Chuyên đề hình giải tích trong không gian

Bài7: Lập phương trình tổng quát của các mặt phẳng đi qua I2,6,-3 vμ song song với các mặt phẳng toạ độ.. 1 Viết phương trình tham số vμ phương trình tổng quát các mặt phẳng ABC ACD ABD

Chuyên đề hình giải tích trong

không gian

Chương 1

Mặt Phẳng Bài 1

Phương trình mặt phẳng

Bài 1 Lập phương trình tham số của mặt phẳng

(P) đi qua điểm M(2,3,2) vμ cặp VTCP lμ

) 1 , 2 , 3 (

);

2

,

1

,

2

Bài 2: Lập phương trình tham số của mặt phẳng

(P) đi qua M(1,1,1) vμ

1) Song song với các trục 0x vμ 0y

2) Song song với các trục 0x,0z

3) Song song với các trục 0y, 0z

Bài 3: Lập phương trình tham số của mặt phẳng

đi qua 2 điểm M(1,-1,1) vμ B(2,1,1) vμ :

1) Cùng phương với trục 0x

2) Cùng phương với trục 0y

3) Cùng phương với trục 0z

Bài 4: Xác định toạ độ của véc tơ n vuông góc

với hai véc tơ a( 6 , ư 1 , 3 ); b( 3 , 2 , 1 )

Bài 5: Tìm một VTPT của mặt phẳng (P) ,biết

(P) có cặp VTCP lμ a( 2 , 7 , 2 ); b( 3 , 2 , 4 )

Bài 6: Lập phương trình tổng quát của mặt

phẳng (P) biết :

1) (P) đi qua điểm A(-1,3,-2) vμ nhận n( 2 , 3 , 4 );

lμm VTPT

2) (P) đi qua điểm M(-1,3,-2) vμ song song với

(Q): x+2y+z+4=0

Bài7: Lập phương trình tổng quát của các mặt

phẳng đi qua I(2,6,-3) vμ song song với các mặt

phẳng toạ độ

Bài 8: (ĐHL-99) :Trong không gian 0xyz cho

điểm A(-1,2,3) vμ hai mặt phẳng (P): x-2=0 ,

(Q) : y-z-1=0 Viết phương trình mặt phẳng (R)

đi qua điểm A vμ vuông góc với hai mặt phẳng

(P),(Q)

Bài 2

Chuyển dạng phương trình

mặt phẳng

Bà i1 Tìm một cặp VTCP của các mặt phẳng

sau:

1) (P) : x-2y-1=0

3 1 2

1 : )

2 1

2 1

2 1

R t t t t z

t t y

t t x

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

+ +

=

+

=

+ +

=

3) (P) : x+4y+7z+16=0

Bài 2: Tìm một cặp VTPT của các mặt phẳng sau:

3 1 2

1 : )

2 1

2 1

2 1

R t t t t z

t t y

t t x

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

+ +

=

+

=

+ +

=

2) (P): x-2y-1=0

3) (P) :x+4y+7z+16=0

Bài 3: Chuyển dạng phương trình tổng quát của

(P) sang dạng tham, số trong các trường hợp sau: 1) (P): x+2y+3z-12=0

2) (P): 3x+2y+z-6=0

3) (P): x+2y-4=0

4) (P): 2y+3z-6=0

Bài 4: Chuyển dạng phương trình tham số của (P) sang dạng tổng quát trong các trường hợp sau:

2 2

1 : )

2 1

2 1

R t t t

z

t y

t t x

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=

=

+

ư

=

3 1 2

1 : )

2 1

2 1

2 1

R t t t t z

t t y

t t x

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

+ +

=

+

=

+ +

=

Bài 5: Cho mặt phẳng (P) phương trình tham số:

3 2

1 :

)

1 2

1

R t t t z

t y

t x

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

ư

=

+

=

+

ư

=

1) Lập phương trình tổng quát của (P)

2) Lập phương trình tổng quát của (Q) đi qua

điểm A(1,2,3) vμ song song với (P)

Bài 6: Lập phương trình tham số vμ phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) trong các trường hợp sau:

1) Đi qua hai điểm A(0,-1,4) vμ có cặp VTCP lμ

(3 , 2 , 1)

ar vμ br(ư3,0,1)

2) Đi qua hai điểm B(4,-1,1) vμ C(3,1,-1) vμ cùng phương với trục với 0x

Bài 7: Cho tứ diện ABCD có A(5,1,3) B(1,6,2) C(5,0,4) D(4,0,6)

1) Viết phương trình tham số vμ phương trình tổng quát các mặt phẳng (ABC) (ACD) (ABD) (BCD)

2) Viết phương trình tham số vμ phương trình

tổng quát của mặt phẳng (P) đi qua cạnh AB

vμ song song vpí cạnh CD

Bài 8: Viết phương trình tham số vμ tổng quát

của (P)

1) Đi qua ba điểm A(1,0,0), B(0,2,0) , C(0,03)

2) Đi qua A(1,2,3) ,B(2,2,3) vμ vuông góc với

mặt phẳng (Q) : x+2y+3z+4=0

3) Chứa 0x vμ đi qua A(4,-1,2) ,

4) Chứa 0y vμ đi qua B(1,4,-3)

Bài 9: Cho hai điểm A(3,2,3) B(3,4,1) trong

không gian 0xyz

1) Viết phương trình mặt phẳng (P) lμ trung trực

của AB

2) Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua A

vuông góc vơi (P) vμ vuông góc với mặt

phẳng y0z

3) Viết phương trình mặt phẳng (R) qua A vμ

song song với mặt phẳng (P)

Bài 3

Vị trí tương đối của hai mặt phẳng

Bài 1: Xét vị trí tương đối ciủa các cặp mặt

phẳng sau:

1) (P1): y-z+4=0, vμ

t t z

t t y

t x

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

ư

ư

=

ư

ư

=

+

=

2 1 2 1

2 1

1

4 5

4 1

2 3 :

2) (P1): 9x+10y-7z+9=0

t t z

t t y

t t x

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

+ +

=

ư +

=

+ +

=

2 1 2 1

2 1

2 1

4 3

2 7

3 2 1 :

3) (P1): x+y-z-4=0vμ

t t z

t t y

t t x

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

+ +

ư

=

ư +

=

ư +

=

2 1 2 1

2 1

2 1

1

2 2

1 :

Bài 4

Chùm mặt phẳng

Bài 1: Lập phương trình mặt phẳng qua

M(2,1,3) vμ chứa (d) , biết :

1) ( )

⎩

⎨

⎧

=

ư +

ư

=

ư +

ư

0 1 2

0 5 3 2

:

z y x

z y x

d

2) ( )

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

+

=

+

=

ư

=

t z

t y

t x

d

2 1

2 2 :

Bài 2:Lập phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(2,1,-1) vμ qua hai giao tuyến của hai mặt phẳng (P1) vμ (P2) có phương trình :

(P1): x-y+z-4=0 vμ (P2) 3x-y+z-1=0

Bài 3: Lập phương trình mặt phẳng chứa đường

thẳng ( )

⎩

⎨

⎧

=

ư

=

ư +

ư 0 2

0 3 2

3 :

z x

z y x

mặt phẳng (Q) có phương trình :

(Q): 11x-2y-15z-6=0

Bài 4: Lập phương trình mặt phẳng qua giao tuyến của (P1): y+2z-4=0 vμ (P2) : x+y-z-3=0 vμ song song với mặt phẳng (Q):x+y+z-2=0

Bài 5: Lập phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng ( )

⎩

⎨

⎧

=

ư

=

ư +

ư 0 2

0 3 2

3 :

z x

z y x

(Q) có phương trình ; 1) (ĐHNNI-95): (Q): x-2y+z+5=0

t t z

t t y

t t x

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

+

ư

ư

=

ư +

=

+ +

=

2 1 2 1

2 1

2 1

, , 5

2 4

3 4 :

Bài 6: Lập phương trình của mặt phẳng qua hai giao tuyến của hai mặt phẳng (P1): 3x-y+z-2=0

vμ (P2): x+4y-5=0 vμ vuông góc với mặt phẳng : 2x-z+7=0

Bài 7: Lập phương trình chứa mặt phẳng đường

thẳng : ( )

⎩

⎨

⎧

=

ư

=

ư +

ư 0 2

0 3 2

3 :

z x

z y x

đường thẳng (d) có phương trình : 1) ( )

⎩

⎨

⎧

= +

ư +

=

ư +

ư

0 3 2 3

0 7 2 3

:

z y x

z y x d

2) ( )

5

5 4

3 2

2

ư

x d

Bài 8:Lập phương trình chứa mặt phẳng đường thẳng : ( )

⎩

⎨

⎧

=

ư +

ư

=

ư

0 3 2

3

0 2 :

z y x

y x

đường thẳng (d) có phương trình : 1) ( )

⎩

⎨

⎧

= +

ư +

=

ư +

ư

0 3 2 3

0 7 2 3

:

z y x

z y x d

2) ( )

5

5 4

3 2

2

ư

x d

Bài 9: Lập phương trình chứa mặt phẳng đường thẳng vμ với mặt phẳng (Q) một góc 60 độ biết:

( )

⎩

⎨

⎧

=

ư

=

ư +

ư 0 2

0 3 2

3 :

z x

z y x

Bài 10: Lập phương trình mặt phẳng chứa đường

thẳng ( )

⎩

⎨

⎧

=

ư +

=

ư

ư

0 1 5

0 2 3 :

z y

z x

điểm A(1,-1,0) bằng 1

Bài 11: Cho đường thẳng (d) vμ hai mặt phẳng

( )

⎩

⎨

⎧

=

ư

+

=

ư

ư

0 1

0 2 :

z

y

z

x

d vμ (P1): 5x+5y-3z-2=0 vμ

(P2):2x-y+z-6=0 Lập phương trình mặt phẳng

(P) chứa đường thẳng (d) sao cho:( ) ( )P ∩ P1 vμ

( ) ( )P ∩ P2 lμ hai đường trực giao

Bài 12: (ĐHKT-93): cho hai đường thẳng (d1)

vμ (d2) có phương trình :

0 1 4

0 23 8 :

1

⎩

⎨

⎧

= +

ư

= +

ư

z y

z x

⎩

⎨

⎧

= + +

=

ư

ư

0 2 2

0 3 2 :

2

z y

z x

1) Viết phương trình các mặt phẳng ( )P1 ,( )P2

song song với nhau vμ lần lượt chứa ( )d1

( )d2

2) Tính khoảng cách giữa ( )d1 , ( )d2

3) Lập phương trình đường thẳng (D) song song

với trục Oz vμ cắt cả 2 đường thẳng( )d1 ,( )d2

Bài 5

Khoảng cách từ một điểm

tới mặt phẳng

Bài1:Tính khoảng cách từ điểm M(2,2,1) đến

mặt phẳng (P) trong các trường hợp sau:

1) (P): 2x+y-3z+3=0

t t z

t t y

t t x

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

+

ư

ư

=

ư +

=

+ +

=

2 1 2 1

2 1

2 1

, t 5

2 4

3 4 :

Bài2:Trong không gian với hệ toạ độ trực chuẩn

Oxyz , cho tứ diện có 4 đỉnh A(5,1,3) B(1,6,2)

C(5,0,4) D(4,0,6)

1) Lập phương trình tổng quát mặt phẳng

(ABC)

2) Tính chiều dμi đường thẳng cao hạ từ đỉnh D

của tứ diện, từ đó suy ra thể tích của tứ diện

3) Viết phương trình mặt phẳng phân giác của

góc nhị diện (A,BC,D)

Bà3:Trong không gian với hệ toạ độ trực chuẩn

Oxyz , cho tứ diện có 4 đỉnh A(1,1,1) B(-2,0,2)

C(0,1,-3) D(4,-1,0)

1) (ĐH Luật 1996) Tính chiều dμi đường thẳng

cao hạ từ đỉnh D của tứ diện

2) Viết phương trình mặt phẳng phân giác của

góc nhị diện (A,BC,D)

Chương 2

Đường thẳng trong

không gian Bài 1

Phương trình đường thẳng

Bài 1:Lập phương trình đường thẳng (d) trong

các trường hợp sau : 1) (d) đi qua điểm M(1,0,1) vμ nhận

) 3 , 2 , 3 (

2) (d) đi qua 2 điểm A(1,0,-1) vμ B(2,-1,3)

Bài 2: Trong không gian Oxyz lập phương trình tổng quát của các giao tuyến của mặt phẳng (P) : x-3y+2z-6=0 vμ các mặt phẳng toạ độ

Bài 3: Viết phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm M(2,3,-5) vμ song song với

đường thẳng (d) có phương trình

( )

⎩

⎨

⎧

= +

ư +

=

ư +

ư

0 3 2 3

0 7 2 3

:

z y x

z y x d

Bài 4: Cho đường thẳng (D) vμ mặt phẳng (P) có phương trình lμ :

( )

⎩

⎨

⎧

= + + +

= + +

ư

0 7 3

2

0 1 4 3

:

z y x

z y x

Tìm phương trình chính tắc của đường thẳng (t)

đi qua A(1,1,1) song song với mặt phẳng (P) vμ vuông góc với đường thẳng (D)

Bài 5: Cho mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A(3,0,0), B(0,6,0), C(0,0,9) Viết phương trình tham số của đường thẳng (d) đi qua trọng tâm tam giác ABC vμ vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác đó

Bài 2 Chuyển dạng phương trình

đường thẳng

Bài 1:Tìm véc tơ chỉ phương của các đường

thẳng sau 1)

3

1 4

2 3

1 : ) ( xư = y+ = z+

d

2) ( )

⎩

⎨

⎧

= +

ư

ư

= + +

ư

0 6 4

2

0 10 4 :

z y x

z y x d

Bài 2:Cho đường thẳng (d) có phương trình :

( )

⎩

⎨

⎧

= +

ư

ư

= + +

ư

0 6 4

2

0 10 4 :

z y x

z y x

tham số của đường thẳng đó

Bài3:Cho đường thẳng (d) có phương trình :

( )

⎩

⎨

⎧

= +

ư

ư

= + +

ư

0 6 4

2

0 10 4

:

z y

x

z y

x

chính tắc của đường thẳng đó

Bài4:Cho đường thẳng (d) có phương trình :

( ) , t R

2

1

2

2

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

+

=

+

=

ư

=

t z

t y

t

x

tổng quát của đường thẳng đó

Bài5:Lập phương trình tham số, chính tắc vμ

tổng quát của đường thẳng (d) đi qua điểm

A(2,1,3) vμ vuông góc với mặt phẳng (P) trong

các trường hợp sau:

1) (P): x+2y+3z-4=0

t t z

t t y

t t x

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

+

ư

ư

=

ư +

=

+ +

=

2 1 2 1

2 1

2 1

, t 5

2 4

3 4

t z

t y

t x

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

ư

=

+

=

+

ư

=

2 1 2 2

1

, t 3

2

1

Bài 6:Lập phương trình tham số, chính tắc vμ

tổng quát của đường thẳng (d) đi qua điểm

A(1,2,3) vμ song song với đường thẳng (D) cho

bởi :

t z

t y

t x

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

+

ư

=

ư

=

+

=

t 3 3

2 2

2) ( )

⎩

⎨

⎧

= + +

=

ư +

0 1 4

0 1 :

z x

y x

D

Bài 7:Lập phương trình tham số, chính tắc vμ

tổng quát của đường thẳng (d) đi qua điểm

A(1,2,3) vμ vuông góc với 2 đường thẳng :

( )

⎩

⎨

⎧

=

ư +

=

ư +

0 3 2

0 2 2

:

1

z

x

y

x

⎩

⎨

⎧

= +

ư

ư

= + +

ư

0 6 4

2

0 10 4 :

2

z y x

z y x d

Bài8:Trong không gian Oxyz, lập phương trình

tham số, chính tắc vμ tổng quát của đường thẳng

(d) đi qua điểm A(3,2,1), song song với mặt

phẳng (P) vμ vuông góc với đường thẳng Δ

Biết mặt phẳng

(P): x+y+z-2=0 vμ

⎩

⎨

⎧

= + +

=

ư + Δ

0 1 4

0 1 :

) (

z y

y x

Bài 3

Vị trí tương đối của đường thẳng

vμ mặt phẳng

Bài1: Xét vị trí tương đối của đường thẳng (d)

vμ mặt phẳng (P) ,biết:

1) ( ) , t R

2 3

1

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧ +

=

ư

=

+

=

t z

t y

t x

2) ( ) , t R

1 9

4 12

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧ +

=

+

=

+

=

t z

t y

t x

3) ( )

0 5

0 10 6 3 2 :

⎩

⎨

⎧

= + + +

=

ư + +

z y x

z y x

0 1

0 3 :

⎩

⎨

⎧

=

ư

=

ư + +

y

z y x

Bài 2: hãy tính số đo góc tạo bởi đường thẳng

(d) vμ mặt phẳng (P) cho bởi :

1

3 9

4 12

t z

t y

t x

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧ +

=

+

=

+

=

.vμ

( ) ( t , )

3 2

1

2 2

1

R t t

z

t y

t x

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

ư

=

+

=

+

ư

=

2) ( )

0 5

0 10 6 3 2 :

⎩

⎨

⎧

= + + +

=

ư + +

z y x

z y x d

( ) 1 2 ( t , )

2

1 2

2 1

R t t

z

t y

t t x

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

ư

=

+

ư

=

ư

ư

=

3) ( ) , t R

2 2 2

2 1

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧ +

=

+

ư

=

+

=

t z

t y

t x

Bài 3: (ĐHNN_TH-98): Cho mặt phẳng (P) vμ

đường thẳng (d) có phương trình (P) :2x+y+z=0

vμ ( )

3

2 1

2

1 :

ư

+

=

=

x

1) Tìm toạ độ giao điểm A của (d) vμ (P) 2) Lập phương trình đường thẳng (d1) qua A vuông góc với (d) vμ nằm trong mặt phẳng (P)

Bài 4: (ĐH Khối A-2002): Trong không gian 0xyz ,cho mặt phẳng (P) vμ đường thẳng (dm) có phương trình : (P) :2x-y+2=0 ,

( )

0 2 4 ) 1 2 (

0 1 )

1 ( ) 1 2 ( :

⎩

⎨

⎧

= + + + +

=

ư +

ư + +

m z m mx

m y m x

m

để (dm)//(P)

Bài 4

Vị trí tương đối của hai

đường thẳng

Bài 1: sử dụng tích hỗn tạp xác định vị trí tương

đối của hai đường thẳng (d1) vμ (d2) có phương

trình cho bởi:

t z

t y

t x

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

+

=

+

ư

=

+

ư

=

t 4 6

3 2

2 3 :

⎩

⎨

⎧

= +

ư

=

ư +

0 15

0 19 4

:

2

z x

y x d

t z

t y

t x

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

+

ư

=

+

=

+

=

t 3 3 2

2 1 :

1 3

2 3

2 :

2

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

+

=

+

ư

=

+

=

u z

u y

u x d

3) ( )

0 1

0 1 2

:

1

⎩

⎨

⎧

= +

ư +

= + +

z y x

y x

0 1 2

0 3 3

:

2

⎩

⎨

⎧

= +

ư

= +

ư +

y x

z y x d

Bài 2: Trong không gian 0xyz ,cho hai đường

thẳng (d1),(d2) có phương trình cho bởi :

( )

5

1

2 5

:

1

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

ư

=

ư

=

+

=

t

z

t

y

t x

t z

t y

t x

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

ư

=

ư

ư

=

+

=

1 1

1

1

2 t, t

1 3

2 3 :

1) Chứng tỏ rằng hai đường thẳng (d1),(d2) song

song với nhau

2) Viết phương trình đường thẳng (d) song song

,cách đều (d1),(d2) vμ thuộc mặt phẳng chứa

(d1),(d2)

Bài 3: Cho hai đường thẳng (d1),(d2) có phương

trình cho bởi :

( )

4

9 1

5 3

7

:

ư

=

ư

ư

=

x

4

18 1

4 3

:

2

+

=

ư

+

x d

1) Chứng tỏ rằng hai đường thẳng (d1),(d2) song

song với nhau

2) Viết phương trình đường thẳng (d) song song

,cách đều (d1),(d2) vμ thuộc mặt phẳng chứa

(d1),(d2)

Bài 4: Trong không gian 0xyz ,cho hai đường

thẳng (d1),(d2) có phương trình cho bởi :

4 6

2

2 3

:

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

+

=

+

ư

=

+

ư

=

t z

t y

t x

0 15

0 19 4

:

2

⎩

⎨

⎧

= +

ư

=

ư +

z x

y x d

1) Chứng tỏ rằng hai đường thẳng (d1),(d2) cắt

nhau

2) Viết phương trình đường phân giác của

(d1),(d2)

Bài5: Trong không gian 0xyz ,cho hai đường

thẳng (d1),(d2) có phương trình cho bởi :

( )

3

4 1

2 2

1 :

1

ư

=

+

=

ư

x

3 2

1 :

t z

t y

t x

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

+

ư

=

ư

=

+

ư

=

1) Chứng tỏ rằng hai đường thẳng (d1),(d2) cắt nhau

2) Viết phương trình đường phân giác của (d1),(d2)

Bài 6: Trong không gian 0xyz ,cho hai đường

thẳng (d1),(d2) có phương trình cho bởi :

( )

1

1 :

1

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

ư

=

=

ư

=

z

t y

t x

t z

t y

t x

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=

+

=

=

1 1

1

1

2 1 t, t

2 :

1) Chứng tỏ rằng hai đường thẳng (d1),(d2) chéo nhau

2) Viết phương trìnhmặt phẳng(P) song song ,cách đều (d1),(d2)

Bài 7: Trong không gian 0xyz ,cho hai đường

thẳng (d1),(d2) có phương trình cho bởi :

( )

⎩

⎨

⎧

= +

= + +

0 10 4z -y

0 23 8z x :

0 2 2

0 3 2 :

2

⎩

⎨

⎧

= + +

=

ư

ư

z y

z x d

1) Chứng tỏ rằng hai đường thẳng (d1),(d2) chéo nhau

2) Viết phương trìnhmặt phẳng(P) song song, cách đều (d1),(d2)

Bài8: Trong không gian 0xyz ,cho hai đường

thẳng (d1),(d2) có phương trình cho bởi :

( )

3

3 2

2 1

1 :

1

ư

=

ư

=

x

0 5 3 2

0 2

:

2

⎩

⎨

⎧

=

ư +

ư

=

ư +

z y x

z y x d

1) Chứng tỏ rằng hai đường thẳng (d1),(d2) chéo nhau

2) Viết phương trình mặt phẳng(P) song song, cách đều (d1),(d2)

Bài 5 Hai đường thẳng đồng phẳng vμ

bμi tập liên quan

Bài 1: (ĐHBK-TPHCM-93): Viết phương trình

mặt phẳng (P) chứa (d1),(d2) ,biết:

( )

2

3 2

1 3

1 :

ư

=

ư

=

x

2

3 1

1 1

:

2

ư

=

ư

x d

Bài 2: (ĐHSPII-2000): Cho điểm A(1,-1,1) vμ hai đường thẳng (d1),(d2) có phương trình cho bởi :

( )

⎩

⎨

⎧

= +

= + 0 1 y -2x

0 3 z -y -3x :

3

2 1 :

t z

t y

t x

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

ư

=

ư

ư

=

=

CMR (d1),(d2) vμ điểm A cùng thuộc mặt

phẳng

Bài 3: Cho hai đường thẳng (d1),(d2) có phương

trình cho bởi :

( )

⎩

⎨

⎧

=

ư +

= +

+

0 1 y

-x

0 1 y

2x

:

d1

0 1 2

0 3 3

:

2

⎩

⎨

⎧

=

ư

ư

= +

ư +

y x

z y x d

1) CMR hai đường thẳng đó cắt nhau

2) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng

(P) chứa (d1),(d2)

3) Viết phương trình đường phân giác

của(d1),(d2)

Bài 4: Cho hai đường thẳng (d1),(d2) có phương

trình cho bởi : ( )

1

1 2

1 1

2 :

1

ư

=

ư

=

x

( ) (t )

3 1 2

2 1 :

t z

t y

t x

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

+

ư

=

+

=

+

=

1) CMR hai đường thẳng đó cắt nhau.Xác định

toạ độ giao điểm của nó

2) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng

(P) chứa (d1),(d2)

3) Viết phương trình đường phân giác

của(d1),(d2)

Bài5: cho hai đường thẳng (d1),(d2) có phương

trình cho bởi :

( )

3

2 4

1 1

3

:

1

ư

=

+

=

x

0 3

0 2 4

:

2

⎩

⎨

⎧

=

ư

=

ư

ư

z x

y x d

1) Chứng tỏ rằng hai đường thẳng (d1),(d2) song

song với nhau

2) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng

(P) chứa (d1),(d2)

3) Viết phương trình đường thẳng (d) trong (P)

song song cách đều (d1),(d2)

Bài 6

Hai đường thẳng chéo nhau vμ

bμi tập liên quan

Bài 1: (ĐHNN-96): cho hai đường thẳng

(d1),(d2) có phương trình cho bởi :

3 4

2 4

3 7

:

1

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

+

=

ư

=

+

ư

=

t z

t y

t x

t z

t y

t x

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

ư

ư

=

+

ư

=

+

=

1 1

1

1

2 t, t

12

2 9

1 :

1) Chứng tỏ rằng hai đường thẳng (d1),(d2) chéo

nhau

2) Viết phương trình đường thẳng vuông góc

chung của (d1),(d2)

Bài 2: (ĐHTCKT-96): Trong không gian 0xyz , cho hai đường thẳng (d1),(d2) có phương trình cho bởi : (d1): x=-y+1=z-1, (d2): -x+1=y-1=z Tìm toạ độ điểm A1 thuộc (d1) vμ toạ độ điểm

A2 thuộc (d2) để đường thẳng A1A2 vuông góc với (d1) vμ vuông góc với (d2)

Bài 3: (ĐH L 1996) Cho hai đường thẳng

(d1),(d2) có phương trình cho bởi :

( )

1

1 :

1

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

ư

=

=

ư

=

z

t y

t x

t z

t y

t x

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=

+

=

=

1 1

1

1

2 1 t, t

2 :

1) Chứng tỏ rằng hai đường thẳng (d1),(d2) chéo nhau.Viết phương trình mặt phẳng (P),(Q) song song với nhau vμ lần lượt chứa (d1),(d2) 2) Tính khoảng cách giữa (d1),(d2)

Bài 4: (ĐHTS-96): Cho hai đường thẳng

(d1),(d2) có phương trình cho bởi :

( ) (t R)

1 2

2 3

3 1 :

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

ư

=

+

ư

=

+

ư

=

z

t y

t x

0 12 2 5

0 8 2 3 :

2

⎩

⎨

⎧

=

ư +

=

ư

ư

z x

y x d

1) Chứng tỏ rằng hai đường thẳng (d1),(d2) chéo nhau Tính khoảng cách giữa (d1),(d2)

2) Viết phương trình đường thẳng vuông góc chung của (d1),(d2)

Bài 5: : (PVBC 99) Cho hai đường thẳng

(d1),(d2) ,biết:

( )

1

2 3

1 2

1 :

1

ư

=

ư

=

x

2 5

2 2

2 :

+

=

x d

1) Chứng tỏ rằng hai đường thẳng (d1),(d2) chéo nhau

2) Viết phương trình đường thẳng vuông góc chung của (d1),(d2)

Bài 6: (ĐHSPQui Nhơn-D-96): cho hai đường

thẳng (d1),(d2) ,biết:

: ( )

⎩

⎨

⎧

=

ư +

= +

0 4 y

-x

0 y x :

d1

2

3 1 :

t z

t y

t x

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧ +

=

ư

=

+

=

1) Chứng tỏ rằng hai đường thẳng (d1),(d2) chéo nhau

2) Tính khoảng cách giữa (d1),(d2)

Bài 7: : cho hai đường thẳng (d1),(d2) ,biết:

( )

1

9 2

3 1

7 :

ư

=

ư

=

x d

( )

3

1 2

1 7

3 :

2

ư

=

ư

=

ư

x d

1) Chứng tỏ rằng hai đường thẳng (d1),(d2) chéo nhau

2) Viết phương trình đường thẳng vuông góc

chung của (d1),(d2)

Bài 8: (ĐH Huế 1998) Cho hai đường thẳng

(d1),(d2) có phương trình cho bởi :

( )

1

1

2 2

1 1

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=

+

ư

=

+

=

z

t y

t x

t z

t y

x

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

ư

=

+

=

=

2 1 2

2

2 t , t

3 1

1 :

1) Chứng tỏ rằng hai đường thẳng (d1),(d2) chéo

nhau

2) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa (d1) vμ

song song với (d2)

3) Tính khoảng cách giữa (d1),(d2)

Bài 9: (ĐHNN-97): Cho hai đường thẳng

(d1),(d2) có phương trình cho bởi :

( )

⎩

⎨

⎧

= + +

= +

+

0 1 y

-x

0 2z y

x

:

d1

2 5

2 2 :

t z

t y

t x

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧ +

=

ư

=

+

ư

=

1) Chứng tỏ rằng hai đường thẳng (d1),(d2) chéo

nhau

2) Tính khoảng cách giữa (d1),(d2)

3) Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua

M(1,1,1) vμ cắt đồng thời (d1),(d2)

Bài 10: (ĐHKT-98): Cho tứ diện SABC với các

đỉnh S(-2,2,4), A(-2,2,0) ,B(-5,2,0) ,C(-2,1,1)

Tính khoảng cách giữa hai cạnh đối SA vμ SB

Chương 3

Điểm, đường thẳng vμ

Mặt Phẳng Bài 1

Đường thẳng đi qua một điểm cắt

cả hai đường thẳng cho trước

Bài1: Viết phương trình đường thẳng đi qua

A(1,2,3) vμ cắt cả hai đường thẳng

1) ( )

⎩

⎨

⎧

= +

= + +

0 10 4z

-y

0 3 8z x

:

0 2 2

0 3 2 :

2

⎩

⎨

⎧

= + +

=

ư

ư

z y

z x d

2) ( )

3

3 2

2 1

1

:

1

ư

=

ư

=

x

d

0 5 3 2

0 2

:

2

⎩

⎨

⎧

=

ư +

ư

=

ư +

z y x

z y x

d

Bài 2: Viết phương trình đường thẳng đi qua

gốc toạ độ vμ cắt cả hai đường thẳng:

t z

t y

t x

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

+

ư

=

+

=

+

=

t 3 3 2

2 1 :

1 3

2 3

2 :

2

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

+

=

+

ư

=

+

=

u z

u y

u x d

Bài 3: Viết phương trình đường thẳng (d) song song với đường thẳng (Δ) vμ cắt cả hai đường

0 1

0 2 :

⎩

⎨

⎧

= + +

ư

= + + Δ

z y x

z y x

t z

t y

t x

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=

ư

=

+

= t 2 1

2 :

0 3

0 2 2 :

2

⎩

⎨

⎧

=

ư

=

ư +

y

z x d

Bài 4: (ĐHDL-97): Viết phương trình đường thẳng đi qua A(1,-1,0) vμ cắt cả hai đường thẳng:( )

2

1 1

1 1

:

1

ư

=

+

x

1 2 1

1 :

2

z y x

Bài 5: (ĐHTS-99): Viết phương trình đường thẳng đi qua A(1,-1,0) vμ cắt cả hai đường thẳng:

( )

⎩

⎨

⎧

= +

= 0 12 -2z 5x

0 8 -2y -3x :

2

2 3

3 1 :

t z

t y

t x

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

ư

=

ư

ư

=

+

ư

=

Bài 6: Viết phương trình đường thẳng (d) vuông góc với (P) :x+y+z-2=0 vμ cắt cả hai đường thẳng (d1) vμ (d2):

t z

t y

t x

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=

ư

=

+

= t 2 1

2 :

0 3

0 2 2 :

2

⎩

⎨

⎧

=

ư

=

ư +

y

z x d

Bài 7: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua gốc toạ độ vμ cắt cả 2 đường thẳng (d1) vμ (d2):

t z

t y

t x

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

ư

=

+

=

+

=

t 3 3 2

1 2 :

0 3 1 3

2 3

2 :

2

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=

ư +

=

+

ư

=

+

=

u z

u y

u x d

Bài 2

Đường thẳng đi qua một điểm vuông góc với cả hai đường

thẳng cho trước

Bài 1: Viết phương trình đường thẳng đi qua

A(1,2,3) vμ cắt cả hai đường thẳng (d1) ,(d2): 1) ( )

⎩

⎨

⎧

= +

= + +

0 10 4z -y

0 3 8z x :

0 2 2

0 3 2 :

2

⎩

⎨

⎧

= + +

=

ư

ư

z y

z x d

2) ( )

0 12 2 5

0 8 2 3

:

1

⎩

⎨

⎧

=

ư +

=

ư

ư

z x

y x

d

2

2 3

3 1 :

t z

t y

t x

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

ư

=

ư

ư

=

+

ư

=

Bài 2: (ĐHTCKT 1999) Viết phương trình

đường thẳng (d) đi qua A(1,1,-2) song song với

mặt phẳng (P) vμ vuông góc với đường thẳng

(d):

( ) (P):x-y-z-1 0

3

2 1

1 2

1

d

Bài 3

Đường thẳng đi qua một điểm

vuông góc với một đường vμ

cắt một đường thẳng khác

Bài 1: (ĐHSP TPHCM-95): Viết phương trình

đường thẳng đi qua A(0,1,1) vμ vuông góc với

đường thẳng (d1) vμ cắt (d2) ,biết :

( )

1 1

2 3

1

:

1

z y

x

0 1

0 2 :

2

⎩

⎨

⎧

= +

= +

ư +

x

z y x d

Bài 2: Viết phương trình đường thẳng đi qua

A(1,1,1) vμ vuông góc với đường thẳng (d1) vμ

cắt (d2) ,biết :

( )

⎩

⎨

⎧

= +

= +

+

0 1

-z

y

0 3 -z y

x

:

0 1

0 9 2 2 :

2

⎩

⎨

⎧

= +

ư

= +

ư

ư

z y

z y x d

Bài 3: Viết phương trình đường thẳng cắt cả ba

đường thẳng (d1) (d2) , (d3)vμ vuông góc với

vectơ u(1 , 2 , 3), biết:

( )

⎩

⎨

⎧

=

+

= +

0

1

z

0 1

y

-x

:

0

0 1 :

2

⎩

⎨

⎧

=

=

ư +

z

y x d

1

0 1 :

3

⎩

⎨

⎧

=

=

ư

ư

z

y

x

d

Bài 4: Tìm tất cả các đường thẳng cắt (d1), (d2)

dưới cùng một góc , biết:

( )

⎩

⎨

⎧

=

=

a

z

0 y

-mx

:

⎩

⎨

⎧

ư

=

= +

a z

y mx d

Bài 5: (ĐHTL-97):Viết phương trình đường

thẳng đi qua A(3,-2,-4) song song với mặt phẳng

(P) :3x-2y-3z-7=0 vμ cắt đường thẳng (d) biết:

2

4 3

2

ư

+

=

x

d

Bài 4:

Hình chiếu vuông góc của

điểm lên mặt phẳng

Bài 1: Tìm toạ độ điểm đối xứng của A(-2,1,3)

qua (P) cho bởi:

1) (P): 2x+y-z-3=0

t t z

t t y

t t x

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

+ +

ư

=

ư +

=

ư +

=

2 1 2 1

2 1

2 1

t , t 1

2 2

1 :

Bài 2: (ĐHKTCN-97): Cho điểm A(1,2,3) vμ mặt phẳng (P) có phương trình :2x-y+2z-3=0 1) Lập phương trình mặt phẳng qua A vμ song song với (P)

2) Gọi H lμ hình chiếu vuông góc của A lên (P) Xác định toạ độ của H

Bài3: (ĐHGTVTTPHCM-99): Cho ba điểm A(1,1,2),B(-2,1,-1) ,C(2,-2,-1) Xác định toạ độ hình chiếu vuông góc của điểm O lên mặt phẳng (ABC)

Bài 4: (ĐHTCKT-2000): Cho điểm A(2,3,5) vμ mặt phẳng (P) có phương trình :2x+3y+z-17=0 1) Lập phương trình đường thẳng (d) qua A vμ vuông gócvới (P)

2) CMR đường thẳng (d) cắt trục 0z , tìm giao

điểm M của chúng

3) Xác định toạ độ điểm A1 đối xứng với A qua (P)

Bài 5: Cho mặt phẳng (P) vμ đường thẳng (d) có phương trình :

0 7 3

6

0 27 4 3

:

⎩

⎨

⎧

= +

ư +

=

ư +

ư

z y x

z y x d

1) Xác định toạ độ giao điểm A của (d) vμ (P) 2) Lập phương trình đường thẳng (d1) đối xứng với (d) qua (P)

Bài 6: Cho mặt phẳng (P) vμ đường thẳng (d) có phương trình :

(P): 2x+y+z+4=0 vμ ( )

0 7 2 3

0 3 2 :

⎩

⎨

⎧

=

ư

ư

=

ư +

z x

y x d

1) Xác định toạ độ giao điểm A của (d) vμ (P) 2) Lập phương trình đường thẳng (d1) đối xứng với (d) qua (P)

Bài 7: (ĐHQG 1998) Cho các điểm A(a,0,0); B(0,b,0); C(0,0,c) (a,b,c dương ) >Dựng hình hộp chữ nhật nhận O,A,B,C lμm 4 đỉnh vμ gọi D

lμ đỉnh đối diện với đỉnh O của hình hộp đó 1) Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (ABD) 2) Tính toạ độ hình chiếu vuông góc của C xuống mặt phẳng (ABD) Tìm điều kiện đối với a,b,c để hình chiếu đó nằm trong mặt phẳng (xOy)

Bài 5:

Hình chiếu vuông góc của đường

thẳng lên mặt phẳng

Bài 1: (ĐHQG TPHCM 1998) Trong không gian

với hệ trục toạ độ trực chuẩn 0xyz ,cho đường

thẳng (d) vμ mặt phẳng (P) có phương trình :

(P):x+y+z-3=0 vμ ( )

0 3 2

0 3 :

⎩

⎨

⎧

=

ư

=

ư +

z y

z x

phương trình hình chiếu vuông góc của đường

thẳng (d) lên (Q)

Bài 2: Lập phương trình hình chiếu vuông góc

của giao tuyến (d) của hai mặt phẳng

3x-y+z-2=0 vμ x+4y-5=0 lên mặt phẳng 2x-z+7=0

Bài3: (ĐHMĐC-98) :Trong không gian với hệ

toạ độ trực chuẩn 0xyz cho đường thẳng (d) vμ

mặt phẳng (P) có phương trình :

3

4

4

:

ư

+

=

ư

x

Hãy viết phương trình chính tắc hình chiếu

vuông góc của (d) lên (P)

Bài4: Trong không gian 0xyz cho đường thẳng

(d) vμ mặt phẳng (Q) có phương trình :

( )

⎩

⎨

⎧

=

= +

0 2z

-x

0 3 -z 2y

-3x

:

d

t t z

t t

y

t t x

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

+

ư

ư

=

ư +

=

+ +

=

2 1 2 1

2 1

2 1

t , t 5

2 4

3

4

:

Lập phương trình hình chiếu vuông góc của

đường thẳng (d) lên (Q)

Bài5: Cho đường thẳng (d) vμ mặt phẳng (Q) có

phương trình :

( )

⎩

⎨

⎧

= +

= + +

0 3 -z

-2y

x

0 1 z y

-2x

:

Hãy viết phương trình chính tắc hình chiếu

vuông góc (d1) của (d) lên (P)

Bài6: (ĐH Cμn Thơ 1998) Trong không gian với

hệ toạ độ vuông góc 0xyz cho đường thẳng (d)

vμ mặt phẳng (P) có phương trình :

2

2 1

1

:xư = yư = zư

Hãy viết phương trình chính tắc hình chiếu

vuông góc (d1) của (d) lên (P)

Bài7: (HVQY-95): Trong không gian với hệ toạ

độ vuông góc 0xyz cho đường thẳng (d) vμ mặt

phẳng (P) có phương trình :

:xư = yư = zư

1) Hãy viết phương trình chính tắc hình chiếu vuông góc (d1) của (d) lên (Oxy)

2) CMR khi m thay đổi đường thẳng (d1) luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định trong mặt phẳng 0xy

Bài8: (ĐHQG-98): Trong không gian với hệ toạ

độ vuông góc 0xyz cho mặt phẳng (P) vμ hai

đường thẳng (d1) vμ (d2) có phương trình : (P):x+y-z+1=0

( )

⎩

⎨

⎧

= +

= + 0 2y x

0 1 z -2y :

0 2

0 12 3

:

2

⎩

⎨

⎧

= +

ư

= +

ư

z x

z y d

1) Hãy viết phương trình hình chiếu vuông góc (Δ1), (Δ2) của (d1), (d2) lên (P) Tìm toạ độ giao điểm I của (d1), (d2)

2) Víêt phương trình mặt phẳng ( )P1 chứa (d1)

vμ vuông góc với (P)

Bμi 6:

Hình chiếu vuông góc của

điểm lên đường thẳng

Bài 1: cho điểm A(1,2,3) vμ đường thẳng (d) có

0 1

0 9 2 2 :

⎩

⎨

⎧

= +

ư

= +

ư

ư

z y

z y x

toạ độ hình chiếu vuông góc của A lên (d) Từ

đó tìm toạ độ điểm A1 đối xứng với A qua (d)

Bài2: cho điểm A(1,2,-1) vμ đường thẳng (d) có

t z

t y

t x

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

ư

=

+

=

+

= t 3 3 2

1 2

toạ độ hình chiếu vuông góc của A lên (d) Từ

đó tìm toạ độ điểm A1 đối xứng với A qua (d)

Bài3: cho điểm A(2,1,-3) vμ đường thẳng (d) có

2

2 1

1 :

ư

+

=

ư

=

x

định toạ độ hình chiếu vuông góc của A lên (d) .Từ đó tìm toạ độ điểm A1 đối xứng với A qua (d)

Bài 4: (ĐHhuế /A,B phân ban 98): Trong không gian 0xyz cho điểm A(2,-1,1) vμ đường thẳng (d) có phương trình : ( )

0 2 2

0 4 :

⎩

⎨

⎧

= +

ư

ư

=

ư +

z y x

z y d

1) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A vμ vuông góc (d)

2) Xác định toạ độ điểm B đối xứng với A qua (d)

Bài 5: (Đề 60-Va): Lập phương trình đường thẳng qua A(3,2,1) vμ vuông góc với đường

(d)

1

3 4

2

:x = y = z+

vμ cắt với đường thẳng đó

Bài 6: (ĐHTM-2000): Lập phương trình đường

thẳng qua A(2,-1,0) vμ vuông góc với đường

0 1 2

0 2 5

:

⎩

⎨

⎧

= + +

ư

= + + +

z y x

z y x d

vμ cắt với đường thẳng đó

Bài7: (HV BCVT-2000): Cho 2 đường thẳng (Δ)

vμ (d) có phương trình :

( )

3

1 2

1 7

3

ư

ư

1

9 2

3 1

7 :

ư

ư

=

ư

=

x d

Lập phương trình đường thẳng (d1) đối xứng với

(d) qua (Δ)

Bài 8: (ĐHHH-1999): Trong không gian cho 2

đường thẳng (d1),(d2) :

5 4

2 1 : ) (d 0 1

0 1 2

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧ +

=

+

=

=

⎩

⎨

⎧

=

ư +

ư

= + +

t z

t y

t x z

y

x

y

x

d

1) (d1) , (d2) có cắt nhau hay không

2) Gọi B,C lần lượt lμ các điểm đối xứng của

A(1,0,0) qua (d1),(d2) Tính diện tích tam

giác ABC

Bài 9: (ĐHTM-1999): Trong không gian cho

đường thẳng (d1) vμ mặt phẳng (P) :

0 17 2 2

0 3 2 2

:

⎩

⎨

⎧

=

ư

ư

ư

=

ư

ư

ư

z y x z

y

x

z y

x

d

1) Tìm điểm đối xứng của điểm A(3,-1,2) qua

đường thẳng (d)

2) Viết phương trình hình chiếu vuông góc của

đường thẳng (d) trên mặt phẳng (P)

Bài10: Trong không gian 0xyz cho bốn đường

thẳng (d1), (d2), (d3), (d4) có phương trình :

( )1 : 0

⎩

⎨

⎧

=

=

ư

h

z

y

mx

⎩

⎨

⎧

ư

=

=

ư

h z

y mx

( )3 : 0

⎩

⎨

⎧

=

= +

h

z

y

mx

⎩

⎨

⎧

ư

=

= +

h z

y mx d

CMR các điểm đối xứng A1, , A2, , A3,

A4 của A bất kì trong không gian qua (d1), (d2),

(d3), (d4) lμ đồng phẳng Lập phương trình mặt

phẳng chứa chúng

Bμi 7:

Điểm vμ mặt phẳng

Bài 1: cho hai điểm A(1,0,2) ;B(2,-1,3) vμ mặt

phẳng (P): x-2y+z-4=0.Tìm điểm M thuộc (P)

sao cho AM+BM nhỏ nhất

Bài 2: cho hai điểm A(1,1,0) ;B(0,-1,1) vμ mặt phẳng (P): x-2y+z-4=0.Tìm điểm M thuộc (P) sao cho AM+BM nhỏ nhất

Bài 3: (ĐHhuế /A hệ chưa phân ban 97):Trong không gian với hệ toạ độ 0xyz cho mặt phẳng (P): 2x-y+z+1=0 vμ hai điểm A(3,1,0), B(-9,4,9) .Tìm toạ độ điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho

MB

MAư lμ lớn nhất

Bài 4: (ĐHQG-2000):Cho mặt phẳng (P):x+y+z-1=0 vμ hai điểm A(1,-3,0) ,B(5,-1,-2) 1) Chứng tỏ rằng đường thẳng đi qua A,B cắt mặt phẳng (P) tại một điểm I, tìm toạ độ

điểm đó 2) Tìm toạ độ điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho MAưMB đạt giá trị lớn nhất

Bài 5: (ĐHMĐC-97):

cho ba điểm A(1,4,5) B(0,3,1) ,C(2,-1,0) vμ mặt phẳng (P): 3x-3y-2z-15=0.Gọi G lμ trọng tâm ΔABC CMR điều kịên cần vμ đủ để M nằm trên mặt phẳng (P) có tổng các bình phương khoảng cách đến các điểm A,B,C nhỏ nhất lμ điểm M phải lμ hình chiếu vuông góc của điểm G trên mặt phẳng (P) Xác định toạ độ của điểm M đó

Bài 6: Cho mặt phẳng (P) 3x+3y+mz-6-m=0 1) CMR (P) luôn đi qua một điểm cố định M, Tìm toạ độ của M

2) Giả sử (P) cắt 0x,0y,0z theo thứ tự tại A,B,C

• Tính 0A,0B,0C để tứ diện 0ABC đạt giá trị nhỏ nhất

• Tính 0A,0B,0C để 0A+0B+0C lμ nhỏ nhất

Bμi 8:

Điểm vμ đường thẳng

Bài 1: Tìm trên đường thẳng (d) điểm

M(xM,yM,zM) sao cho x2M +y2M +z2M nhỏ nhất ,biết:

t z

t y

t x

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

ư

=

ư

=

+

=

t 3

2 1

2 :

2) ( )

5

4 3

1 2

3

ư

x d

0 7 3

2

0 1 4 3

:

⎩

⎨

⎧

= + + +

= + +

ư

z y x

z y x d

Bài 2: Cho đường thẳng (d) có phương trình :

0 5

0 3 :

⎩

⎨

⎧

=

ư +

=

ư

ư

ư

y x

z y x

cho AM+BM nhỏ nhất khi :