-1,3) và cắt cả hai đờng thẳng (d1) và (d2):
(d1) :
=
− +
=
−
−
0 12 2 5
0 8 2 3
z x
y x
(d2) :
−
=
−
−
=
+
−
=
t z
t y
t x
2
2 3
3 1
Bài 3: Viết PT đờng thẳng đi qua A(1,1,0) và cắt cả hai đờng thẳng (d1) và (d2):
(d1) :
=
−
=
+
=
0
1
z
t y
t x
(d2) :
+
=
=
=
u z
y x
2 0 0
Bài 4(ĐHNN-97): Viết PT đờng thẳng (d) đi qua A(1,1,1) và cắt cả hai đờng thẳng
(d1) và (d2) có PT: (d1):
= + +
−
= + +
0 1
0 2
z y x
z y x
(d1) :
+
=
−
=
+
−
=
t z
t y
t x
2 5
2 2
Bài 5(ĐHXD-94): Viết PT đờng thẳng đi qua A(1,5,0) và cắt cả hai đờng thẳng (d1) và (d2) cho bởi: (d1):
=
− +
=
−
−
0 1
0 1 2
y x
z x
(d2) :
=
−
−
=
− +
0 2
0 2 3
z y
y x
Bài 6(ĐHTS-99): Viết PT tổng quát của đờng thẳng đi qua A(-4,-5,3) và cắt cả hai
đ-ờng thẳng (d1) và (d2):
(d1) :
=
− +
=
−
−
0 12 2 5
0 8 2 3
z x
y x
và (d2) :
−
=
−
−
=
+
−
=
t z
t y
t x
2
2 3
3 1
b) Viết PT đờng thẳng song song với một đờng thẳng và cắt cả hai đờng thẳng cho trớc.
Bài 1: Viết PT đờng thẳng (d) song song với đờng thẳng (∆) và cắt cả hai đờng thẳng (d1) và (d2) biết:
(∆) :
1
5 1
1 3
−
=
−
−
x
(d1):
3
2 4
2 1
1= + = −
x
(d2):
= +
−
−
=
− +
−
0 1 2
0 3 4
z y x
z y x
Bài 2: Viết PT đờng thẳng (d) song song với đờng thẳng (∆) và cắt cả hai đờng thẳng (d1) và (d2) biết:
Trang 8(∆) :
= + +
−
= + +
0 1
0 2
z y
x
z y
x
(d1):
=
−
=
+
=
t z
t y
t x
2 1
2
(d2):
=
−
=
− +
0 3
0 2 2
y
z x
c) Viết PT đờng thẳng vuông góc với một mặt phẳng và cắt cả hai đờng thẳng cho trớc.
Bài 1(ĐHXD-98): Viết PT đờng thẳng (d) vuông góc với (P): x + y + z – 1 =0 và cắt
cả hai đờng thẳng (d1): x y = z
−
+
=
−
1
1 2
1
và (d2) :
= + +
−
=
− +
−
0 1 2 2
0 1 2
z y x
z y x
Bài 2: Viết PT đờng thẳng (d) vuông góc với (P): x + y + z – 2 =0 và cắt cả hai đờng
thẳng (d1):
=
−
=
+
=
t z
t y
t x
2 1
2
(d2):
=
−
=
− +
0 3
0 2 2
y
z x
d) Viết PT đờng thẳng đi qua một điểm và vuông góc với hai đờng thẳng cho trớc.
Bài 1: Viết PT đờng thẳng đi qua A(1,1,1) và vuông góc với hai đờng thẳng có phơng
trình (d1) :
=
− +
=
− + +
0 1
0 3
z y
z y x
(d2) :
= +
−
= +
−
−
0 1
0 9 2 2
z y
z y x
Bài 2 (ĐH Dợc –98): Viết PT đờng thẳng (d) đi qua A(1,1,1) và vuông góc với hai
đ-ờng thẳng có PT: (d1) : x− = y+ =z
1
2 8
1
(d2) :
= +
= +
− +
0 1
0 2
x
z y x
Bài 3 (ĐHTCKT-99): Viết phơng trình chính tắc của đờng thẳng (∆) đi qua điểm A(1,1,-2) song song với mặt phẳng (P) và vuông góc với đờng thẳng (d) biết:
(d):
3
2 1
1 2
1= − = −
x
(P): x – y – z – 1 = 0
e) Viết PT của đờng thẳng đi qua một điểm , vuông góc với một đờng thẳng và cắt một đờng thẳng khác.
Bài 1(HVBCVT-94): Viết PT đờng thẳng đi qua M(-1,2,-3) vuông góc với a(6,-2,-3)
và cắt đờng thẳng (d) :
5
3 2
1 3
1
−
−
=
+
=
x
Bài 2(ĐHTL-97):Viết PT đờng thẳng đi qua A(3,-2,-4) song song với mặt phẳng (P)
và cắt đờng thẳng (d) biết (P): 3x - 2y - 3z - 7= 0 (d) :
2
1 2
4 3
−
+
=
x
Bài 3(ĐH Dợc – 98): Viết PT chính tắc của đờng thẳng đi qua A(0,1,1) vuông góc
với đờng thẳng (d1) và cắt đờng thẳng (d2) cho bởi :
(d1) :x− = y+ =z
1
2 3
1
và (d2) :
= +
= +
− +
0 1
0 2
x
z y x
f) Hình chiếu vuông góc của đờng thẳng lên mặt phẳng cho trớc.
Bài 1(ĐHTM-95): Cho đờng thẳng (d) và mặt phẳng (P) có phơng trình:
(d) :
= +
−
−
=
− +
−
0 15 2
3
0 5
z y x
z y x
(P) : 2x + 3y – z + 4 = 0 Hãy viết PT hình chiếu vuông góc (d1) của (d) lên (P)
Trang 9Bài 2(CĐHQ-98): Cho đờng thẳng (d) và mặt phẳng (P) có phơng trình:
(d):
5
1 3
1 2
2 = + = −
x
(P) : 2x + y + z – 8 = 0 a) Tìm giao điểm A của (d) và (P)
b) Viết PT đờng thẳng (∆) là hình chiếu vuông góc của (d) lên (P)
Bài 3(ĐHBK-99): Cho đờng thẳng (d) và mặt phẳng (P) có phơng trình:
(d):
2
3 2
1 1
1
−
−
=
−
=
x
(P) : 2x – 2y + z – 3 = 0
a) Tìm giao điểm A của (d) và (P).Tính góc giữa (d) và (P)
b) Hãy viết PT hình chiếu vuông góc (d1) của (d) lên (P) Lấy điểm B thuộc đ-ờng thẳng (d) sao cho AB = a (a > 0) Xét tỉ số
BM
AM
AB+
với M di động trên (P) CMR tồn tại một vị trí của M để tỉ số đó đạt giá trị lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất ấy
Bài 4(ĐHXD-97): Cho hai đờng thẳng (d1) và (d2) có phơng trình:
(d1):
3
6 1
2 2
5= − = −
x
(d2) :
= +
−
−
=
−
−
0 5
0 11 2
z y x
y x
a) Xác định véc tơ chỉ phơng của (d2)
b) CMR (d1) và (d2) cùng thuộc một mặt phẳng, viết PT của mặt phẳng đó
c) Viết PT chính tắc của hình chiếu song song của (d2) theo phơng (d1) lên mặt phẳng (Q) : 3x – 2y – 2z – 1 = 0
Bài 5(HVQY-95): Trong không gian cho đờng thẳng (d) và mặt phẳng (P) có phơng
trình: (P): x+y+z+1 = 0 (d) :
3
1 2
2 1
1= − = −
x
a) Hãy viết PT hình chiếu vuông góc (d1) của (d) lên (Oxy)
b) CMR khi m thay đổi , đờng thẳng (d1) luôn tiếp xúc với một đờng tròn cố
định trong mặt phẳng (Oxy)
g) Hình chiếu vuông góc của điểm lên đờng thẳng.
Bài 1(ĐHBK-97): Cho điểm M(1,2,-1) và (d):
2
2 2
2 3
−
−
=
x
.Gọi N là điểm đối xứng của M qua (d) Tính độ dài của đoạn MN
Bài 2(ĐHTM-99): Cho đờng thẳng (d) và mặt phẳng (P) có phơng trình:
(d) :
=
−
−
−
=
−
−
−
0 17 3 2 2
0 3 2 2
z y x
z y x
(P) : x-2y+z-3 = 0
a) Tìm điểm đối xứng của điểm A(3,-1,2) qua đờng thẳng (d)
b) Viết PT hình chiếu vuông góc của (d) lên mặt phẳng (P)
Bài 3(ĐHBK-98): Cho đờng thẳng (d) và mặt phẳng (P) có phơng trình:
(d) :
=
−
=
+
=
t z
t y
t x
3 2
2 1
(P) : 2x-y-2z+1 = 0
a) Tìm toạ độ các điểm thuộc (d) sao cho khoảng cách từ mỗi điểm đó đến mặt phẳng (P) bằng 1
Trang 10b) Gọi K là điểm đối xứng của I(2,-1,3) qua (d) Xác định toạ độ điểm K.
8) Dạng 8: Các bài toán liên quan đến tam giác trong không gian.
Bài 1: Trong không gian cho ∆ABC có A(1,2,-1) ; B(2,-1,3) ; C(-4,7,5)
a) Lập phơng trình đờng trung tuyến kẻ từ A
b) Lập phơng trình đờng cao kẻ từ A
c) Lập phơng trình đờng phân giác trong của góc B
Bài 2 (HVKTQS-97): Cho ∆ABC biết A(1,2,5) và phơng trình hai đờng trung tuyến là :
1
1 2
6 2
3= − = −
−
x
và
1
2 4
2 1
−
−
=
x
a) Viết phơng trình chính tắc các cạnh của tam giác
b) Viết phơng trình chính tắc của đờng phân giác trong của góc A
Bài 3(HVNH-2000): Cho hai điểm A(0,0,-3) ; B(2,0,-1) và (P): 3x-8y+7z-1 = 0
a) Tìm toạ độ giao điểm I của đờng thẳng đi qua hai điểm A,B với mặt phẳng (P) b) Tìm toạ độ điểm C nằm trên (P) sao cho tam giác ABC là tam giác đều
Bài 4(ĐHMĐC-2000): Cho ∆ABC biết C(3,2,3) và phơng trình đờng cao AH ; đờng phân giác trong BM của góc B có phơng trình:
(AH):
2
3 1
3 1
2
−
−
=
−
=
x
(BM):
1
3 2
4 1
−
−
=
x
Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC
Bài 5(ĐHMĐC-97): Cho ba điểm A(1,4,5) ; B(0,3,1) ; C(2,-1,0) và mặt phẳng (P) có
phơng trình (P): 3x-3y-2z-15 = 0 Gọi G là trọng tâm của ∆ABC Tìm điểm M trên (P) sao cho MA2 + MB2 + MC2 nhỏ nhất
Phần II : Mặt cầu
1
Ph ơng trình mặt cầu
Bài 1: Cho họ mặt cong (Sm) có phơng trình :
(Sm) : x2 + y2 + z2 - 4mx- 2y + 2mz + m2 + 4m = 0
a) Tìm điều kiện của m để (Sm) là một họ mặt cầu
b) CMR tâm của (Sm) luôn nằm trên một đờng thẳng cố định
Bài 2: Lập phơng trình mặt cầu đi qua điểm A(3,1,0) , B(5,5,0) và tâm I nằm trên ox Bài 3: Lập phơng trình mặt cầu đi qua điểm A(0,1,0) ; B(1,0,0) ; C(0,0,1) và tâm I
nằm trên mặt phẳng (P): x + y + z – 3 = 0
Bài 4(CĐSP Hà Nội –97): Cho mặt cầu (S) : x2 + y2 +z2 − 2x− 4y− 4z= 0
a) Xác định toạ độ tâm và tính bán kính của mặt cầu
b) Gọi A,B,C lần lợt là giao điểm (khác gốc toạ độ) của mặt cầu với các trục toạ
độ Ox , Oy , Oz Viết phơng trình mặt phẳng (ABC)
c) Gọi H là chân đờng vuông góc hạ từ tâm mặt cầu đến (ABC) Xác định toạ độ
điểm H
Bài 5(CĐSP.HCM-2000): Cho hai đờng thẳng có phơng trình:
(d1) :
=
=
=
4
2
z
t y
t x
và (d2) :
=
− + +
=
− +
0 12 3 4 4
0 3
z y x
y x