DE THI THU DH +DAP AN KHOI D

1 Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị C của hàm số.. Theo chương trỡnh chuẩn Cõu VI.a.. Cõu VII.a 1 điểm Một chiếc hộp đựng 15 viờn bi cú kớch thước bằng nhau và đồng chất được đỏnh số t

SỞ GD&ĐT Hng yên

Mụn Thi : TOÁN ; Khối :D

Thời gian làm bài 180 phỳt, khụng kể thời gian giao đề.

Ngày thi: 20/2/2011

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)

Cõu I: ( 2,0 điểm)Cho hàm số 2 1

1

x y x

−

=

− cú đồ thị (C).

1) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2) Tỡm m để đường thẳng y x m= + cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho AB= 4

Cõu II: (2,0 điểm) 1.Giải phương trỡnh 3 cos 2x+2cosx(sinx− =1) 0

2.Giải phương trỡnh 22 1 4 2

2

2

x

Cõu III: (1,0 điểm) Tớnh tớch phõn

1

0

2 I

1

x dx x

= +

∫

Cõu IV: (1,0 điểm)Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ cú cạnh bờn bằng a, đỏy ABC là tam giỏc đều, hỡnh

chiếu của A trờn (A’B’C’) trựng với trọng tõm G của ∆A’B’C’ Cạnh bờn tạo với đỏy gúc 60 0 Tớnh thể tớch lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a

Cõu V: (1,0 điểm)Tỡm m để phương trỡnh sau luụn cú nghiệm trong đoạn [ ]1;9

2

log x+2m 2 log+ x + =4 m 1 log+ x

PHẦN RIấNG (3 điểm)

A Theo chương trỡnh chuẩn

Cõu VI.a (2 điểm)

1.Trong hệ toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng d1: 3x+4y−20 0,= d x y2: + + =1 0

Viết phương trỡnh đường trũn (C) biết rằng (C) cú bỏn kớnh R=5, tiếp xỳc với d1và cú tõm nằm trờn d2

2.Trong khụng gian Oxyz, cho mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) cú phương trỡnh

(S):x2+y2+ −z2 4x−4y+2z− =16 0 ( ) : 2P x y+ − 2z+ = 1 0

Viết phương trỡnh mặt phẳng (Q) song song với (P) và khoảng cỏch từ tõm mặt cầu (S) đến mặt phẳng (Q) bằng 3

Cõu VII.a (1 điểm) Một chiếc hộp đựng 15 viờn bi cú kớch thước bằng nhau và đồng chất được đỏnh số từ một tới mười lăm, trong đú cú 5 viờn bi xanh và 3 viờn bi đỏ và 7 viờn bi vàng Tớnh xỏc suất để lấy ngẫu nhiờn 4 viờn bi cú đủ 3 mầu.

B Theo chương trỡnh nõng cao

Cõu VI.b (2 điểm)

1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường trũn (C) : x2+y2+2x 8y 8 0− − = Viết phương trỡnh đường thẳng song song với đường thẳng d: 3x+y-2=0 và cắt đường trũn theo một dõy cung cú độ dài bằng 6

2.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho ba điểm A(1;1;0), B(0;2;0), C(0;0;2) Viết phơng trình mặt phẳng (P) qua gốc toạ độ O và vuông góc với BC.Chứng minh rằng ∆ABC vuông và viết phơng trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC

Cõu VIIb (1 điểm) Cho hàm số ( ) : 2

1

m

x x m

C y

x

− +

=

− Tỡm m để (C m) cắt Ox tại 2 điểm phõn biệt A,B sao cho tiếp tuyến của (C m)tại A,B vuụng gúc với nhau

………….………Hết………

Thớ sinh khụng được sử dụng tài liệu Cỏn bộ coi thi khụng giải thớch gỡ thờm.

Họ và tờn thớ sinh:………; Số bỏo danh:

Hớng dẫn chấm TOÁN KHểI D

đề chính thức

Câu Nội dung Điểm CâuI(2,

0đ)

1)1,0 đ

1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 2 1

1

x y x

−

=

−

1 Tập xác định: D= ¡ \{1}

2 Sự biến thiên của hàm số

* Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực của hàm số Tiệm cận của đồ thị hàm số.

1 2

1

x

y

x

x

→±∞

−

−

=> Đồ thị hàm số nhận đường thẳng y=2 làm tiệm cận ngang

=>Đồ thị hàm số nhận đường thẳng x=1 làm tiệm cận đứng

0,25

* Lập bảng biến thiên

2

1

( 1)

x

−

− , y’ không xác định <=> x=1 Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó Hàm số không có cực trị.

0,25

bảng biến thiên

x -∞ 1 +∞

y’ ||

-y 2 +∞

-∞ 2

0.25

3 Đồ thị

- Giao của đồ thị hàm số và Ox: y=0=>x=1/2

- Giao của đồ thị hàm số và Oy: x=0=>y=1

- đồ thị hàm số nhận điểm I(1;2) làm tâm đối xứng.

0,25

2)1,0đ 2)Hoành độ giao điểm của đường thẳng y=x+m (d) và đồ thị (C) là nghiệm của phương trình 0,25

I(1;2) 2

x

O

( ) ( )

1

x

x m x

− = +

−

( x=1 không phải là nghiệm của (*))

2

(m 3) 4(1 m) m 2m 5 0 m

Do đó (d) luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A x y B x y( ; ), ( ; )1 1 2 2 vớix x là hai nghiệm của (1)1, 2

0,25

Theo viét x1+ = −x2 3 m x x; 1 2 = −1 m Vì A B, ∈ ( )d nên y1= +x1 m y; 2 = +x2 m

( )2

AB = x −x =  x +x − x x = m − m+

0,25

3

m

m

= −



0,25

Câu II:

(2,0đ) 1)Giải phương trình 3 cos 2x+2cosx(sinx− =1) 0

⇔ 3 cos 2x+sin 2x=2cosx

3 1

0,25

cos 2 cos sin 2 sin cos

cos(2 ) cos

6

0,25

6

x x k

k



 − = − +



¢

0,25

KL

2

2

18 3

k Z k

x

 = +



 = +



0,25

1)1,0đ

2)Giải phương trình 22 1 4 2

2

2

x

ĐKXĐ:x>0

( ) 2

2

x

0,25

Đặt t=log2x

Thay vào (*) ta có

1 2

t t

t t

− + =

=



⇔  =

0,25

t=1 ta có log2x=1⇔x=2

kết hợp với ĐKXĐ⇒ phương trình đã cho có 2 nghiệm là x=2 và x=4

Câu

III:

(1,0đ)

Tính tích phân

1

0

2 I

1

x dx x

= +

∫

2

t = x⇒ = ⇒x t dx= tdt

3

1 1

xdx t dt

t

x = + +

Nếu

= ⇒ =

= ⇒ =

0,25

2

t

0

10

4ln 2 3

Câu

IV:

(1,0đ)

A'

G

M' C'

B'

C

B A

Hình chiếu của AA’ trên (A’B’C’) là A’G nên góc tạo bởi AA’và (A’B’C’) là ·AA G' =600

gọi M’là trung điểm B’C’⇒A’,G, M’ thẳng hàng

0,25

đặt x=AB

∆A’B’C’ đều cạnh x có A’M’ là đường cao ⇒ ' ' 3, ' 2 ' ' 3

A M = A G= A M =

Trong∆AA’G vuông có AG=AA’sin600= 3

2

A G=AA c = = ⇔ =x

0,25

ABC

thể tích khối lăng trụ là ' ' ' . 3 3 2 3 9 3

ABC A B C ABC

Câu

VIa: 1.

(1,0đ)

Giả sử là I t( ; 1− − ∈t) d2tâm của đường tròn (C)

Vì (C) tiếp xúc với d1nên

0,25

1 2 2

3 4( 1 ) 20

d I d R + − − −

+

24 25

t

0,25

Với t= ⇒1 I1(1; 2)− ta được phương trình đường tròn

( ) ( ) (2 )2

C x− + y+ =

0,25

Với t= − ⇒49 I1( 49;48)− ta được phương trình đường tròn

( ) ( ) (2 )2

0,25

2.

(1,0đ) (S):x2+y2+ −z2 4x−4y+2z− =16 0

(S) có tâm I(2;2;-1)

phương trình mặt phẳng (Q) có dạng:2x y+ − 2z D+ = 0điều kiện D≠ 1(*)

0,25

( ,( )) 3

d I P = | 2.2 1.2 2( 1)2 2 2 | 3

D

+ + −

0,25

1

| 8 | 9

17

D D

D

=



Kết hợp với điều kiện (*) ta được D = -17

0,25

Câu

VIIa:

(1,0đ)

VIIa Số khả năng lấy được 4 viên bi trong 15 viên là 4

15

C =1365 (cách) 0,25

TH1: lấy được 2 viên bi xanh, 1 viên bi đỏ, 1 viên bi vàng

Có : 2 1 1

5 .3 7 210

C C C = (cách)

0,25

TH2: lấy được 1 viên bi xanh, 2 viên bi đỏ, 1 viên bi vàng

Có : 1 2 1

5 .3 7 105

C C C = (cách)

0,25

TH3: lấy được 1 viên bi xanh, 1 viên bi đỏ, 2 viên bi vàng

Có : 1 1 2

5 .3 7 315

C C C = (cách) Vậy xác suất lấy được 4 viên bi có đủ các mầu là:

210 105 315

46%

1365

P= + + =

0,25

2

Đường tròn (C) có tâm I(-1;4), bán kính R=5 Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là ∆,

=> ∆ : 3x+y+c=0, c≠2 (vì // với đường thẳng 3x+y-2=0)

Vì đường thẳng cắt đường tròn theo một dây cung có độ dài bằng 6=>

khoảng cách từ tâm I đến ∆ bằng 52−32 =4

c c

d I

c

− + +

+  = − − (thỏa mãn c≠2)

Vậy phương trình đường tròn cần tìm là: 3x y+ +4 10 1 0− = hoặc

3x y+ −4 10 1 0− =

Ta cã BCuuur=(0; 2;2)− mp(P) qua O(0;0;0) cã vtpt uuurBC=(0; 2;2)−

(P): -2(y-0)+2(z-0)=0 hay y-z=0 0.25

( 1;1;0) ( 1; 1; 2)

AB AC

= −

= − −

uuur uuur ⇒uuur uuurAB AC. =0Suy ra tam giác ABC vuông tại A (1)

CM tơng tự tam giác OBC vuông tại O (2)

Từ ( 1) & (2) Suy ra 4 Điểm A,B,C ,O cùng thuộc 1 mặt cầu đờng kính

BC nên tâm I là TĐ của BC⇒I0;1;1),R= 2

PT mặt cầu: x2+(y-1)2+(z-1)2=2

V) 2 ( ) ( )

log x+2m log x+ + =2 4 m 1 log+ x (1) Đk: x>0

Đặt: log3x t khi= , x∈[ ]1;9 =>t∈[ ]0;2

( ) ( )

( ) ( )

2 2

t m

⇔ + = − +

Vỡ t∈[ ]0; 2 từ (2) 2 4

3

t m

t

+

⇔ = −

+ Đặt ( ) 2 ( ) (2 )2

( )

( )

3 13

3 13

 = − −



⇔

 = − +



Ta cú : f(− +3 13)=2 13 6− ; f(0)=-4/3; f(2)=-8/5

Vậy với 8; 2 13 6

5

m∈ − − 

  thỡ phương trỡnh cú nghiệm với mọi x∈[ ]1;9

0,25

0,25

0,25

0,25

VII.b

(1

điểm)

* Phương trỡnh hoành độ giao điểm của (Cm) với Ox:

2

1

x m x

− +

−

x

= 0 ⇔

 − + =

 ≠



x

x 1

(Cm) cắt Ox tại 2 điểm phõn biệt ⇔ pt f(x) = x2 - x + m = 0 cú 2 nghiệm phõn

biệt khỏc 1

⇔ 0

(1) 0

f

∆ >



1 4 0

m m

 <





 ≠



(*)

* Khi đú gọi x1, x2 là nghiệm của f(x) = 0 ⇒ 1 2

1 2

1

m





x x

Ta cú: y' = 2

'( )( 1) ( 1) ' ( )

( 1)

f x x x f x

x

− − −

−

⇒ Hệ số gúc tiếp tuyến của (Cm) tại A và B lần lượt là:

k1 = y'(x1) = 1 1 1

2 1

'( )( 1) ( ) ( 1)

f x x f x x

− −

1 1

'( ) ( 1)

f x

x − =

1 1

2 1

x

x −

* Tương tự: k1 = y'(x2) = 2

2

2 1

x

x − ( do f(x1) = f(x2) = 0) Theo gt: k1k2 = -1 ⇔ 1

1

2 1

x

x − .

2 2

2 1

x

x − = -1

* ⇔ m = 1

5( thoả món (*))

0,25

0,25

0,25

0,25