Chứng minh rằng fx không thể biểu diễn thành tích của hai đa thức khác hằng số với các hệ số nguyên.. a Tính tỉ số: b Chứng minh rằng các tiếp tuyến kẻ từ C với đường tròn ngoại tiếp các
Trang 1
1 Cho f(x) = xn + 5xn-1 + 3, trong đó n là một số nguyên > 1 Chứng minh rằng f(x) không thể biểu diễn thành tích của hai đa thức (khác hằng số) với các hệ số nguyên
2 Cho D là một điểm bên trong tam giác nhọn ABC sao cho và AC.BD = AD.BC
(a) Tính tỉ số:
(b) Chứng minh rằng các tiếp tuyến kẻ từ C với đường tròn ngoại tiếp các tam giác ACD và BCD vuông góc với nhau
3 Trò chơi trên một bàn cờ ô vuông vô hạn theo quy luật sau: Đầu tiên có n2 quân cờ được sắp xếp trong một khối hình vuông n x n của các ô vuông liên tiếp, mỗi quân trên một ô vuông Nước đi trong trò chơi này là một quân cờ có thể nhảy qua một quân ở ô liền kề đến một ô trống tiếp theo chiều ngang hoặc chiều dọc Quân cờ sau khi đã nhảy thì bị loại Tìm giá trị của n để trò chơi có thể kết thúc chỉ với một quân cờ còn lại trên bàn cờ
4 Cho ba điểm P, Q, R trong một mặt phẳng, gọi m(PQR) là độ dài của đường cao nhỏ nhất của tam giác PQR (hoặc là bằng 0 nếu ba điểm P, Q, R thẳng hàng) Chứng minh rằng: với bất kì các điểm A, B, C, X ta luôn có:
m(ABC) m(ABX) + m(AXC) + m(XBC)
5 Hỏi có tồn tại hay không một hàm f từ tập số nguyên dương vào tập số nguyên dương sao cho: f(1) = 2, f(f(n)) = f(n) + n với mọi n và f(n) < f(n + 1) với mọi n
6 Có n > 1 cái đèn được kí hiệu là L0, L1, , Ln-1 trong một đường tròn Chúng ta có thể sử dụng Ln+k như là Lk Mỗi đèn tại một thời điểm hoặc là được bật hoặc là tắt Bắt đầu tất cả các đèn đều bật Thực hiện các bước s0, s1, như sau: tại bước si nếu đèn Li-1 sáng thì ta chuyển Li từ trạng thái bật thành tắt hoặc ngược lại chuyển từ tắt thành bật, các đèn khác ta không làm gì cả Hãy chỉ ra rằng:
(a) Tồn tại một số nguyên dương M(n) sao cho sau M(n) bước thực hiện tất cả các đèn đều trở lại trạng thái ban đầu
(b) Nếu n = 2k thì ta có thể lấy M(n) = n2 - 1
(c) Nếu n = 2k + 1 thì ta có thể lấy M(n) = n2 - n + 1