Phương trình mũ hay Phương trình mũ hay Phương trình mũ hay Phương trình mũ hay Phương trình mũ hay Phương trình mũ hay Phương trình mũ hay Phương trình mũ hay Phương trình mũ hay Phương trình mũ hay Phương trình mũ hay Phương trình mũ hay Phương trình mũ hay Phương trình mũ hay Phương trình mũ hay Phương trình mũ hay Phương trình mũ hay Phương trình mũ hay Phương trình mũ hay
Trang 1Tháng 11/2012 GV: Đinh Quang Đạo
Chủ đề 3: phơng trình, bất phơng trình
mũ và lôgarit
1.Phơng pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số:
3 2 2
1
2
2
+
−
+ +
x x x
x
x
H
ớng dẫn :
Ta có log ( 1 ) log ( 2 2 2 3 ) 2 3 2
3
2
3 x +x+ − x − x+ = x − x+
) 3 2 2 ( log ) 3 2 2 ( ) 1 (
log ) 1
3 2
2 3
Xét hàm số f(t) =t+ log3t, với t > 0, ta có 0
3 ln
1 1 ) ( ' = + >
t t
f Suy ra hàm số f (t) đồng biến trên khoảng ( 0 ; +∞ ).
Suy ra f(x2 +x+ 1 ) = f( 2x2 − 2x+ 3 ) ⇔ (x2 +x+ 1 ) = ( 2x2 − 2x+ 3 ) ⇔x2 − 3x+ 2 = 0
=
=
⇔
2
1
x
x
Ví dụ 2: Giải bất phơng trình sau: 2 + 1 +2 −x1 ≥5
x
H
ớng dẫn :
Ta có : 2x+ 1 +2x x−1 ≥5 2 2 5 0
1
1 + − ≥
⇔ x+ x x− Xét hàm số ( )=2 + 1 +2 −x1 −5
x x
x
0 2 ln 2
1 2 ln
2
)
(
'
1 2
= x+ x x−
x x
Bảng biến thiên:
0 0
1 -1
+ ∞
-3
+ ∞
-3
+ ∞
0
- ∞
f(x)
f'(x)
x
≥
<
≤
−
⇔
1
0 1
0 )
x
x x
Vậy nghiệm của bất phơng trình là x∈[− 1 ; 0)∪[1 ; +∞)
2.Phơng pháp chuyển thành hệ:
Ví dụ 2: Giải các phơng trình:
a) 20102x + 2010x +12 =12 (HSG Tỉnh NA 2010-2011)
b)22x − 2x +6 =6; c) 3x = 2 log3( 2x+ 1 ) + 1 ;
H
ướ ng d ẫ n :
a)Đặt u = 2010x và v= 2010x+12, u>0,v>0
Trang 2Suy ra ⇔
=
−
= +
12
12
2
2
u v
v u
⇔
= +
− +
= +
0 ) 1 )(
(
12
2
v u v u
v
= +
−
= +
0 1
12
2
v u
v u
+
=
=
− +
1
0 11
2
u v
u u
+
=
−
=
⇔
2
1 5 3 2
1 5 3
v
u
Suy ra
2
1 5 3 log 2
1 5 3
x
Vậy nghiệm của phơng trình là
2
1 5 3 log2010 −
=
c)Đặt t = log (2 3 x+ 1) ta có hệ phơng trình: 3 2 1 3 2 3 2 3 2 1
x
u
u
x
Xét hàm số f x( ) 3 = −x 2x− 1, ta có: f x'( ) 3 ln 3 2; ''( ) 3 (ln 3) = x − f x = x 2 > ∀ 0, x
mà f '(0) ln 3 2 0; '(1) 3ln 3 2 0 = − < f = − > ;
suy ra f x'( ) 0 = có nghiệm duy nhất x0∈ (0;1).
Ví dụ 3.Giải phơng trình: log5( 3 + 3x + 1 ) = log4( 3x+ 1 )
H
ớng dẫn :
Đặt t = log5( 3 + 3x + 1 ) ⇒t = log4( 3x + 1 ),
và
=
+
= +
+
t x
t x
4
1
3
5 1 3
3
= +
= +
t t
4 1 3
5 2 3
= +
=
−
+
⇔
t x
t t
4 1 3
0 1 5
2 5
1 3
5
2 5
1 3 )
+
=
t t
t
4.Phơng pháp đổi biến số:
Ví dụ 5:Giải phơng trình: ( ) ( ) 23
1 10 1
10 log 3x log 3x x
=
−
−
Hớng dẫn:
1 10 1
10 log 3x log 3x x
=
−
−
3
2 1
10 1
⇔
3
2 3
1 10 3
1
10 log3 log3 =
−
⇔
x x
Đặt
x
t
3
log
3
1 10
= , với t > 0, ta đợc:
3
10 1 0
3 2 3
3
2
1= ⇔ 2 − − = ⇔ = +
t
Với
3
10
1 +
=
3
1 10 3
1
10 log3 = + ⇔ =
x
Bài tập:
Câu 1.Giải các phơng trình:
3 2
2
1
2
2
+
−
+ +
x x x
x
x x
; b)3x+ 6x = 2x;
Câu 2.Giải các phơng trình sau:
a)3x = 2x+ 1; b) 2003x + 2005x = 4006x+ 2 (HSG Tỉnh NA 2004) ;
Trang 3c) ) 2 2
2
3
(
3
2 x+ + x+ x− = (HSG Tỉnh NA 2005)
Câu 3 Giải phơng trình:
a)4x − ( 5 +x) 2x + 4 (x+ 1 ) = 0 ;
b) 4 ( 5 log ) 2 1 4 (log2 1 ) 0
2
Câu 4 Giải phơng trình:
a)
2
1 ) 7 2 8
(
logx+1 −x − x+ = ;
2
2 x+ + − x= x − x+ − ;
3 2
1 log
) 4 ( 3
2
1
−
+
− +
−
+
x
x x
x
x
Câu 6 Tìm m để phơng trình
a)
2 cos
2
x x m x
e x+ = + − có hai nghiệm thực phân biệt
b) log 2 2 log2 3 (log2 3 )
2 x− x− =m x− có nghiệm x∈[32 ; +∞)
Câu 7.Tìm m để bất phơng trình :
a) 4x −m 2x +m+ 3 ≤ 0 có nghiệm
b) log ( 2 ) 8 log ( 2 2 ) 10 0
4
2
2 x − x+m + x − x+m − ≤ nghiệm đúng với mọi x∈ [ 0 ; 2 ]
c) m 9 2x2−x − ( 2m+ 1 ) 6 2x2−x +m 4 2x2−x ≤ 0 nghiệm đúng với mọi ; )
2
1 [ ] 2
1
; ( −∞ − ∪ +∞
∈
d) log ( 4 ) log ( 2 1 ) 1
5
2
5 x + x+m − x + < nghiệm đúng với mọi x∈ ( 2 ; 3 );
Câu 8.Tìm m để phơng trình sau có ba nghiệm thực
4 log ( 2 3) 2 .log (2 2) 0
2 1 2 2
2
2
= +
− +
+
−
Câu 9.Giải các phơng trình:
log (x+ 6 x) log = x (Đặt t= log 3x); b)xlog 7 11 + 3 log 7x = 2x
c) log (73 x+ = 2) log (65 x+ 19);
Hớng dẫn:
Xét hàm số f x( ) log (7 = 3 x+ − 2) log (6 5 x+ 19), ta có :
5
7 2 6 19
Suy ra x= 1 là nghiệm dơng duy nhất của phơng trình
Với x≤ 0 ta có : log (73 x+ ≤ 2) 1 và log (65 x+ 19) log 19 1 > 5 > Suy ra phơng trình không có nghiệm với x≤ 0
Câu 10.Giải các phơng trình:
a) 2 2x − 2x + 6 = 6 b) log 2 log2 1 1
2 x+ x+ =
2ln ln( 2ln ) 0
3
x − x+ x− x+ x = (Đặt t= 3 x+ 2lnx)
Câu 11.Giải các phơng trình:
3
131 2 ( log 44 3 2
5
− +
+
−
=
+ ; b)3x = 2 log3( 2x+ 1 ) + 1
Câu 12.Giải phơng trình: log ( 2 2 ) 3 log 3 2 2 5
2
2 x+ + − x= x − x+ −
Trang 4Câu 13.Giải các phơng trình:
a)3 2 log 2x − 2x1 + log 2 3 − 8x2 = 0; b)
2
5 2
1 2
3 log log 3 =
5.Phơng pháp đổi biến không hoàn toàn:
Câu 14 Giải phơng trình:
a)4x − ( 5 +x) 2x + 4 (x+ 1 ) = 0 ; d)3 25x− 2 + ( 3x− 10 ) 5x− 2 + 3 −x= 0;
b) 4 ( 5 log ) 2 1 4 (log2 1 ) 0
2
3 2
1 log
) 4 ( 3
2
1
−
+
− +
−
+
x
x x
x
x
; g)( 2 ) log 2 ( 1 ) 4 ( 1 ) log3( 1 ) 16 0
6.Phơng pháp đa về cùng cơ số:
Câu 15 Giải phơng trình:
a)
2
1 ) 7 2 8
(
logx+1 −x − x+ = ; b)log (8 ) log ( 1 1 ) 2
2 1
2
2 −x + x+ + −x = ;
4
1 ) 3 (
log
2
1
2
8 4
1
2 1
2x− x +x− + x+ x− =
7.Phơng pháp phân tích thành nhân tử:
Câu 16.Giải phơng trình:
2 4
2
4 x+ x+ + x = + x+ + x+ x− ; b) 2 2 4.2 2 22 4 0
= +
−
c) 4x2 +x +21 −x2 =2(x+ 1 ) 2 +1;
Câu 17.Giải phơng trình:
a)8 3x + 3 2x = 24 + 6x ; b)12 3x + 3 15x − 5x+ 1 = 20
Câu 18.Giải bất phơng trình:
a) 4 2x− 15.2 2(x+ x+ 4 ) − 16 1 + x+ 4 ≤ 0
