MỤC LỤC MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1 1. Lý do chọn đề tài ............................................................................................ 1 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................. 2 2.1. Mục đích nghiên cứu ................................................................................... 2 2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................................. 2 3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu ...................................................................... 2 3.1. Đối tượng nghiên cứu.....................................................................................2 3.2. Phạm vi nghiên cứu........................................................................................2 4. Phương pháp nghiên cứu ................................................................................ 2 5. Cấu trúc của đề tài .......................................................................................... 2 CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ........................................ 3 1.1. Một số khái niệm ......................................................................................... 3 1.1.1. Phương pháp dạy học ............................................................................... 3 1.1.2. Kỹ năng – kỹ năng giải bài tập toán .......................................................... 3 1.2. Vị trí, vai trò của bài tập toán học trong quá trình dạy học .......................... 5 1.3. Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit trong chương trình 12 THPT. ........................................................................................................................... 6 1.3.1. Mục đích .................................................................................................. 6 1.3.2. Yêu cầu .................................................................................................... 6 1.3.3. Nội dung ................................................................................................... 7 1.3.3.1. Phương trình mũ .................................................................................... 7 1.3.3.2. Bất phương trình mũ .............................................................................. 7 1.3.3.3. Phương trình lôgarit ............................................................................... 7 1.3.3.4. Bất phương trình lôgarit......................................................................... 7 1.3.4. Thực trạng việc dạy và học phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit ở một số trường THPT .......................................................................................... 8 1.3.4.1. Điều tra đối với giáo viên ...................................................................... 8 1.3.4.2. Điều tra đối với học sinh ........................................................................ 9 CHƢƠNG 2: RÈN LUYỆN MỘT SỐ KĨ NĂNG GIẢI PHƢƠNG TRÌNH, BẤT PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT CHO HỌC SINH LỚP 12 THPT .............................................................................................................. 10 2.1. Một số giải pháp rèn luyện kĩ năng giải phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit .......................................................................................................... 10 2.2. Rèn luyện kĩ năng giải phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit .............. 10 2.2.1. Rèn luyện kĩ năng giải phương trình mũ ................................................. 10 2.2.2. Rèn luyện kĩ năng giải bất phương trình mũ ........................................... 19 2.2.3. Rèn luyện kĩ năng giải phương trình lôgarit ............................................ 32 2.2.4. Rèn luyện kĩ năng giải bất phương trình lôgarit ...................................... 44 CHƢƠNG 3: THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM .................................................. 54 3.1. Mục đích thực nghiệm ............................................................................... 54 3.2. Phương pháp thực nghiệm ......................................................................... 54 3.3. Nội dung thực nghiệm ............................................................................... 54 3.4. Đối tượng thực nghiệm .............................................................................. 54 3.5. Tổ chức thực nghiệm ................................................................................. 54 3.6. Kết quả thực nghiệm ................................................................................. 55 3.7. Kết quả rút ra từ thực nghiệm. ................................................................... 56 KẾT LUẬN ..................................................................................................... 57 TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................................. 58
Trang 1BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC
TRẦN THỊ HOÀI THU
RÈN LUYỆN MỘT SỐ KĨ NĂNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH,
BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT
CHO HỌC SINH LỚP 12 - THPT
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Sơn La, năm 2014
Trang 2BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC
TRẦN THỊ HOÀI THU
RÈN LUYỆN MỘT SỐ KĨ NĂNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH,
BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT
CHO HỌC SINH LỚP 12 - THPT
Chuyên ngành: Phương pháp dạy học Toán
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌCNgười hướng dẫn: ThS Nguyễn Hải Lý
Trang 3LỜI CẢM ƠN
Trong quá trình hoàn thành khóa luận này em đã nhận được sự giúp đỡ nhiệt tình của ban chủ nhiệm khoa Toán - Lý - Tin, trường Đại học Tây Bắc cùng các thầy cô giáo trong tổ bộ môn phương pháp, đặc biệt là sự hướng dẫn
tận tình của cô giáo Thạc sĩ Nguyễn Hải Lý để khóa luận được hoàn thành trong
thời gian sớm nhất
Bên cạnh đó em còn nhận được sự giúp đỡ nhiệt tình của các giáo viên và học sinh khối 12 của trường THPT Liễn Sơn - Lập Thạch - Vĩnh Phúc, cùng sự giúp đỡ nhiệt tình của các bạn sinh viên lớp K51 - Đại học sư phạm Toán
Qua đây em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới quý thầy cô giáo cùng toàn thể các bạn sinh viên, các em học sinh Chúc thầy cô, các bạn sinh viên và các em học sinh sức khỏe, thành công và hạnh phúc
Xin chân thành cảm ơn!
Người thực hiện
Trần Thị Hoài Thu
Trang 4BẢNG CÁC TỪ VIẾT TẮT
THPT : Trung học phổ thông STT : Số thứ tự
Trang 5MỤC LỤC
MỞ ĐẦU 1
1 Lý do chọn đề tài 1
2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 2
2.1 Mục đích nghiên cứu 2
2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu 2
3 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu 2
3.1 Đối tượng nghiên cứu 2
3.2 Phạm vi nghiên cứu 2
4 Phương pháp nghiên cứu 2
5 Cấu trúc của đề tài 2
CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 3
1.1 Một số khái niệm 3
1.1.1 Phương pháp dạy học 3
1.1.2 Kỹ năng – kỹ năng giải bài tập toán 3
1.2 Vị trí, vai trò của bài tập toán học trong quá trình dạy học 5
1.3 Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit trong chương trình 12- THPT 6
1.3.1 Mục đích 6
1.3.2 Yêu cầu 6
1.3.3 Nội dung 7
1.3.3.1 Phương trình mũ 7
1.3.3.2 Bất phương trình mũ 7
1.3.3.3 Phương trình lôgarit 7
1.3.3.4 Bất phương trình lôgarit 7
1.3.4 Thực trạng việc dạy và học phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit ở một số trường THPT 8
1.3.4.1 Điều tra đối với giáo viên 8
1.3.4.2 Điều tra đối với học sinh 9
Trang 6CHƯƠNG 2: RÈN LUYỆN MỘT SỐ KĨ NĂNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT CHO HỌC SINH LỚP 12-
THPT 10
2.1 Một số giải pháp rèn luyện kĩ năng giải phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit 10
2.2 Rèn luyện kĩ năng giải phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit 10
2.2.1 Rèn luyện kĩ năng giải phương trình mũ 10
2.2.2 Rèn luyện kĩ năng giải bất phương trình mũ 19
2.2.3 Rèn luyện kĩ năng giải phương trình lôgarit 32
2.2.4 Rèn luyện kĩ năng giải bất phương trình lôgarit 44
CHƯƠNG 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 54
3.1 Mục đích thực nghiệm 54
3.2 Phương pháp thực nghiệm 54
3.3 Nội dung thực nghiệm 54
3.4 Đối tượng thực nghiệm 54
3.5 Tổ chức thực nghiệm 54
3.6 Kết quả thực nghiệm 55
3.7 Kết quả rút ra từ thực nghiệm 56
KẾT LUẬN 57
TÀI LIỆU THAM KHẢO 58
Trang 7MỞ ĐẦU
1 Lý do chọn đề tài
Thế giới ngày nay đang phát triển nhanh chóng cùng với sự phát triển của khoa học, công nghệ, truyền thông Vì vậy mục tiêu giáo dục đặt ra là phát triển một xã hội trong đó con người được phát triển toàn diện để đáp ứng với sự nghiệm công nghiệp hóa, hiện đại hóa đất nước Vì thế bắt buộc bản thân những nhà giáo dục phải vừa giữ gìn, lưu truyền tri thức và các giá trị của quá khứ vừa chuẩn bị cho một tương lai mà ta chưa biết rõ
Nâng cao chất lượng dạy học nói chung, chất lượng dạy học môn Toán nói riêng đang là một yêu cầu cấp bách đối với ngành giáo dục nước ta hiện nay Một trong những khâu then chốt để thực hiện yêu cầu này là đổi mới nội dung và phương pháp dạy học
Kiến t hức và kĩ năng là hai mặt gắn bó hữu cơ trong mỗi nội dung dạy học Không thể nói đến vấn đề rèn luyện kĩ năng thực hiện một loại hoạt động nào đó nếu không chú ý trang bị kiến kiến thức về lĩnh vực đó một cách vững chắc Ngược lại việc rèn luyện kĩ năng thực hiện các hoạt động trong mỗi lĩnh vực có tác dụng củng cố và mở rộng kiến thức, giúp cho người học tìm thấy những tác dụng to lớn của kiến thức học được trong việc giải quyết các tình huống trong thực tiễn và trong khoa học
Chủ đề phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit có vị trí quan trọng trong chương trình môn toán THPT Là một trong những nội dung không thể thiếu trong các kì thi cao đẳng, đại học
Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit rất đa dạng và phong phú, để giải được đòi hỏi học sinh phải có vốn kiến thức, cũng như kĩ năng giải phương trình, bất phương trình được tích lũy từ đầu cấp học Đồng thời việc nắm vững các công thức, tính chất về hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit là một trong những công cụ không thể thiếu để giải bài toán về phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit
Rèn luyện kĩ năng giải phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit vừa là mục đích, vừa là phương tiện làm cho học sinh nắm được kiến thức cơ bản, rèn luyện kĩ năng suy luận toán học, toán học hóa các tình huống thực tế và rèn luyện phẩm chất: Tư duy linh hoạt, độc lập, sáng tạo, cẩn thận chính xác…góp phần phát triển năng lực toán học cho học sinh
Trang 8Xuất phát từ những lý do trên, tôi chọn nghiên cứu khóa luận là: “Rèn luyện một số kĩ năng giải phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit cho học sinh lớp 12 - THPT” nhằm đề xuất một vài suy nghĩ về việc nâng cao chất
lượng dạy học phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit ở trường THPT
2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
2.1 Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu cấu trúc rèn luyện kỹ năng giải phương trình, bất phương trình
mũ và lôgarit cho học sinh lớp 12 - THPT góp phần nâng cao hiệu quả dạy và
học giải phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit
2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu các vấn đề lí luận có liên quan đến việc nghiên cứu như:
phương pháp, kỹ năng, kỹ năng giải phương trình, bất phương trình…
Tìm hiểu về thực trạng việc giải phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit ở một số trường THPT
Đề xuất cấu trúc hình thành phương pháp và kỹ năng giải một số phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit, tiến hành thực nghiệm sư phạm bước đầu rút ra kết luận cần thiết
3 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu
3.1 Đối tượng nghiên cứu
Nghiên cứu nội dung về một số phương trình, bất phương trình mũ và
lôgarit nhằm rèn luyện kĩ năng giải bài tập cho học sinh THPT
3.2 Phạm vi nghiên cứu
Học sinh khối 12 Trường THPT Liễn Sơn
4 Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lí luận
- Phương pháp quan sát - điều tra
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm
5 Cấu trúc của đề tài
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo… nội dung của đề tài gồm 3 chương:
Chương 1: Cở sở lý luận và thực tiễn
Chương 2: Rèn luyện một số kỹ năng giải phương trình, bất phương trình mũ
và lôgarit cho học sinh lớp 12 - THPT
Trang 9CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1.2 Kỹ năng - kỹ năng giải bài tập toán
Theo tâm lý học kỹ năng là khả năng thực hiện có kết quả một hoạt động nào đó theo một mục đích trong những điều kiện nhất định
Kỹ năng giải bài tập toán của học sinh có thể hiểu đó là kỹ năng sử dụng
có mục đích sáng tạo những kiến thức toán học để giải những bài tập toán học
Một số học sinh có kỹ năng giải bài tập toán tức là biết phân tích bài toán
từ đó xác định được hướng giải đúng, trình bày lời giải một cách logic, chính xác trong một thời gian nhất định
a Các mức độ của kỹ năng
Trong toán học có thể chia làm hai nhóm kỹ năng giải bài tập toán:
- Rèn luyện kỹ năng giải bài tập toán học cơ bản
- Rèn luyện kỹ năng giải bài tập toán tổng hợp
Trong mỗi nhóm lại có ba trình độ khác nhau:
+ Biết làm: Nắm được quy trình giải phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit cơ bản nào đó áp dụng đúng theo công thức hay tương tự như bài tập mẫu nhưng chưa được nhanh
+ Thành thạo: Giải nhanh, ngắn gọn, chính xác theo cách giải bài tập mẫu nhưng chưa linh hoạt để đưa ra nhiều cách giải hay và ngắn gọn
+ Mềm dẻo, linh hoạt, sáng tạo: Đưa ra được cách giải ngắn gọn, độc đáo khác lời giải mẫu do biết vận dụng vốn kiến thức kĩ năng, kĩ xảo không chỉ với những bài toán cơ bản mà với cả bài toán mới
Trang 10b Các giai đoạn hình thành kỹ năng giải bài tập toán cho học sinh
Giai đoạn 1: Học sinh vận dụng lý thuyết để giải những bài tập toán cơ bản, từ đó sẽ hình thành ở học sinh các thao tác cơ bản như: Viết các đại lượng theo ngôn ngữ toán học, viết chính xác công thức, ký hiệu, tính giá trị dựa vào công thức… việc hình thành kỹ năng riêng rẽ của giai đoạn này là giải bài tập mẫu cụ thể để học sinh biết được angorit thao tác giải một bài tập toán học cơ bản (có thể giáo viên tự trình bày hoặc gợi ý để học sinh tự giải)
Giai đoạn 2: Học sinh vận dụng kiến thức thao tác để giải bài tập toán
cơ bản qua đó hình thành kỹ năng giải các bài cơ bản Việc hình thành kỹ năng riêng rẽ của giai đoạn này là: Luyện giải một số bài tập toán học tương
tự bài tập mẫu nhằm giúp học sinh nắm được sơ đồ định hướng giải một bài tập toán học cơ bản
Giai đoạn 3: Hình thành kỹ năng giải bài tập tổng hợp thông qua việc cho học sinh giải những bài tập tổng hợp phức tạp, đa dạng hơn Việc hình thành đúng kỹ năng riêng rẽ của giai đoạn 3 là: Rèn luyện giải một bài tập toán học tổng hợp (khác bài mẫu) ngày một đa dạng, phức tạp hơn từ thấp đến cao nhằm giúp học sinh vận dụng sơ đồ định hướng để giải các bài tập tổng hợp
Muốn hình thành được kỹ năng giải bài tập toán học cần hiểu được cấu trúc của nó, kỹ năng giải chúng không đơn lẻ là một hệ thống các kỹ năng như:
kỹ năng giải bài tập lý thuyết, kỹ năng tính toán, kỹ năng thực hành các phép biến đổi… và các kỹ năng này là một thể thống nhất
Sự phân chia chỉ là tương đối, trong cùng một hệ thống giữa các kỹ năng đều có mối liên hệ chặt chẽ, kỹ năng này là cơ sở để hình thành kỹ năng kia và ngược lại, việc hình thành kỹ năng sau lại củng cố rèn luyện kỹ năng trước đó
c Con đường hình thành kỹ năng giải bài tập
Theo lý luận dạy học thì kỹ năng được hình thành do luyện tập mà có, có
thể hình thành kỹ năng giải bài tập theo nhiều cách:
Luyện tập theo mẫu: Cho học sinh giải bài tập toán học tương tự bài tập mẫu Việc luyện tập này có thể tiến hành ngay trong tiết học, cũng có thể rải rác qua một số bài hoặc bài tập về nhà Việc dạy học sinh giải bài tập toán học theo
sơ đồ định hướng là rất quan trọng, giúp rèn luyện từng thao tác giải từng loại bài tập toán học cụ thể Luyện tập không theo mẫu: Học sinh luyện tập khi những điều kiện và yêu cầu của bài toán được thay đổi từ đơn giản đến phức tạp
Trang 11Luyện tập theo nhiều hình thức giải các bài tập toán học khác nhau: Ngoài bài tập để có thể có nhiều hình thức rèn kỹ năng giải bằng lời, giải dưới dạng viết, giải bằng thực nghiệm
Luyện tập thường xuyên: Mỗi kỹ năng được hình thành phải được học sinh thực hiện thành thạo vì thế cần tạo điều kiện để học sinh rèn luyện kỹ năng trong tiết học, trong hoạt động học ở nhà
1.2 Vị trí, vai trò của bài tập toán học trong quá trình dạy học
Ở trường phổ thông, bài tập có vai trò quan trọng trong môn toán, dạy toán
là hoạt động toán học Điều căn bản là bài tập có vai trò giá mang hoạt động của học sinh, các bài toán ở trường phổ thông là một phương tiện rất có hiệu quả và không thể thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy và hình thành kỹ năng, kỹ xảo, ứng dụng toán học vào thực tiễn Thông qua việc giải quyết bài tập, học sinh phải thực hiện những hoạt động nhất định bao gồm cả nhận dạng và thể hiện định lý, định nghĩa, quy tắc hay phương pháp những hoạt động toán học phức tạp, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong toán học, những hoạt động trí tuệ chung và những hoạt động ngôn ngữ Hoạt động của học sinh liên hệ mật thiết với mục tiêu, nội dung và phương pháp dạy học, chính
vì vậy mà vai trò của bài tập toán học được thể hiện trên cả ba bình diện
Thứ nhất: Trên bình diện mục tiêu dạy học, bài tập toán học ở trường phổ thông là giá mang những hoạt động mà việc thực hiện các hoạt động đó thể hiện mức độ đạt mục tiêu Mặt khác, những bài tập cũng thể hiện những chức năng khác nhau hướng đến việc thực hiện các mục tiêu dạy học môn toán cụ thể là:
- Hình như củng cố tri thức, kỹ năng, kỹ xảo ở những khâu khác nhau của quá trình dạy học, kể cả kỹ năng ứng dụng toán học vào thực tiễn
- Phát triển năng lực trí tuệ: Rèn luyện những hoạt động tư duy hình thành những phẩm chất trí tuệ
- Bồi dưỡng thế giới quan, duy vật biện chứng, hình thành những phẩm chất đạo đức của người lao động mới
Thứ hai: Trên bình diện nội dung dạy học, những bài tập toán học là giá mang hoạt động liên hệ với những nội dung nhất định để người học kiến tạo những tri thức nhất định trên cơ sở đó thực hiện các mục tiêu dạy học khác nhau
Những bài toán còn là một phương tiện cài đặt nội dung hoàn chỉnh hay bổ xung cho những tri thức nào đó đã được trình bày trong phần lý thuyết
Trang 12Thứ ba: Trên bình diện phương pháp dạy học, bài tập toán học là giá mang hoạt động để người học kiến tạo những tri thức nhất định và trên cơ sở đó thực hiện các mục tiêu day học khác Khai thác tốt những bài tập như vậy sẽ góp phần
tổ chức cho học sinh học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực, chủ động và sáng tạo được thực hiện độc lập hoặc trong giao lưu
Trong thực tiễn dạy học, bài tập được sử dụng với những nội dung ý khác nhau về phương pháp dạy học Đảm bảo trình độ xuất phát, gợi động cơ làm việc với nội dung mới, củng cố hoặc kiểm tra, bài tập là phương tiện đánh giá mức độ, kết quả dạy và học, khả năng làm việc độc lập và trình độ phát triển của học sinh Một bài tập cũng có thể nhằm vào một hay nhiều dụng ý trên, nhưng cũng có thể bao hàm những ý đồ nhiều mặt
Để dạy giải bài tập ta cần chú ý những điểm sau:
- Xây dựng, chọn lọc hệ thống bài tập bao gồm:
+ Bài tập tương tự với bài tập sách giáo khoa dành cho học sinh trung bình + Bài tập tổng hợp nhằm ôn lại, hệ thống hóa kiến thức
+ Bài tập mở có tính chất khái quát mà bài tập trong sách giáo khoa là một trường hợp riêng dành cho học sinh khá giỏi
- Thực hiện cách bức tìm tòi lời giải
- Tiến hành tổ chức, hướng dẫn học sinh giải bài tập theo quy định bốn bức của G.Pôlia
1.3 Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit trong chương trình giải tích 12 - THPT
Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit được trình bày ở chương II của chương trình giải tích 12 nhằm:
1.3.1 Mục đích
Giới thiệu các hàm: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit Trên cơ
sở đó trình bày phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit
Trang 131.3.3 Nội dung
Theo phân phối chương trình của bộ GD & ĐT năm học 2006 - 2007 nội
dung phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit trong chương trình cơ bản
được trình bày trong 25 tiết trong đó thực hành 1 tiết, ôn tập chương và kiểm tra
là 4 tiết Nội dung gồm:
Bài 1: Lũy thừa (3 tiết)
Bài 2: Hàm số lũy thừa (2 tiết)
Bài 3: Lôgarit (4 tiết)
Bài 4: Hàm số mũ Hàm số lôgarit (4 tiết)
Bài 5: Phương trình mũ và phương trình lôgarit (3 tiết)
Bài 6: Bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit (4 tiết)
Trang 14Dạng 2: Phương trình dạng: log ( ) log ( )a f x a g x (1) (hoặc
loga f x( )loga g x( ), loga f x( )loga g x( ), loga f x( )loga g x( ))
1.3.4 Thực trạng của việc dạy và học phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit ở một số trường THPT
Để tìm hiểu thực trạng việc dạy và học phương trình, bất phương trình
mũ và lôgarit ở trường THPT, tôi tiến hành điều tra trên hai đối tượng là giáo
viên và học sinh của trường THPT Liễn Sơn như sau:
- Giáo viên: trường THP Liễn Sơn - Lập Thạch - Vĩnh Phúc
- Học sinh: hai lớp 12A1 và 12A2
1.3.4.1 Đối với giáo viên
Qua điều tra thực tế về đội ngũ giáo viên và việc dạy học phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit cho học sinh lớp 12 của trường THPT Liễn Sơn – Lập Thạch – Vĩnh Phúc tôi thu được kết quả như sau:
Bảng 1 Đội ngũ giáo viên của trường
Trang 151.3.4.2 Đối với học sinh
Bảng 2: Thực trạng việc giải phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit của học sinh lớp 12
Lớp
Qua bảng điều tra trên ta thấy đa số các em học sinh của trường có phương pháp học tập truyền thống ít mang lại hứng thú học tập cho học sinh Phần lớn các em đều biết làm và cũng mềm dẻo, linh hoạt, sáng tạo do đó giáo viên cần nắm bắt tình hình học sinh để có thể hướng dẫn kỹ hơn một số kỹ năng giải phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit cho học sinh lớp 12 để các em biết
và vận dụng giải các bài toán cụ thể
Trang 16
CHƯƠNG 2 RÈN LUYỆN MỘT SỐ KĨ NĂNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT CHO HỌC SINH LỚP 12 - THPT
2.1 Một số giải pháp rèn luyện kĩ năng giải phương trình, bất phương trình
- Mỗi loại trên cần rèn luyện ở ba mức độ:
+ Biết làm: Nắm được quy trình giải phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit cơ bản nào đó áp dụng đúng theo công thức hay tương tự như bài tập mẫu nhưng chưa được nhanh
+ Thành thạo: Giải nhanh, ngắn gọn, chính xác theo cách giải bài tập mẫu nhưng chưa linh hoạt để đưa ra nhiều cách giải hay và ngắn gọn
+ Mềm dẻo, linh hoạt, sáng tạo: Đưa ra được cách giải ngắn gọn, độc đáo khác lời giải mẫu do biết vận dụng vốn kiến thức kĩ năng, kĩ xảo không chỉ với những bài toán cơ bản mà với cả bài toán mới
2.2 Rèn luyện kĩ năng giải phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit
2.2.1 Rèn luyện kĩ năng giải phương trình mũ
Hướng dẫn: Ta thấy hai phương trình mũ trên đều ở dạng 1 Khi đó, ta có
lời giải như sau:
Trang 17Giải
1, 2x 3 xlog 32
Vậy nghiệm của phương trình là xlog 32
2, 3x 1 phương trình vô nghiệm (do b 1 0)
Ví dụ 2: Giải phương trình:
2 2
Hướng dẫn: Ta thấy số mũ là một hàm phân thức, đầu tiên ta đi tìm điều
kiện để số mũ của phương trình có nghĩa Sau đó áp dụng cách giải như ở dạng 1
Trang 181
5
x x
(thỏa mãn điều kiện)
Vậy phương trình có nghiệm là x 1 và x5
c Mức độ mềm dẻo, linh hoạt, sáng tạo
Ví dụ: Giải phương trình:
log ( 5 3)
2 x x
Hướng dẫn: Ta thấy số mũ của phương trình là một hàm số lôgarit trước
tiên ta phải có điều kiện cho hàm số log (5 x3) có nghĩa tức là x 3 0 Mặt khác VP của phương trình là biến x vậy ở đây sẽ có 2 trường hợp xảy ra la: Trường hợp thứ nhất x0 thì phương trình vô nghiệm Trường hợp thứ hai 0
x thì log (5 x 3) log2 x ở đây phương trình không cùng cơ số để giải ta đặt
log (x 3) log xt ta đưa về giải hệ phương trình ẩn x và ẩn t sau đó áp
dụng tính đơn điệu của hàm số để giải
Giải
Điều kiện x 3 0 x 3
Trường hợp 1: x0 phương trình vô nghiệm
Trường hợp 2: x0 lôgarit cơ số 2 cả hai vế ta được phương trình
Trang 19Hướng dẫn: Ta thấy các phương trình mũ trên đều ở dạng 2, khi đó ta có
lời giải như sau:
Trang 20Vậy phương trình có nghiệm là x 1
c Mức độ mềm dẻo, linh hoạt, sáng tạo
Hướng dẫn: Ta thấy cơ số ở phương trình là biến x, đầu tiên ta phải tìm điều
kiện của cơ số là x0 và x1 Mặt khác ta thấy x1 là nghiệm vậy phương trình
Trang 21Khi đó phương trình trên có hai khả năng xảy ra là:
10
Vậy phương trình có nghiệm là x1 và 2 x 5
Chú ý: Phương trình (*) ngoài việc giải như trên thì còn có thể giải nhờ
tính chất khác của trị tuyệt đối như sau:
Trang 22Hướng dẫn: Ta thấy các phương trình mũ trên đều ở dạng 3, khi đó ta có
lời giải như sau:
x x
Trang 23Hướng dẫn: Ta thấy số mũ của phương trình lại là hàm số mũ Vậy ta lấy
lôgarit cơ số 10 hai vế
Hướng dẫn: Ta thấy số mũ của phương trình là hàm số chứa căn, đầu tiên
ta phải tìm điều kiện để số mũ có nghĩa Mặt khác vế trái của phương trình
Giải
Điệu kiện x1
Với điều kiện đó, ta có:
Trang 242 1 2 0 2
25 x x hoặc 2 2
9 x x hoặc 152x x 2 Để rút gọn được và đưa được về dạng bình phương ta nên chia cho 2 2
25 x x phương trình trở thành
Trang 252xx2 0 0
2
x x
Vậy phương trình có nghiệm là x10, x2 2, x3 1 3, x4 1 3
2.2.2 Rèn luyện kĩ năng giải bất phương trình mũ
Dạng 1: Bất phương trình dạng: a f x( ) b (1)
Hoặc ( f x( ) , f x( ) , f x( ) )
Có thể giải bất phương trình (1) như sau:
- Nếu b0, tập nghiệm của bất phương trình là vì a f x( ) 0 b x
- Nếu b0, thì bất phương trình tương đương với f x( ) loga b
+ Với a1, khi đó ( ) logf x a b
+ Với 0 a 1, khi đó ( ) logf x a b
x
Hướng dẫn: Ta thấy các bất phương trình trên đều ở dạng 1, khi đó ta có
lời giải như sau:
Trang 27Hướng dẫn: Áp dụng cách giải như ở dạng 1 đưa về bất phương trình chứa
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x(0;4)
c Mức độ mềm dẻo, linh hoạt, sáng tạo
x
Hướng dẫn: Ta thấy bất phương trình trên chứa căn ở dưới mẫu, ta đặt điều
kiện để bất phương trình có nghĩa Ta thấy 2 2
5 x 4 5x 4
khi đó ta đặt 5
u u
4
u t
Khi đó bất phương trình tương đương:
2
2
3 54
u u
Trang 28
u u
205
2
x x
Hướng dẫn: Trước tiên, ta thực hiện việc chia cả hai vế của bất phương
trình cho 6x ta được phương trình 2 3 1 1
3x 2x 6x Để giải ta sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số Xét hàm số ( ) 2 3 1
3x 2x 6x (*)
Trang 29Ta có: f x'( ) 2.3 ln 3 3.2 ln 2 6 ln 6x x x 0 x
Chứng tỏ ( )f x nghịch biến x
+ Với x2, ( )f x f(2) 1 do đó bất phương trình (*) vô nghiệm
+ Với x2, ( )f x f(2) 1 do đó bất phương trình (*) nghiệm đúng
Vậy nghiệm của bất phương trình là x(2;)
Ví dụ 3: Giải bất phương trình:
3 x4 2 2x4 13
Hướng dẫn: Ta thấy số mũ của bất phương trình trên chứa căn Đầu tiên
ta phải tìm điều kiện để bất phương trình có nghĩa Ta thấy các hàm
Trang 30Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x(0;)
Dạng 2: Bất phương trình có dạng: f x( ) g x( )
a a (1) Hoặc ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Hướng dẫn: Ta thấy các bất phương trình trên đều ở dạng 2, khi đó ta có
lời giải như sau:
3, 11 x6 11x x 6 x
2
600
x x x
x
x x
Trang 31
Hướng dẫn: Để giải các bất phương trình trên đầu tiên ta đặt điều kiện cho
bất phương trình có nghĩa Sau đó đưa các bất phương trình về cùng cơ số, khi đó
ta có lời giải như sau:
Trang 32Bất phương trình (1) tương đương:
Suy ra bất phương trình vô nghiệm
Suy ra x2 là nghiệm của bất phương trình
Vậy nghiệm của bất phương trình là x2;
2
1
22
x x x x
Ta thấy phương trình (1) vô nghiệm
Khi đó bất phương tình tương đương: x2
Vậy nghiệm của bất phương trình là x2;
c Mức độ mềm dẻo, linh hoạt, sáng tạo
Ví dụ 1: Giải bất phương trình:
